Страница 85 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

655*. Через воду, имеющую температуру 10 °C, пропускают водяной пар при 100 °C. Сколько процентов составит масса воды, образовавшейся из пара, от массы всей воды в сосуде в момент, когда её температура равна 50 °C?

Дано:

Перевод данных в систему СИ и справочные данные:

Найти:

Решение:

Для решения задачи составим уравнение теплового баланса. Будем считать, что теплообмен происходит в изолированной системе, то есть без потерь тепла в окружающую среду.

Теплота, выделяемая при конденсации пара и охлаждении образовавшейся воды, поглощается первоначально холодной водой.

Обозначим $m_в$ — начальную массу холодной воды, а $m_п$ — массу пара, который сконденсировался.

Количество теплоты, которое выделяется при конденсации массы пара $m_п$ при температуре $100 \text{ °C}$:

$Q_1 = L \cdot m_п$

Количество теплоты, которое выделяется при охлаждении образовавшейся из пара воды от $t_п = 100 \text{ °C}$ до конечной температуры $t_к = 50 \text{ °C}$:

$Q_2 = c \cdot m_п \cdot (t_п - t_к)$

Суммарное количество отданной теплоты ($Q_{отд}$):

$Q_{отд} = Q_1 + Q_2 = L \cdot m_п + c \cdot m_п \cdot (t_п - t_к) = m_п (L + c(t_п - t_к))$

Количество теплоты, полученное начальной массой воды $m_в$ при нагревании от $t_в = 10 \text{ °C}$ до $t_к = 50 \text{ °C}$ ($Q_{пол}$):

$Q_{пол} = c \cdot m_в \cdot (t_к - t_в)$

Согласно закону сохранения энергии (уравнение теплового баланса): $Q_{отд} = Q_{пол}$.

$m_п (L + c(t_п - t_к)) = c \cdot m_в \cdot (t_к - t_в)$

Из этого уравнения выразим отношение массы пара к массе холодной воды:

$\frac{m_п}{m_в} = \frac{c(t_к - t_в)}{L + c(t_п - t_к)}$

Подставим числовые значения в формулу:

$\frac{m_п}{m_в} = \frac{4200 \cdot (50 - 10)}{2.26 \cdot 10^6 + 4200 \cdot (100 - 50)} = \frac{4200 \cdot 40}{2260000 + 4200 \cdot 50} = \frac{168000}{2260000 + 210000} = \frac{168000}{2470000} = \frac{168}{2470}$

$\frac{m_п}{m_в} \approx 0.068016$

Теперь найдем, какой процент составляет масса воды из пара ($m_п$) от общей массы воды в сосуде ($m_{общ} = m_в + m_п$).

Искомая величина $P$:

$P = \frac{m_п}{m_{общ}} \cdot 100\% = \frac{m_п}{m_в + m_п} \cdot 100\%$

Для удобства вычислений разделим числитель и знаменатель на $m_в$:

$P = \frac{\frac{m_п}{m_в}}{1 + \frac{m_п}{m_в}} \cdot 100\%$

Подставим найденное значение отношения $\frac{m_п}{m_в}$:

$P \approx \frac{0.068016}{1 + 0.068016} \cdot 100\% = \frac{0.068016}{1.068016} \cdot 100\% \approx 0.063684 \cdot 100\% \approx 6.37\%$

Ответ: масса воды, образовавшейся из пара, составит $6.37\%$ от массы всей воды в сосуде.

656. Сравнить внутренние энергии свинца массой 600 г в твёрдом и жидком состояниях при температуре плавления.

Дано:

Масса свинца, $m = 600 \text{ г}$
Удельная теплота плавления свинца (табличное значение), $\lambda = 2,5 \cdot 10^4 \text{ Дж/кг}$

Перевод в систему СИ:

$m = 600 \text{ г} = 0,6 \text{ кг}$

Найти:

Сравнить внутренние энергии свинца в твердом ($U_{тв}$) и жидком ($U_{жидк}$) состояниях при температуре плавления.

Решение:

Внутренняя энергия тела складывается из кинетической энергии хаотического движения его молекул и потенциальной энергии их взаимодействия.

Согласно условию задачи, и твердый, и жидкий свинец находятся при одной и той же температуре — температуре плавления. Поскольку температура является мерой средней кинетической энергии молекул, то кинетические части внутренних энергий твердого и жидкого свинца одинаковы.

Процесс плавления — это переход вещества из твердого состояния в жидкое. Для того чтобы расплавить твердое тело, уже нагретое до температуры плавления, к нему необходимо подвести определенное количество теплоты $Q$. Эта энергия расходуется на разрушение кристаллической решетки, то есть на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул.

Следовательно, внутренняя энергия жидкого свинца при температуре плавления будет больше внутренней энергии твердого свинца той же массы при той же температуре на величину, равную количеству теплоты, необходимому для его плавления.

Это количество теплоты ($Q$) можно рассчитать по формуле:

$Q = \lambda \cdot m$

где $\lambda$ — удельная теплота плавления свинца, $m$ — его масса.

Подставим числовые значения:

$Q = 2,5 \cdot 10^4 \frac{Дж}{кг} \cdot 0,6 \text{ кг} = 1,5 \cdot 10^4 \text{ Дж} = 15 \text{ кДж}$

Таким образом, разница во внутренних энергиях составляет $\Delta U = U_{жидк} - U_{тв} = Q = 15 \text{ кДж}$.

Ответ: внутренняя энергия 600 г жидкого свинца при температуре плавления на 15 кДж больше внутренней энергии такого же количества твердого свинца при той же температуре.

657. До какой температуры следует нагреть алюминиевый куб, чтобы, поставленный на лёд, он мог полностью в него погрузиться? Температура льда 0 °С.

Дано:

Материал куба — алюминий
Температура льда: $t_{л} = 0 \text{ °C}$
Условие: куб полностью погружается в лёд.
Справочные данные:
Удельная теплоёмкость алюминия, $c_{Al} = 920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Плотность алюминия, $\rho_{Al} = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda_{л} = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
Плотность льда, $\rho_{л} = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Все данные представлены в системе СИ или в согласованных с ней единицах (например, °C для разности температур эквивалентен K), поэтому перевод в другие единицы не требуется.

Найти:

$t_{Al}$ — начальная температура алюминиевого куба.

Решение:

Чтобы алюминиевый куб полностью погрузился в лёд, он должен растопить под собой объём льда, равный собственному объёму. Обозначим ребро куба как $a$, тогда его объём $V = a^3$.

Масса алюминиевого куба выражается через его плотность и объём: $m_{Al} = \rho_{Al} \cdot V$

Масса льда, которую необходимо растопить, чтобы освободить для куба место, равна: $m_{л} = \rho_{л} \cdot V$

При контакте горячего куба со льдом происходит теплообмен. Куб отдает теплоту, остывая от своей начальной температуры $t_{Al}$ до конечной температуры. Лёд поглощает эту теплоту и плавится. Так как лёд находится при температуре плавления ($0 \text{ °C}$) и его количество велико, то конечная температура системы (остывшего куба и образовавшейся воды) установится на уровне $t_{f} = 0 \text{ °C}$.

Количество теплоты $Q_{отд}$, отданное алюминиевым кубом при остывании, рассчитывается по формуле: $Q_{отд} = c_{Al} \cdot m_{Al} \cdot (t_{Al} - t_{f})$ Подставим выражение для массы куба и значение конечной температуры: $Q_{отд} = c_{Al} \cdot (\rho_{Al} \cdot V) \cdot (t_{Al} - 0) = c_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot V \cdot t_{Al}$

Количество теплоты $Q_{получ}$, которое получил лёд для плавления, рассчитывается по формуле: $Q_{получ} = \lambda_{л} \cdot m_{л}$ Подставим выражение для массы льда: $Q_{получ} = \lambda_{л} \cdot (\rho_{л} \cdot V)$

Согласно уравнению теплового баланса, количество отданной теплоты равно количеству полученной теплоты: $Q_{отд} = Q_{получ}$ $c_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot V \cdot t_{Al} = \lambda_{л} \cdot \rho_{л} \cdot V$

В этом уравнении объём куба $V$ присутствует в обеих частях, поэтому его можно сократить. Это означает, что результат не зависит от размера куба. Выразим искомую температуру $t_{Al}$: $t_{Al} = \frac{\lambda_{л} \cdot \rho_{л}}{c_{Al} \cdot \rho_{Al}}$

Теперь подставим числовые значения физических величин: $t_{Al} = \frac{(3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}) \cdot (900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})}{(920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}) \cdot (2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})}$

Проведем вычисления: $t_{Al} = \frac{3.3 \cdot 10^5 \cdot 900}{920 \cdot 2700} = \frac{3.3 \cdot 10^5}{920 \cdot 3} = \frac{1.1 \cdot 10^5}{920} = \frac{110000}{920} = \frac{11000}{92} \approx 119.565... \text{ °C}$

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем: $t_{Al} \approx 119.6 \text{ °C}$

Ответ: чтобы алюминиевый куб полностью погрузился в лёд, его следует нагреть до температуры примерно $119.6 \text{ °C}$.

658. Сколько дров надо сжечь в печке с КПД 40%, чтобы получить из 200 кг снега, взятого при температуре $-10 \, \text{°C}$, воду при $20 \, \text{°C}$?

Дано:

КПД печи, $\eta = 40\% = 0.4$

Масса снега, $m_с = 200 \text{ кг}$

Начальная температура снега, $t_1 = -10 \text{ °C}$

Конечная температура воды, $t_2 = 20 \text{ °C}$

Температура плавления льда (снега), $t_{пл} = 0 \text{ °C}$

Удельная теплоемкость льда (снега), $c_л = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота сгорания дров, $q = 1.0 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

Массу дров, $m_{дров}$

Решение:

Процесс получения воды из снега состоит из трех этапов, для каждого из которых требуется определенное количество теплоты:

1. Нагревание снега от начальной температуры $t_1 = -10 \text{ °C}$ до температуры плавления $t_{пл} = 0 \text{ °C}$. Количество теплоты $Q_1$ рассчитывается по формуле:

$Q_1 = c_л \cdot m_с \cdot (t_{пл} - t_1)$

$Q_1 = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 200 \text{ кг} \cdot (0 \text{ °C} - (-10 \text{ °C})) = 2100 \cdot 200 \cdot 10 = 4 200 000 \text{ Дж} = 4.2 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

2. Плавление снега при температуре $t_{пл} = 0 \text{ °C}$. Количество теплоты $Q_2$ рассчитывается по формуле:

$Q_2 = \lambda \cdot m_с$

$Q_2 = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 200 \text{ кг} = 66 000 000 \text{ Дж} = 66 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

3. Нагревание получившейся воды от температуры $t_{пл} = 0 \text{ °C}$ до конечной температуры $t_2 = 20 \text{ °C}$. Количество теплоты $Q_3$ рассчитывается по формуле:

$Q_3 = c_в \cdot m_с \cdot (t_2 - t_{пл})$

$Q_3 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 200 \text{ кг} \cdot (20 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 4200 \cdot 200 \cdot 20 = 16 800 000 \text{ Дж} = 16.8 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Общее количество теплоты, которое необходимо сообщить снегу и воде ($Q_{полезн}$), равно сумме теплоты на всех трех этапах:

$Q_{полезн} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 4.2 \cdot 10^6 \text{ Дж} + 66 \cdot 10^6 \text{ Дж} + 16.8 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 87 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Это полезное количество теплоты печь получает от сгорания дров. Коэффициент полезного действия (КПД) печи $\eta$ связывает полезное количество теплоты $Q_{полезн}$ и полное количество теплоты $Q_{полн}$, выделившееся при сгорании дров:

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{Q_{полн}}$

Полное количество теплоты, выделяемое при сгорании дров массой $m_{дров}$, равно:

$Q_{полн} = q \cdot m_{дров}$

Из формулы КПД найдем $Q_{полн}$:

$Q_{полн} = \frac{Q_{полезн}}{\eta} = \frac{87 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{0.4} = 217.5 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Теперь можем найти массу дров, которую необходимо сжечь:

$m_{дров} = \frac{Q_{полн}}{q} = \frac{217.5 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{1.0 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = 21.75 \text{ кг}$

Ответ: для получения 200 кг воды при температуре 20 °C из снега, взятого при -10 °C, необходимо сжечь 21.75 кг дров.

659. Сколько стали, взятой при $20^\circ \text{C}$, можно расплавить в печи с КПД $50\%$, сжигая $2 \text{ т}$ каменного угля?

659. Дано:

Начальная температура стали $t_1 = 20 \text{ °C}$
КПД печи $\eta = 50\%$
Масса каменного угля $m_{угля} = 2 \text{ т}$

Переведем данные в систему СИ:
$\eta = 0.5$
$m_{угля} = 2 \cdot 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$

Для решения задачи нам понадобятся справочные физические величины:

• Удельная теплота сгорания каменного угля $q_{угля} = 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
• Удельная теплоемкость стали $c_{ст} = 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
• Температура плавления стали $t_{пл} \approx 1500 \text{ °C}$
• Удельная теплота плавления стали $\lambda_{ст} = 8.2 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

Массу стали $m_{ст}$

Решение:

1. Рассчитаем общее количество теплоты, которое выделится при сгорании 2 тонн каменного угля. Это количество теплоты ($Q_{полн}$) находится по формуле: $Q_{полн} = q_{угля} \cdot m_{угля}$

2. КПД печи составляет 50%, это означает, что только 50% от всей выделившейся энергии будет использовано для нагрева и плавления стали. Эта полезная теплота ($Q_{полезн}$) равна: $Q_{полезн} = \eta \cdot Q_{полн} = \eta \cdot q_{угля} \cdot m_{угля}$

3. Теплота, необходимая для плавления стали, взятой при температуре $t_1$, состоит из двух частей:

• теплота для нагревания стали от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$: $Q_1 = c_{ст} \cdot m_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1)$
• теплота для плавления стали при температуре плавления: $Q_2 = \lambda_{ст} \cdot m_{ст}$

Полное количество теплоты ($Q_{ст}$), необходимое для плавления стали, будет суммой этих двух величин: $Q_{ст} = Q_1 + Q_2 = c_{ст} \cdot m_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{ст} \cdot m_{ст} = m_{ст} \cdot (c_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{ст})$

4. Полезная теплота, полученная от сгорания угля, идет на нагрев и плавление стали. Таким образом, мы можем приравнять $Q_{полезн}$ и $Q_{ст}$: $Q_{полезн} = Q_{ст}$
$\eta \cdot q_{угля} \cdot m_{угля} = m_{ст} \cdot (c_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{ст})$

5. Из этого уравнения выразим искомую массу стали $m_{ст}$: $m_{ст} = \frac{\eta \cdot q_{угля} \cdot m_{угля}}{c_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{ст}}$

6. Подставим числовые значения в формулу и выполним расчет: $m_{ст} = \frac{0.5 \cdot 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 2000 \text{ кг}}{500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (1500 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) + 8.2 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$
$m_{ст} = \frac{2.7 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{500 \cdot 1480 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 82000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$
$m_{ст} = \frac{2.7 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{740000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 82000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$
$m_{ст} = \frac{2.7 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{822000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 32846.7 \text{ кг}$

Полученное значение можно округлить и выразить в тоннах для наглядности: $32846.7 \text{ кг} \approx 32.85 \text{ т}$.

Ответ: можно расплавить примерно 32847 кг (или 32.85 т) стали.

660. Для определения удельной теплоты плавления олова в калориметр, содержащий 330 г воды при 7 °С, влили 350 г расплавленного олова при температуре затвердевания. После этого в калориметре, теплоёмкость которого 100 Дж/К, установилась температура 32 °С. Определить по данным опыта значение удельной теплоты плавления олова.

Дано:

Масса воды $m_в = 330 \text{ г} = 0.33 \text{ кг}$
Масса олова $m_о = 350 \text{ г} = 0.35 \text{ кг}$
Начальная температура воды и калориметра $t_1 = 7°C$
Конечная температура системы $\theta = 32°C$
Теплоёмкость калориметра $C_к = 100 \text{ Дж/К}$
Температура плавления (затвердевания) олова $t_{пл} = 232°C$ (справочное значение)
Удельная теплоёмкость воды $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$ (справочное значение)
Удельная теплоёмкость твёрдого олова $c_о = 230 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$ (справочное значение)

Найти:

$\lambda_о$ - удельную теплоту плавления олова.

Решение:

В калориметре происходит теплообмен между расплавленным оловом, водой и самим калориметром. В изолированной системе количество теплоты, отданное горячими телами, равно количеству теплоты, полученному холодными телами. Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное оловом, складывается из двух процессов:

1. Кристаллизация (затвердевание) олова при температуре плавления $t_{пл}$. Количество теплоты, выделившееся при этом: $Q_1 = \lambda_о \cdot m_о$.

2. Охлаждение твёрдого олова от температуры плавления $t_{пл}$ до конечной температуры $\theta$. Количество теплоты, выделившееся при этом: $Q_2 = c_о \cdot m_о \cdot (t_{пл} - \theta)$.

Таким образом, общее количество отданной теплоты: $Q_{отданное} = Q_1 + Q_2 = \lambda_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot (t_{пл} - \theta)$.

Количество теплоты, полученное водой и калориметром, уходит на их нагревание от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $\theta$:

$Q_{полученное} = Q_в + Q_к = c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_1) + C_к \cdot (\theta - t_1)$.

Можно вынести общий множитель: $Q_{полученное} = (c_в \cdot m_в + C_к) \cdot (\theta - t_1)$.

Приравниваем отданное и полученное количество теплоты:

$\lambda_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot (t_{пл} - \theta) = (c_в \cdot m_в + C_к) \cdot (\theta - t_1)$

Выразим из этого уравнения искомую удельную теплоту плавления олова $\lambda_о$:

$\lambda_о \cdot m_о = (c_в \cdot m_в + C_к) \cdot (\theta - t_1) - c_о \cdot m_о \cdot (t_{пл} - \theta)$

$\lambda_о = \frac{(c_в \cdot m_в + C_к) \cdot (\theta - t_1) - c_о \cdot m_о \cdot (t_{пл} - \theta)}{m_о}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\lambda_о = \frac{(4200 \cdot 0.33 + 100) \cdot (32 - 7) - 230 \cdot 0.35 \cdot (232 - 32)}{0.35}$

$\lambda_о = \frac{(1386 + 100) \cdot 25 - 80.5 \cdot 200}{0.35}$

$\lambda_о = \frac{1486 \cdot 25 - 16100}{0.35}$

$\lambda_о = \frac{37150 - 16100}{0.35}$

$\lambda_о = \frac{21050}{0.35} \approx 60143 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Округлим результат до трёх значащих цифр и выразим в килоджоулях:

$\lambda_о \approx 60.1 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$

Ответ: удельная теплота плавления олова, определённая по данным опыта, составляет примерно $60.1 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$.

661. Чтобы охладить $200 \text{ г}$ воды, имеющей температуру $25 \text{ °C}$, в нее бросают взятые из холодильника брусочки льда объёмом $6,4 \text{ см}^3$, температура которых $-5 \text{ °C}$. Сколько надо бросить брусочков для охлаждения воды до $5 \text{ °C}$?

Дано:

Масса воды, $m_в = 200 \text{ г}$

Начальная температура воды, $t_{в1} = 25 \text{ °C}$

Объем одного брусочка льда, $V_1 = 6,4 \text{ см}^3$

Начальная температура льда, $t_{л1} = -5 \text{ °C}$

Конечная температура смеси, $t_к = 5 \text{ °C}$

Справочные данные:

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплоемкость льда, $c_л = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Плотность льда, $\rho_л = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Температура плавления льда, $t_{пл} = 0 \text{ °C}$

Перевод в систему СИ:

$m_в = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

$V_1 = 6,4 \text{ см}^3 = 6,4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Количество брусочков льда, $N$.

Решение:

Для решения задачи составим уравнение теплового баланса. Количество теплоты, которое отдаст вода при охлаждении ($Q_{отд}$), будет равно количеству теплоты, которое получат брусочки льда ($Q_{пол}$).

$Q_{отд} = Q_{пол}$

1. Рассчитаем количество теплоты, отданное водой при охлаждении с $t_{в1} = 25 \text{ °C}$ до $t_к = 5 \text{ °C}$:

$Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_{в1} - t_к)$

2. Количество теплоты, полученное льдом, состоит из трех частей:

• Теплота для нагревания льда от $t_{л1} = -5 \text{ °C}$ до температуры плавления $t_{пл} = 0 \text{ °C}$: $Q_1 = c_л \cdot m_л \cdot (t_{пл} - t_{л1})$
• Теплота для плавления льда при $t_{пл} = 0 \text{ °C}$: $Q_2 = \lambda \cdot m_л$
• Теплота для нагревания получившейся из льда воды от $t_{пл} = 0 \text{ °C}$ до конечной температуры $t_к = 5 \text{ °C}$: $Q_3 = c_в \cdot m_л \cdot (t_к - t_{пл})$

Полное количество теплоты, полученное льдом:

$Q_{пол} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = m_л \cdot (c_л(t_{пл} - t_{л1}) + \lambda + c_в(t_к - t_{пл}))$

где $m_л$ — общая масса льда.

3. Общая масса льда $m_л$ равна произведению числа брусочков $N$ на массу одного брусочка $m_1$. Массу одного брусочка найдем по его объему $V_1$ и плотности льда $\rho_л$:

$m_1 = \rho_л \cdot V_1$

$m_л = N \cdot m_1 = N \cdot \rho_л \cdot V_1$

4. Подставим все выражения в уравнение теплового баланса:

$c_в m_в (t_{в1} - t_к) = N \cdot \rho_л \cdot V_1 \cdot (c_л(t_{пл} - t_{л1}) + \lambda + c_в(t_к - t_{пл}))$

Отсюда выразим искомое число брусочков $N$:

$N = \frac{c_в m_в (t_{в1} - t_к)}{\rho_л V_1 (c_л(t_{пл} - t_{л1}) + \lambda + c_в(t_к - t_{пл}))}$

5. Выполним вычисления. Сначала знаменатель дроби, представляющий собой теплоту, поглощаемую одним брусочком льда ($Q_{\text{1 брусок}}$):

$Q_{\text{1 брусок}} = \rho_л V_1 (c_л(0 - (-5)) + \lambda + c_в(5 - 0))$

$Q_{\text{1 брусок}} = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 6,4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 \cdot (2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 5 \text{ °C} + 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 5 \text{ °C})$

$Q_{\text{1 брусок}} = 0,00576 \text{ кг} \cdot (10500 + 330000 + 21000) \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 0,00576 \text{ кг} \cdot 361500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \approx 2082,24 \text{ Дж}$

Теперь вычислим числитель — теплоту, отданную водой:

$Q_{отд} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,2 \text{ кг} \cdot (25 \text{ °C} - 5 \text{ °C}) = 16800 \text{ Дж}$

Найдем $N$:

$N = \frac{16800 \text{ Дж}}{2082,24 \text{ Дж}} \approx 8,068$

Поскольку количество брусочков должно быть целым числом, а результат очень близок к 8, округляем полученное значение до ближайшего целого.

Ответ: для охлаждения воды потребуется 8 брусочков льда.

662. В стальной сосуд массой 300 г налили 1,5 л воды при 17 °С. В воду опустили кусок мокрого снега массой 200 г. Когда снег растаял, установилась температура 7 °С. Сколько воды было в комке снега?

Дано:

$m_{ст} = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$
$V_{в1} = 1.5 \text{ л}$
$t_1 = 17 \text{ °C}$
$m_{снега} = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$t_2 = 0 \text{ °C}$ (температура мокрого снега)
$t_к = 7 \text{ °C}$
$c_{ст} = 500 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ (удельная теплоемкость стали)
$c_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ (удельная теплоемкость воды)
$\rho_{в} = 1000 \frac{кг}{м^3} = 1 \frac{кг}{л}$ (плотность воды)
$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$ (удельная теплота плавления льда)

Масса воды в сосуде: $m_{в1} = \rho_в \cdot V_{в1} = 1 \frac{кг}{л} \cdot 1.5 \text{ л} = 1.5 \text{ кг}$

Найти:

$m_{в2}$ - масса воды в комке снега.

Решение:

Составим уравнение теплового баланса. Количество теплоты, отданное стальным сосудом и водой в нем при остывании, равно количеству теплоты, полученному комком мокрого снега для плавления льда и нагревания всей образовавшейся воды.

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное сосудом и водой: $Q_{отданное} = Q_{ст} + Q_{в1} = c_{ст}m_{ст}(t_1 - t_к) + c_{в}m_{в1}(t_1 - t_к) = (c_{ст}m_{ст} + c_{в}m_{в1})(t_1 - t_к)$

Комок мокрого снега состоит изо льда массой $m_л$ и воды массой $m_{в2}$. Его общая масса $m_{снега} = m_л + m_{в2}$. Температура мокрого снега равна $t_2 = 0 \text{ °C}$. Количество теплоты, полученное снегом, складывается из теплоты на плавление льда ($Q_{пл}$) и теплоты на нагревание всей массы воды, получившейся из комка снега, от $t_2$ до $t_к$ ($Q_{нагр}$).

$Q_{полученное} = Q_{пл} + Q_{нагр} = \lambda m_л + c_{в}m_{снега}(t_к - t_2)$

Приравняем отданное и полученное количество теплоты: $(c_{ст}m_{ст} + c_{в}m_{в1})(t_1 - t_к) = \lambda m_л + c_{в}m_{снега}(t_к - t_2)$

Из этого уравнения найдем массу льда $m_л$ в комке снега. Сначала вычислим количество отданной теплоты: $Q_{отданное} = (500 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.3 \text{ кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1.5 \text{ кг}) \cdot (17 \text{ °C} - 7 \text{ °C})$ $Q_{отданное} = (150 + 6300) \frac{Дж}{°C} \cdot 10 \text{ °C} = 6450 \cdot 10 = 64500 \text{ Дж}$

Теперь вычислим количество теплоты, пошедшее на нагревание воды из комка снега: $Q_{нагр} = c_{в}m_{снега}(t_к - t_2) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot (7 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 840 \cdot 7 = 5880 \text{ Дж}$

Количество теплоты, пошедшее на плавление льда, равно разности: $Q_{пл} = Q_{отданное} - Q_{нагр} = 64500 \text{ Дж} - 5880 \text{ Дж} = 58620 \text{ Дж}$

Теперь найдем массу льда: $m_л = \frac{Q_{пл}}{\lambda} = \frac{58620 \text{ Дж}}{3.3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}} \approx 0.1776 \text{ кг}$

Масса воды в комке снега $m_{в2}$ равна разности общей массы комка и массы льда в нем: $m_{в2} = m_{снега} - m_л = 0.2 \text{ кг} - 0.1776 \text{ кг} = 0.0224 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы: $m_{в2} = 0.0224 \text{ кг} = 22.4 \text{ г}$

Ответ: в комке снега было 22,4 г воды.

663. Для определения удельной теплоты парообразования воды в алюминиевый калориметр массой 52 г, содержащий 250 г воды при 9 °С, ввели пар при температуре 100 °С. После его конденсации в калориметре оказалось 259 г воды с установившейся температурой 30 °С. Вычислить по этим данным удельную теплоту парообразования воды.

Дано:

Масса алюминиевого калориметра, $m_{к} = 52 \text{ г} = 0.052 \text{ кг}$
Начальная масса воды, $m_{в1} = 250 \text{ г} = 0.250 \text{ кг}$
Начальная температура воды и калориметра, $t_1 = 9 \text{ °C}$
Температура пара, $t_{пара} = 100 \text{ °C}$
Конечная масса воды, $m_{в2} = 259 \text{ г} = 0.259 \text{ кг}$
Конечная температура, $t_2 = 30 \text{ °C}$
Удельная теплоемкость алюминия (справочное значение), $c_{ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость воды (справочное значение), $c_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Найти:

Удельную теплоту парообразования воды, $L$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. В изолированной системе (калориметре) количество теплоты, отданное горячим телом (паром), равно количеству теплоты, полученному холодными телами (калориметром и водой в нем).

1. Найдем массу сконденсировавшегося пара ($m_{пара}$). Она равна разности конечной и начальной массы воды в калориметре: $m_{пара} = m_{в2} - m_{в1} = 259 \text{ г} - 250 \text{ г} = 9 \text{ г} = 0.009 \text{ кг}$.

2. Запишем количество теплоты $Q_{отд}$, отданное паром. Оно складывается из двух частей: теплоты, выделившейся при конденсации пара ($Q_1$), и теплоты, выделившейся при охлаждении образовавшейся из пара воды от $t_{пара}$ до $t_2$ ($Q_2$). $Q_1 = L \cdot m_{пара}$
$Q_2 = c_в \cdot m_{пара} \cdot (t_{пара} - t_2)$
Полное отданное тепло: $Q_{отд} = L \cdot m_{пара} + c_в \cdot m_{пара} \cdot (t_{пара} - t_2)$.

3. Запишем количество теплоты $Q_{пол}$, полученное калориметром и водой. Оно складывается из теплоты, пошедшей на нагревание калориметра ($Q_3$), и теплоты, пошедшей на нагревание воды ($Q_4$). $Q_3 = c_{ал} \cdot m_{к} \cdot (t_2 - t_1)$
$Q_4 = c_{в} \cdot m_{в1} \cdot (t_2 - t_1)$
Полное полученное тепло: $Q_{пол} = (c_{ал} \cdot m_{к} + c_{в} \cdot m_{в1}) \cdot (t_2 - t_1)$.

4. Составим уравнение теплового баланса $Q_{отд} = Q_{пол}$: $L \cdot m_{пара} + c_в \cdot m_{пара} \cdot (t_{пара} - t_2) = (c_{ал} \cdot m_{к} + c_{в} \cdot m_{в1}) \cdot (t_2 - t_1)$.

5. Выразим из этого уравнения искомую удельную теплоту парообразования $L$: $L \cdot m_{пара} = (c_{ал} \cdot m_{к} + c_{в} \cdot m_{в1}) \cdot (t_2 - t_1) - c_в \cdot m_{пара} \cdot (t_{пара} - t_2)$
$L = \frac{(c_{ал} \cdot m_{к} + c_{в} \cdot m_{в1}) \cdot (t_2 - t_1) - c_в \cdot m_{пара} \cdot (t_{пара} - t_2)}{m_{пара}}$.

6. Подставим числовые значения и произведем расчет. Разность температур в градусах Цельсия и Кельвинах одинакова, поэтому можно использовать °C. $L = \frac{(920 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.052 \text{ кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.250 \text{ кг}) \cdot (30 \text{ °C} - 9 \text{ °C}) - 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.009 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 30 \text{ °C})}{0.009 \text{ кг}}$
$L = \frac{(47.84 \frac{Дж}{°C} + 1050 \frac{Дж}{°C}) \cdot 21 \text{ °C} - 37.8 \frac{Дж}{°C} \cdot 70 \text{ °C}}{0.009 \text{ кг}}$
$L = \frac{1097.84 \frac{Дж}{°C} \cdot 21 \text{ °C} - 2646 \text{ Дж}}{0.009 \text{ кг}}$
$L = \frac{23054.64 \text{ Дж} - 2646 \text{ Дж}}{0.009 \text{ кг}}$
$L = \frac{20408.64 \text{ Дж}}{0.009 \text{ кг}} \approx 2267627 \frac{Дж}{кг}$.

Округлим результат до трех значащих цифр: $L \approx 2.27 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} = 2.27 \frac{МДж}{кг}$.

Ответ: удельная теплота парообразования воды, вычисленная по данным, составляет приблизительно $2.27 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$.

664*. В алюминиевый калориметр массой 300 г опустили кусок льда. Температура калориметра и льда –15 °С. Затем пропустили через калориметр водяной пар при 100 °С.После того как температура смеси стала 25 °С, измерили массу смеси, она оказалась равной 500 г. Найти массу сконденсировавшегося пара и массу льда, находившегося в калориметре в начале опыта.

Дано:

Масса алюминиевого калориметра, $m_{к} = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$
Начальная температура калориметра и льда, $t_1 = -15 \text{ °C}$
Температура водяного пара, $t_{пар} = 100 \text{ °C}$
Конечная температура смеси, $t_2 = 25 \text{ °C}$
Масса смеси (воды) в калориметре в конце, $m_{смеси} = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$
Температура плавления льда, $t_{пл} = 0 \text{ °C}$
Удельная теплоемкость алюминия, $c_{ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость льда, $c_{л} = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость воды, $c_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$
Удельная теплота парообразования воды, $L = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$

Найти:

Массу сконденсировавшегося пара, $m_{пар}$ — ?
Начальную массу льда, $m_{л}$ — ?

Решение:

Обозначим начальную массу льда как $m_{л}$ и массу сконденсировавшегося пара как $m_{пар}$. В конце опыта в калориметре находится вода, которая образовалась из растаявшего льда и сконденсировавшегося пара. Согласно закону сохранения массы:
$m_{смеси} = m_{л} + m_{пар}$
Из этого уравнения мы можем выразить массу льда через массу пара:
$m_{л} = m_{смеси} - m_{пар} = 0.5 - m_{пар}$ (1)

Для нахождения масс составим уравнение теплового баланса. Количество теплоты, отданное горячим телом (водяным паром), равно количеству теплоты, полученному холодными телами (калориметром и льдом).
$Q_{отдано} = Q_{получено}$

1. Найдем количество теплоты, отданное водяным паром ($Q_{отдано}$). Оно складывается из теплоты, выделившейся при конденсации пара, и теплоты, выделившейся при охлаждении образовавшейся из пара воды от $100 \text{ °C}$ до $25 \text{ °C}$.
$Q_{отдано} = L \cdot m_{пар} + c_{в} \cdot m_{пар} \cdot (t_{пар} - t_2) = m_{пар} \cdot (L + c_{в} \cdot (t_{пар} - t_2))$

2. Найдем количество теплоты, полученное калориметром и льдом ($Q_{получено}$). Оно складывается из:

• теплоты на нагревание калориметра от $-15 \text{ °C}$ до $25 \text{ °C}$: $Q_1 = c_{ал} \cdot m_{к} \cdot (t_2 - t_1)$
• теплоты на нагревание льда от $-15 \text{ °C}$ до $0 \text{ °C}$: $Q_2 = c_{л} \cdot m_{л} \cdot (t_{пл} - t_1)$
• теплоты на плавление льда при $0 \text{ °C}$: $Q_3 = \lambda \cdot m_{л}$
• теплоты на нагревание образовавшейся из льда воды от $0 \text{ °C}$ до $25 \text{ °C}$: $Q_4 = c_{в} \cdot m_{л} \cdot (t_2 - t_{пл})$

$Q_{получено} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4$
$Q_{получено} = c_{ал} \cdot m_{к} \cdot (t_2 - t_1) + m_{л} \cdot (c_{л} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{в} \cdot (t_2 - t_{пл}))$

Приравняем отданное и полученное количество теплоты:
$m_{пар} \cdot (L + c_{в} \cdot (t_{пар} - t_2)) = c_{ал} \cdot m_{к} \cdot (t_2 - t_1) + m_{л} \cdot (c_{л} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{в} \cdot (t_2 - t_{пл}))$ (2)

Подставим выражение для $m_{л}$ из уравнения (1) в уравнение (2):
$m_{пар} \cdot (L + c_{в} \cdot (t_{пар} - t_2)) = c_{ал} \cdot m_{к} \cdot (t_2 - t_1) + (0.5 - m_{пар}) \cdot (c_{л} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{в} \cdot (t_2 - t_{пл}))$

Рассчитаем значения выражений в скобках:
$L + c_{в} \cdot (t_{пар} - t_2) = 2.3 \cdot 10^6 + 4200 \cdot (100 - 25) = 2300000 + 315000 = 2615000 \frac{Дж}{кг}$
$c_{ал} \cdot m_{к} \cdot (t_2 - t_1) = 920 \cdot 0.3 \cdot (25 - (-15)) = 920 \cdot 0.3 \cdot 40 = 11040 \text{ Дж}$
$c_{л} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{в} \cdot (t_2 - t_{пл}) = 2100 \cdot (0 - (-15)) + 3.3 \cdot 10^5 + 4200 \cdot (25 - 0) = 2100 \cdot 15 + 330000 + 4200 \cdot 25 = 31500 + 330000 + 105000 = 466500 \frac{Дж}{кг}$

Подставим вычисленные значения в уравнение:
$m_{пар} \cdot 2615000 = 11040 + (0.5 - m_{пар}) \cdot 466500$
$2615000 \cdot m_{пар} = 11040 + 0.5 \cdot 466500 - 466500 \cdot m_{пар}$
$2615000 \cdot m_{пар} = 11040 + 233250 - 466500 \cdot m_{пар}$
$2615000 \cdot m_{пар} + 466500 \cdot m_{пар} = 244290$
$3081500 \cdot m_{пар} = 244290$
$m_{пар} = \frac{244290}{3081500} \approx 0.079276 \text{ кг}$

Округлим результат до граммов: $m_{пар} \approx 79 \text{ г}$.

Теперь найдем массу льда из уравнения (1):
$m_{л} = 0.5 - m_{пар} = 0.5 - 0.079 = 0.421 \text{ кг}$
Масса льда $m_{л} = 421 \text{ г}$.

Ответ: масса сконденсировавшегося пара равна примерно 79 г, а масса льда, находившегося в калориметре в начале опыта, равна примерно 421 г.