Страница 79 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

596. В двух капиллярных трубках разного диаметра, опущенных в воду, установилась разность уровней 2,6 см. При опускании этих же трубок в спирт разность уровней оказалась 1 см. Зная коэффициент поверхностного натяжения воды, найти коэффициент поверхностного натяжения спирта.

Дано:

Разность уровней в воде $\Delta h_в = 2,6 \text{ см} = 0,026 \text{ м}$
Разность уровней в спирте $\Delta h_с = 1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$
Для решения задачи воспользуемся справочными данными:
Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma_в \approx 73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$
Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность спирта $\rho_с \approx 800 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Коэффициент поверхностного натяжения спирта $\sigma_с$.

Решение:

Высота подъема жидкости в капилляре определяется по формуле Жюрена. При условии полного смачивания (когда краевой угол $\theta \approx 0$ и, соответственно, $\cos\theta \approx 1$), формула имеет вид:

$h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $r$ — радиус капилляра.

Пусть радиусы двух капиллярных трубок равны $r_1$ и $r_2$ (причем $r_1 < r_2$).

Для воды разность уровней в этих трубках составляет:

$\Delta h_в = h_{в1} - h_{в2} = \frac{2\sigma_в}{\rho_в g r_1} - \frac{2\sigma_в}{\rho_в g r_2} = \frac{2\sigma_в}{\rho_в g}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$

Для спирта разность уровней в тех же трубках составляет:

$\Delta h_с = h_{с1} - h_{с2} = \frac{2\sigma_с}{\rho_с g r_1} - \frac{2\sigma_с}{\rho_с g r_2} = \frac{2\sigma_с}{\rho_с g}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$

Мы получили систему из двух уравнений. Чтобы избавиться от неизвестных радиусов трубок, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{\Delta h_с}{\Delta h_в} = \frac{\frac{2\sigma_с}{\rho_с g}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)}{\frac{2\sigma_в}{\rho_в g}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)}$

После сокращения одинаковых множителей $\left(2, g, \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)\right)$ получаем:

$\frac{\Delta h_с}{\Delta h_в} = \frac{\sigma_с / \rho_с}{\sigma_в / \rho_в} = \frac{\sigma_с \rho_в}{\sigma_в \rho_с}$

Из этого соотношения выразим искомый коэффициент поверхностного натяжения спирта $\sigma_с$:

$\sigma_с = \sigma_в \cdot \frac{\Delta h_с \cdot \rho_с}{\Delta h_в \cdot \rho_в}$

Подставим числовые значения из условия и справочных данных:

$\sigma_с = 73 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot \frac{0,01 \text{ м} \cdot 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{0,026 \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 73 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{8}{26} \approx 73 \cdot 10^{-3} \cdot 0,308 \approx 22,5 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Ответ: коэффициент поверхностного натяжения спирта равен приблизительно $22,5 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$.

597. Кубик, вырезанный из монокристалла, нагреваясь, может превратиться в параллелепипед. Почему это возможно?

Это возможно из-за свойства, называемого анизотропией, которое присуще монокристаллам. Анизотропия — это зависимость физических свойств вещества от направления. В данном случае речь идет об анизотропии теплового расширения.

У изотропных тел (например, у аморфных веществ, таких как стекло, или у поликристаллов с хаотичной ориентацией кристаллитов) коэффициент линейного теплового расширения одинаков во всех направлениях. Поэтому кубик из такого материала при нагревании останется кубиком, только большего размера.

В монокристалле же, который имеет упорядоченную кристаллическую решетку, коэффициент линейного теплового расширения $ \alpha $ зависит от кристаллографического направления. Если вырезать кубик так, чтобы его ребра были направлены вдоль разных кристаллографических осей (обозначим их x, y, z), то коэффициенты расширения вдоль этих осей будут, в общем случае, различны: $ \alpha_x \neq \alpha_y \neq \alpha_z $.

При нагревании на одинаковую температуру $ \Delta T $ ребра кубика, имевшие начальную длину $ L_0 $, удлинятся на разную величину. Новые длины ребер будут равны:

$L_x = L_0(1 + \alpha_x \Delta T)$

$L_y = L_0(1 + \alpha_y \Delta T)$

$L_z = L_0(1 + \alpha_z \Delta T)$

Поскольку коэффициенты $ \alpha_x, \alpha_y, \alpha_z $ различны, то и конечные длины ребер $ L_x, L_y, L_z $ не будут равны друг другу. Тело, имевшее форму куба, примет форму прямоугольного параллелепипеда. Ответ: Кубик из монокристалла при нагревании превращается в параллелепипед из-за анизотропии теплового расширения: монокристалл расширяется по-разному в разных направлениях, поэтому равные изначально ребра куба после нагрева становятся разной длины.

598. Если тело обладает анизотропией, означает ли это, что оно является кристаллическим?

Нет, это не обязательно означает, что тело является кристаллическим.

Анизотропия — это зависимость физических свойств тела (таких как механическая прочность, теплопроводность, показатель преломления света и др.) от выбранного в нем направления. Кристаллические тела, а точнее монокристаллы, действительно являются классическим примером анизотропных тел. Их анизотропия обусловлена упорядоченным, периодическим расположением атомов, ионов или молекул в кристаллической решетке. Из-за этого силы взаимодействия и расстояния между частицами оказываются различными вдоль разных кристаллографических направлений, что и приводит к различию свойств.

Однако анизотропия не является исключительным свойством только кристаллических тел. Существуют и другие материалы, которые могут проявлять анизотропные свойства, не будучи кристаллами в строгом смысле этого слова:

• Аморфные тела с наведенной анизотропией: Аморфные тела (например, стекло или пластмассы) обычно изотропны, то есть их свойства одинаковы во всех направлениях. Но при определенных внешних воздействиях, например, при механической деформации (растяжении), в них может возникнуть упорядоченность в расположении молекул вдоль направления растяжения. Такое тело станет анизотропным. Например, прочность полимерной пленки вдоль направления вытяжки будет выше, чем поперек.
• Композитные материалы: Материалы, состоящие из нескольких компонентов, часто анизотропны. Ярким примером является древесина. Она состоит из вытянутых в одном направлении волокон целлюлозы. Вдоль волокон древесина значительно прочнее и легче обрабатывается, чем поперек. При этом древесина не является монокристаллом.
• Жидкие кристаллы: Это вещества, занимающие промежуточное положение между жидкостями и твердыми кристаллами. Они обладают текучестью, как жидкости, но их молекулы определенным образом упорядочены (ориентированы), что приводит к анизотропии их оптических и электрических свойств.

Таким образом, хотя для монокристаллов анизотропия является фундаментальным свойством, наличие анизотропии у тела не позволяет однозначно утверждать, что оно является кристаллическим.

Ответ: Нет, не означает. Анизотропией могут обладать и некристаллические тела (например, древесина) или аморфные тела, в которых анизотропия была создана искусственно (например, растянутая полимерная пленка).

599. Почему предел упругости при сжатии больше предела упругости при растяжении?

599. Решение

Различие в пределе упругости при сжатии и растяжении объясняется, в первую очередь, наличием в реальных материалах микроскопических дефектов, таких как трещины, поры, инородные включения и другие неоднородности структуры. Поведение этих дефектов кардинально отличается в зависимости от типа нагрузки.

Когда к материалу прикладывается растягивающая нагрузка, она стремится увеличить расстояние между атомами. В местах наличия дефектов, особенно у острых краёв микротрещин, возникает явление концентрации напряжений. Это означает, что локальное напряжение в этих точках может многократно превышать среднее напряжение, приложенное ко всему образцу. Эти высокие локальные напряжения способствуют росту и распространению трещин, что приводит к началу пластической деформации (превышению предела упругости) или разрушению при сравнительно низкой общей нагрузке.

Напротив, когда материал подвергается сжатию, внешние силы действуют в противоположном направлении. Они стремятся сомкнуть края существующих микротрещин и пор. В результате этого негативное влияние дефектов как концентраторов напряжений практически полностью устраняется. Нагрузка распределяется по сечению материала более равномерно. Чтобы вызвать пластическую деформацию при сжатии, необходимо преодолеть силы межатомного отталкивания по всему объёму, что требует значительно большего усилия, чем то, которое необходимо для распространения уже существующей трещины при растяжении.

Таким образом, из-за того, что при сжатии структурные дефекты "залечиваются", а при растяжении, наоборот, становятся источником слабости, предел упругости для большинства твердых тел (особенно хрупких, как бетон или чугун) оказывается значительно выше при сжатии.

Ответ: Предел упругости при сжатии больше предела упругости при растяжении из-за наличия в материалах микродефектов (трещин, пор). При растяжении эти дефекты становятся концентраторами напряжений, облегчая начало пластической деформации или разрушения. При сжатии, наоборот, края дефектов смыкаются, их негативное влияние нивелируется, и материал способен выдерживать большую нагрузку до начала необратимой деформации.

600. Какого вида деформации испытывают:

а) ножка скамейки;

б) сиденье скамейки;

в) натянутая струна гитары;

г) винт мясорубки;

д) сверло;

е) зубья пилы?

а) ножка скамейки

Ножка скамейки поддерживает вес сиденья и людей, находящихся на ней. Эта сила тяжести направлена вертикально вниз вдоль оси ножки, в результате чего ножка сжимается, то есть её длина уменьшается. Такой вид деформации называется сжатием.

Ответ: сжатие.

б) сиденье скамейки

Сиденье скамейки опирается на ножки по краям. Когда на него садится человек, его вес прикладывается к средней части сиденья, заставляя его прогибаться. При этом верхние слои доски сиденья сжимаются, а нижние — растягиваются. Это характерно для деформации изгиба.

Ответ: изгиб.

в) натянутая струна гитары

Струна гитары закреплена с двух концов и натянута с определенной силой. Силы натяжения, приложенные к концам струны, направлены в противоположные стороны вдоль струны и вызывают её удлинение. Такая деформация является деформацией растяжения.

Ответ: растяжение.

г) винт мясорубки

Винт (шнек) мясорубки вращается для продвижения мяса. Мясо оказывает сопротивление этому вращению, создавая на валу винта скручивающий момент. В результате сечения винта поворачиваются друг относительно друга вокруг его оси. Этот вид деформации называется кручением.

Ответ: кручение.

д) сверло

Во время работы сверло вращается и одновременно вдавливается в обрабатываемый материал. Сопротивление материала вращению вызывает скручивание сверла — это деформация кручения. В то же время осевая сила, с которой сверло вдавливается в материал, вызывает его сжатие. Таким образом, сверло испытывает сложную деформацию, состоящую из кручения и сжатия.

Ответ: кручение и сжатие.

е) зубья пилы

Основная функция зубьев пилы — резать материал, отделяя от него мелкие частицы (опилки). Этот процесс по своей сути является деформацией среза, так как зуб прикладывает силу к материалу, заставляя одну его часть сдвигаться относительно другой. Сам зуб при этом испытывает со стороны материала силу сопротивления, которая может вызывать его небольшой изгиб. Следовательно, зубья пилы испытывают в основном деформацию среза и изгиба.

Ответ: срез и изгиб.

601. Какого вида деформации возникают в стержне, которым соединяются половинки дверных петель?

В стержне, который соединяет половинки дверных петель, возникают два основных вида деформации: деформация сдвига (также называемая срезом) и деформация изгиба.

Рассмотрим силы, действующие на стержень. Вес двери создает силу, направленную вертикально вниз. Эта сила через половинку петли, закрепленную на двери, действует на стержень. Другая половинка петли, закрепленная на дверной коробке, удерживает стержень, создавая силу реакции, направленную вверх. Эти две силы (сила тяжести двери и сила реакции опоры) параллельны, направлены в противоположные стороны и приложены к соседним поперечным сечениям стержня. Такое нагружение приводит к деформации сдвига (среза). При этой деформации происходит взаимное смещение слоев материала стержня, как будто его пытаются «перерезать».

Одновременно с этим стержень можно рассматривать как балку, которая опирается на выступы («кулачки») одной части петли и нагружена весом двери, передаваемым через выступы другой части. Поскольку сила тяжести приложена перпендикулярно оси стержня, она вызывает его прогиб. Это деформация изгиба. Деформация изгиба является сложной, она представляет собой сочетание деформации растяжения (на внешней, выпуклой стороне изгиба) и деформации сжатия (на внутренней, вогнутой стороне).

Таким образом, стержень дверной петли испытывает сложную деформацию, которая является комбинацией сдвига и изгиба.

Ответ: В стержне, соединяющем половинки дверных петель, возникают деформации сдвига (среза) и изгиба.

602. Какого вида деформации возникают в перекладине, когда гимнаст делает полный оборот («солнце»)?

Когда гимнаст выполняет упражнение «солнце» на перекладине, в ней возникает сложная комбинация деформаций. Основными видами являются деформация изгиба и деформация кручения.

Деформация изгиба является наиболее очевидной. Перекладина закреплена на двух опорах, а сила со стороны гимнаста приложена между ними. Эта сила, являющаяся суммой веса гимнаста и центростремительной силы, заставляет перекладину прогибаться. Так как гимнаст вращается, величина и направление этой силы постоянно меняются, что приводит к динамической деформации изгиба. Наибольший прогиб наблюдается в нижней точке вращения, где сила максимальна.

Одновременно с изгибом возникает деформация кручения. Она вызвана тем, что во время вращения гимнаст прикладывает к перекладине крутящий момент. Это происходит, например, из-за необходимости поворачивать кисти рук на грифе или из-за несимметричного приложения сил, что практически неизбежно при выполнении такого сложного элемента. Крутящий момент заставляет сечения перекладины поворачиваться друг относительно друга вокруг её продольной оси.

Кроме того, любая деформация изгиба под действием поперечной силы сопровождается деформацией сдвига, при которой одни слои материала смещаются относительно других.

Следовательно, в перекладине одновременно присутствуют деформации изгиба, кручения и сдвига.

Ответ: В перекладине возникают деформации изгиба, кручения и сдвига.

603. Для чего рама велосипеда делается из полых трубок, а не из сплошных стержней?

603. Решение

Рама велосипеда делается из полых трубок, а не из сплошных стержней, для достижения оптимального соотношения прочности и веса. Это инженерное решение основано на законах механики и сопротивления материалов.

Основная причина заключается в том, как распределяются нагрузки в элементе конструкции при изгибе или кручении. Когда на трубу или стержень рамы действует нагрузка, максимальные механические напряжения (растяжения и сжатия) возникают на его внешней поверхности. Материал, находящийся вблизи центральной оси, испытывает очень малые нагрузки и, следовательно, вносит минимальный вклад в общую прочность и жесткость конструкции.

Удаляя этот "малоэффективный" материал из центра, мы превращаем сплошной стержень в полую трубку. Это приводит к двум важным последствиям:

1. Значительное снижение веса. Масса прямо пропорциональна объему, а значит, и площади поперечного сечения. Площадь сечения сплошного стержня радиусом $R$ равна $S_{сплошной} = \pi R^2$. Площадь сечения полой трубки с внешним радиусом $R$ и внутренним $r$ равна $S_{полая} = \pi (R^2 - r^2)$. При одинаковом внешнем диаметре полая трубка всегда значительно легче сплошного стержня.

2. Незначительное снижение прочности. Поскольку основную нагрузку несут внешние слои, удаление центральной части лишь ненамного снижает общую прочность и жесткость на изгиб и кручение.

В результате конструкция из полых трубок обладает гораздо более высоким отношением прочности к весу (удельной прочностью), чем конструкция из сплошных стержней. Для велосипеда, где малый вес является одним из ключевых преимуществ (облегчает разгон, подъемы, маневрирование), такое решение является оптимальным.

Ответ: Рама велосипеда делается из полых трубок для того, чтобы сделать ее максимально легкой, сохранив при этом необходимую прочность и жесткость. При нагрузках на раму (изгиб, кручение) наиболее напряженными являются внешние слои материала, а материал в центре почти не нагружен. Его удаление позволяет существенно снизить вес рамы при минимальной потере прочности.

604. К закреплённой одним концом проволоке диаметром 2 мм подвешен груз массой 10 кг. Найти механическое напряжение в проволоке.

Дано:

$d = 2$ мм

$m = 10$ кг

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ Н/кг.

Перевод в систему СИ:

$d = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

$\sigma$ - ?

Решение:

Механическое напряжение $\sigma$ определяется как отношение силы упругости $F$, возникающей в поперечном сечении проволоки, к площади этого сечения $S$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Когда к проволоке подвешен груз, сила упругости $F$, возникающая в ней, по модулю равна силе тяжести, действующей на груз. Силу тяжести находим по формуле:

$F = m \cdot g$

Площадь поперечного сечения проволоки $S$ является площадью круга и вычисляется по формуле через диаметр $d$:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражения для силы и площади в формулу для механического напряжения, чтобы получить итоговую расчетную формулу:

$\sigma = \frac{m \cdot g}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 m g}{\pi d^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу (примем $\pi \approx 3.14$):

$\sigma = \frac{4 \cdot 10 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг}}{3.14 \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2} = \frac{392 \text{ Н}}{3.14 \cdot 4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{392 \text{ Н}}{12.56 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx 31.21 \cdot 10^6 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2}$

Единица измерения Н/м² называется Паскаль (Па). Результат удобно выразить в мегапаскалях (МПа), учитывая, что $1 \text{ МПа} = 10^6 \text{ Па}$. Округлим ответ до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных.

$\sigma \approx 31 \cdot 10^6 \text{ Па} = 31 \text{ МПа}$

Ответ: механическое напряжение в проволоке $\sigma \approx 31$ МПа.

605. Две проволоки, диаметры которых отличаются в 3 раза, подвержены действию одинаковых растягивающих сил. Сравнить возникающие в них напряжения.

Дано:

Отношение диаметров двух проволок: $\frac{d_2}{d_1} = 3$
Растягивающие силы, действующие на проволоки, одинаковы: $F_1 = F_2 = F$

Найти:

Сравнить напряжения в проволоках, т.е. найти отношение $\frac{\sigma_1}{\sigma_2}$ (где $\sigma_1$ - напряжение в более тонкой проволоке, а $\sigma_2$ - в более толстой).

Решение:

Механическое напряжение $\sigma$ определяется как отношение силы упругости $F$, возникающей в теле при деформации, к площади поперечного сечения $A$. По третьему закону Ньютона, сила упругости равна по модулю внешней растягивающей силе, поэтому:

$\sigma = \frac{F}{A}$

Запишем формулы для напряжений в первой (более тонкой) и второй (более толстой) проволоках:

$\sigma_1 = \frac{F_1}{A_1}$

$\sigma_2 = \frac{F_2}{A_2}$

Поскольку проволоки имеют круглое сечение, их площадь поперечного сечения $A$ вычисляется по формуле площади круга через диаметр $d$:

$A = \frac{\pi d^2}{4}$

Тогда площади поперечных сечений первой и второй проволок равны:

$A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4}$

$A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4}$

Найдем отношение напряжений в проволоках, чтобы их сравнить:

$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{F_1/A_1}{F_2/A_2}$

Так как по условию силы одинаковы ($F_1 = F_2$), то:

$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi d_2^2 / 4}{\pi d_1^2 / 4} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = (\frac{d_2}{d_1})^2$

Из условия известно, что диаметры отличаются в 3 раза. Пусть $d_1$ — диаметр тонкой проволоки, а $d_2$ — диаметр толстой, тогда $\frac{d_2}{d_1} = 3$. Подставим это значение в формулу:

$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = (3)^2 = 9$

Это означает, что напряжение в проволоке с меньшим диаметром ($\sigma_1$) в 9 раз больше, чем напряжение в проволоке с большим диаметром ($\sigma_2$).

Ответ: напряжение в проволоке с меньшим диаметром в 9 раз больше, чем в проволоке с большим диаметром.

606. Балка длиной $5 \text{ м}$ с площадью поперечного сечения $100 \text{ см}^2$ под действием сил по $10 \text{ кН}$, приложенных к её концам, сжалась на $1 \text{ см}$. Найти относительное сжатие и механическое напряжение.

Дано:

Длина балки, $l_0 = 5 \text{ м}$
Площадь поперечного сечения, $S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$
Приложенная сила, $F = 10 \text{ кН} = 10 \cdot 10^3 \text{ Н} = 10000 \text{ Н}$
Абсолютное сжатие, $|\Delta l| = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Относительное сжатие, $\epsilon - ?$
Механическое напряжение, $\sigma - ?$

Решение:

Относительное сжатие

Относительное сжатие (или относительная деформация) — это безразмерная величина, равная отношению изменения длины тела к его первоначальной длине. Оно показывает, какую долю от первоначальной длины составляет её изменение.

Формула для относительного сжатия:

$\epsilon = \frac{|\Delta l|}{l_0}$

Подставим значения из условия задачи:

$\epsilon = \frac{0.01 \text{ м}}{5 \text{ м}} = 0.002$

Относительное сжатие можно также выразить в процентах, умножив полученное значение на 100%:

$\epsilon = 0.002 \cdot 100\% = 0.2\%$

Ответ: относительное сжатие равно $0.002$ (или $0.2\%$).

Механическое напряжение

Механическое напряжение — это физическая величина, равная отношению модуля силы упругости, возникающей в поперечном сечении тела, к площади этого сечения. В данном случае модуль силы упругости равен модулю приложенной внешней силы $F$.

Формула для механического напряжения:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Подставим значения из условия задачи:

$\sigma = \frac{10000 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}^2} = 1 \, 000 \, 000 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2} = 10^6 \text{ Па}$

Так как $10^6 \text{ Па} = 1 \text{ МПа}$ (мегапаскаль), то напряжение равно $1 \text{ МПа}$.

Ответ: механическое напряжение составляет $10^6 \text{ Па}$ (или $1 \text{ МПа}$).

607. При растяжении алюминиевой проволоки длиной 2 м в ней возникло механическое напряжение 35 МПа. Найти относительное и абсолютное удлинение.

Дано:

Начальная длина алюминиевой проволоки $l_0 = 2$ м
Механическое напряжение $\sigma = 35$ МПа

$\sigma = 35 \text{ МПа} = 35 \cdot 10^6$ Па
Модуль упругости (модуль Юнга) для алюминия (справочная величина) $E \approx 70 \text{ ГПа} = 70 \cdot 10^9$ Па

Найти:

Относительное удлинение $\epsilon$ - ?
Абсолютное удлинение $\Delta l$ - ?

Решение:

Для нахождения относительного удлинения воспользуемся законом Гука, который для упругой деформации связывает механическое напряжение $\sigma$, модуль упругости $E$ и относительное удлинение $\epsilon$.

$\sigma = E \cdot \epsilon$

Выразим из этой формулы относительное удлинение $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{\sigma}{E}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\epsilon = \frac{35 \cdot 10^6 \text{ Па}}{70 \cdot 10^9 \text{ Па}} = 0.5 \cdot 10^{-3} = 0.0005$

Относительное удлинение является безразмерной величиной.

Теперь, зная относительное удлинение, мы можем найти абсолютное удлинение $\Delta l$. По определению, относительное удлинение — это отношение абсолютного удлинения к начальной длине тела.

$\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0}$

Выразим из этой формулы абсолютное удлинение $\Delta l$:

$\Delta l = \epsilon \cdot l_0$

Подставим известные значения:

$\Delta l = 0.0005 \cdot 2 \text{ м} = 0.001 \text{ м}$

Полученное значение можно также выразить в миллиметрах: $0.001 \text{ м} = 1 \text{ мм}$.

Ответ: относительное удлинение равно $0.0005$; абсолютное удлинение равно $0.001$ м (или $1$ мм).

608. Найти механическое напряжение, возникающее в стальном тросе при его относительном удлинении 0,001.

Дано:

Относительное удлинение стального троса, $\epsilon = 0,001$.
Модуль Юнга (модуль упругости) для стали является справочной величиной, $E \approx 2 \cdot 10^{11}$ Па.

Найти:

Механическое напряжение $\sigma$.

Решение:

При упругой деформации механическое напряжение $\sigma$ связано с относительным удлинением $\epsilon$ через закон Гука. Формула, связывающая эти величины, выглядит следующим образом:

$\sigma = E \cdot \epsilon$

где $E$ — это модуль Юнга, который характеризует упругие свойства материала. Для стали, как указано в данных, его значение составляет примерно $2 \cdot 10^{11}$ Па.

Подставим имеющиеся значения в формулу для расчета механического напряжения:

$\sigma = (2 \cdot 10^{11} \, \text{Па}) \cdot 0,001$

$\sigma = 2 \cdot 10^{11} \cdot 10^{-3} \, \text{Па} = 2 \cdot 10^{(11-3)} \, \text{Па} = 2 \cdot 10^8 \, \text{Па}$

Полученное значение можно для удобства перевести в мегапаскали (МПа), учитывая, что $1 \, \text{МПа} = 10^6 \, \text{Па}$:

$\sigma = \frac{2 \cdot 10^8 \, \text{Па}}{10^6 \, \text{Па/МПа}} = 200 \, \text{МПа}$

Ответ: механическое напряжение, возникающее в стальном тросе, равно $2 \cdot 10^8$ Па (или 200 МПа).