Страница 77 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

577. На одном конце соломинки выдули мыльный пузырь и поднесли другой её конец к пламени горящей свечи. Почему пламя свечи будет отклоняться при этом в сторону?

Решение

Отклонение пламени свечи в описанном опыте объясняется возникновением избыточного давления внутри мыльного пузыря из-за сил поверхностного натяжения.

1. Когда мы выдуваем мыльный пузырь, его сферическую форму поддерживает тонкая пленка мыльного раствора. Эта пленка обладает свойством, называемым поверхностным натяжением. Силы поверхностного натяжения стремятся сократить площадь поверхности пленки до минимума, что приводит к сжатию воздуха, находящегося внутри пузыря.

2. В результате этого сжатия давление воздуха внутри мыльного пузыря ($P_{внутр}$) становится немного выше, чем давление окружающего атмосферного воздуха ($P_{атм}$). Эта разность давлений называется избыточным давлением Лапласа. Для сферической мыльной пленки, имеющей две поверхности (внутреннюю и внешнюю), оно рассчитывается по формуле:

$\Delta P = P_{внутр} - P_{атм} = \frac{4\sigma}{R}$

где $\sigma$ – это коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, а $R$ – радиус пузыря.

3. Соломинка, на одном конце которой находится мыльный пузырь, действует как трубка, соединяющая область высокого давления (внутри пузыря) с областью низкого давления (атмосфера у другого конца соломинки). Под действием этой разности давлений воздух начинает вытекать из пузыря через соломинку наружу.

4. Направленный поток воздуха, выходящий из свободного конца соломинки, попадает на пламя свечи. Этот воздушный поток механически воздействует на пламя, сдувая его в сторону. Именно поэтому пламя свечи отклоняется.

Ответ:

Пламя свечи отклоняется в сторону, потому что силы поверхностного натяжения мыльной пленки создают внутри пузыря давление, которое выше атмосферного. Из-за этой разности давлений из свободного конца соломинки выходит струя воздуха, которая и отклоняет пламя.

578. С какой силой действует мыльная плёнка на проволоку AB (рис. 66), если длина проволоки 3 см? Какую работу надо совершить, чтобы переместить проволоку на 2 см?

Рис. 66

Дано:

Длина проволоки, $l = 3 \text{ см}$

Перемещение проволоки, $\Delta x = 2 \text{ см}$

Жидкость - мыльная плёнка. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора (справочное значение), $\sigma \approx 40 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Найти:

Сила поверхностного натяжения, $F_{н}$ - ?

Работа, $A$ - ?

Решение:

С какой силой действует мыльная плёнка на проволоку АВ (рис. 66), если длина проволоки 3 см?

Сила поверхностного натяжения $F_{н}$ действует вдоль поверхности жидкости и стремится сократить ее площадь. Она рассчитывается по формуле $F_{н} = \sigma L$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $L$ — длина контура, на который действует сила.

Мыльная плёнка имеет две поверхности (переднюю и заднюю), каждая из которых соприкасается с проволокой. Поэтому общая длина контура, вдоль которого действует сила натяжения на проволоку АВ, равна удвоенной длине проволоки: $L = 2l$.

Таким образом, формула для расчёта силы приобретает вид:

$F_{н} = \sigma \cdot 2l$

Подставим значения в систему СИ:

$F_{н} = 40 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 2 \cdot 0.03 \text{ м} = 2.4 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

Ответ: $2.4 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$.

Какую работу надо совершить, чтобы переместить проволоку на 2 см?

Работа $A$, совершаемая внешней силой для растяжения плёнки, равна изменению её поверхностной энергии. Также работу можно рассчитать как произведение силы, которую необходимо приложить для равномерного перемещения проволоки, на расстояние перемещения. Эта сила по модулю равна силе поверхностного натяжения $F_{н}$.

Воспользуемся формулой работы через силу и перемещение:

$A = F_{н} \cdot \Delta x$

Подставим найденное значение силы $F_{н}$ и заданное перемещение $\Delta x$:

$A = 2.4 \cdot 10^{-3} \text{ Н} \cdot 0.02 \text{ м} = 4.8 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Также можно рассчитать работу через изменение площади поверхности плёнки $\Delta S$. Поскольку у плёнки две поверхности, изменение площади составляет $\Delta S = 2 \cdot l \cdot \Delta x$. Тогда работа $A = \sigma \Delta S = \sigma \cdot 2l \cdot \Delta x$.

$A = 40 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 2 \cdot 0.03 \text{ м} \cdot 0.02 \text{ м} = 4.8 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Результаты совпадают.

Ответ: $4.8 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$.

579. Положите на поверхность воды спичку и коснитесь воды кусочком мыла по одну сторону вблизи спички. Объяснить наблюдаемое явление. Найти силу, приводящую спичку в движение, если длина спички 4 см.

Объяснить наблюдаемое явление.

Когда спичка лежит на поверхности чистой воды, силы поверхностного натяжения, действующие на нее с обеих сторон, одинаковы и уравновешивают друг друга, поэтому спичка находится в покое. Молекулы на поверхности жидкости (в данном случае воды) создают своего рода упругую пленку благодаря силам межмолекулярного притяжения.

Мыло является поверхностно-активным веществом (ПАВ). При соприкосновении с водой оно быстро растворяется и растекается по поверхности, значительно уменьшая коэффициент поверхностного натяжения воды с той стороны, где его коснулись. Это происходит потому, что молекулы мыла встраиваются между молекулами воды и ослабляют силы притяжения между ними.

В результате этого, сила поверхностного натяжения со стороны чистой воды ($F_1$) становится больше, чем сила со стороны мыльного раствора ($F_2$). Возникает результирующая (неуравновешенная) сила $F_{рез} = F_1 - F_2$, направленная в сторону чистой воды. Под действием этой силы спичка начинает двигаться от мыла в сторону области с большим поверхностным натяжением.

Ответ: Движение спички вызвано возникновением разности сил поверхностного натяжения по обе стороны от нее. Мыло уменьшает поверхностное натяжение воды с одной стороны, поэтому со стороны чистой воды на спичку действует большая сила, которая и приводит ее в движение.

Найти силу, приводящую спичку в движение, если длина спички 4 см.

Дано:

Длина спички: $l = 4 \text{ см}$

Для решения задачи воспользуемся справочными данными для коэффициентов поверхностного натяжения воды и мыльного раствора (при температуре около 20°C), так как они не указаны в условии:
Коэффициент поверхностного натяжения чистой воды: $\sigma_1 \approx 73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$
Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора: $\sigma_2 \approx 40 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$

$l = 0.04 \text{ м}$
$\sigma_1 = 0.073 \text{ Н/м}$
$\sigma_2 = 0.040 \text{ Н/м}$

Найти:

$F_{рез}$ — ?

Решение:

Сила, приводящая спичку в движение, является результирующей силой, возникающей из-за разности сил поверхностного натяжения, действующих на спичку с двух сторон. Сила поверхностного натяжения вычисляется по формуле: $F = \sigma \cdot l$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $l$ — длина линии, на которую действует сила (в данном случае, длина спички).

С одной стороны (со стороны чистой воды) на спичку действует сила: $F_1 = \sigma_1 \cdot l$

С другой стороны (где в воду добавили мыло) действует сила: $F_2 = \sigma_2 \cdot l$

Результирующая сила, приводящая спичку в движение, равна разности этих сил: $F_{рез} = F_1 - F_2 = \sigma_1 l - \sigma_2 l = (\sigma_1 - \sigma_2)l$

Подставим числовые значения в систему СИ: $F_{рез} = (0.073 \text{ Н/м} - 0.040 \text{ Н/м}) \cdot 0.04 \text{ м} = 0.033 \text{ Н/м} \cdot 0.04 \text{ м} = 0.00132 \text{ Н}$

Результат можно выразить в миллиньютонах: $0.00132 \text{ Н} = 1.32 \text{ мН}$.

Ответ: $F_{рез} = 0.00132 \text{ Н}$.

580. Какова масса капли воды, вытекающей из пипетки, в момент отрыва, если диаметр отверстия пипетки равен 1,2 мм? Считать, что диаметр шейки капли равен диаметру отверстия пипетки.

Дано:

Найти:

Решение:

Капля воды отрывается от пипетки в тот момент, когда сила тяжести, действующая на каплю, становится равной силе поверхностного натяжения, которая удерживает каплю у края отверстия пипетки.

Сила тяжести $F_g$ определяется по формуле:

$F_g = mg$

где $m$ — масса капли, а $g$ — ускорение свободного падения.

Сила поверхностного натяжения $F_\sigma$ действует вдоль границы соприкосновения воды с краем отверстия и вычисляется по формуле:

$F_\sigma = \sigma L$

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения воды, а $L$ — длина границы, по которой действует эта сила. В данном случае граница представляет собой окружность шейки капли, диаметр которой, по условию задачи, равен диаметру отверстия пипетки $d$. Длина этой окружности равна:

$L = \pi d$

Следовательно, сила поверхностного натяжения равна:

$F_\sigma = \sigma \pi d$

В момент отрыва силы уравновешивают друг друга:

$F_g = F_\sigma$

$mg = \sigma \pi d$

Из этого соотношения можно выразить массу капли $m$:

$m = \frac{\sigma \pi d}{g}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления, используя значение $\pi \approx 3.14$:

$m = \frac{(73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}) \cdot 3.14 \cdot (1.2 \cdot 10^{-3} \text{ м})}{9.8 \text{ м/с}^2}$

$m \approx \frac{275.028 \cdot 10^{-6} \text{ Н}}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx 28.064 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

Для удобства представления результата переведем массу из килограммов в миллиграммы (1 кг = $10^6$ мг):

$m \approx 28.064 \cdot 10^{-6} \cdot 10^6 \text{ мг} \approx 28.1 \text{ мг}$

Ответ: масса капли воды в момент отрыва составляет примерно 28,1 мг.

581. Для определения коэффициента поверхностного натяжения воды была использована пипетка с диаметром выходного отверстия 2 мм. Масса 40 капель оказалась равной 1,9 г. Каким по этим данным получится значение коэффициента поверхностного натяжения воды?

Дано:

Найти:

Решение:

Для определения коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$ используется метод отрыва капель. Согласно этому методу, в момент отрыва капли от кончика пипетки сила тяжести, действующая на каплю, становится равной силе поверхностного натяжения, удерживающей каплю.

Сила тяжести, действующая на одну каплю, вычисляется по формуле $F_g = mg$, где $m$ - масса одной капли.

Массу одной капли можно найти, разделив общую массу $M$ на количество капель $N$:

$m = \frac{M}{N}$

Сила поверхностного натяжения $F_\sigma$ действует вдоль линии соприкосновения жидкости с краем отверстия пипетки. Длина этой линии (периметр) равна $L = \pi d$. Сила определяется как:

$F_\sigma = \sigma L = \sigma \pi d$

Приравниваем силу тяжести и силу поверхностного натяжения в момент отрыва:

$F_g = F_\sigma$

$mg = \sigma \pi d$

Подставим в это уравнение выражение для массы одной капли:

$\frac{M}{N}g = \sigma \pi d$

Выразим искомую величину $\sigma$:

$\sigma = \frac{Mg}{N \pi d}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$\sigma = \frac{1.9 \times 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{40 \cdot \pi \cdot 2 \times 10^{-3} \text{ м}} = \frac{1.9 \cdot 9.8}{80 \pi} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$\sigma = \frac{18.62}{80 \pi} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \approx \frac{18.62}{251.3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \approx 0.0741 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Округляя до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$\sigma \approx 0.074 \text{ Н/м}$

Ответ: значение коэффициента поверхностного натяжения воды, полученное по этим данным, составляет примерно $0.074 \text{ Н/м}$.

582*. Из капельницы накапали равные массы сначала холодной, а затем горячей воды. Как и во сколько раз изменился коэффициент поверхностного натяжения воды, если в первом случае образовалось 40, а во втором 48 капель? Плотность воды считать оба раза одинаковой.

Дано:

Количество капель холодной воды, $n_1 = 40$.

Количество капель горячей воды, $n_2 = 48$.

Общая масса холодной воды $M_1$ равна общей массе горячей воды $M_2$: $M_1 = M_2 = M$.

Плотность воды в обоих случаях считается одинаковой.

Найти:

Как и во сколько раз изменился коэффициент поверхностного натяжения воды.

Решение:

Капля отрывается от капельницы в тот момент, когда сила тяжести, действующая на нее, становится равной силе поверхностного натяжения, которая ее удерживает. Сила тяжести для одной капли определяется формулой $F_g = m g$, где $m$ – масса капли, а $g$ – ускорение свободного падения. Сила поверхностного натяжения равна $F_T = \sigma L$, где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения, а $L$ – длина границы отрыва (периметр отверстия капельницы), которая является постоянной величиной, так как используется одна и та же капельница.

В момент отрыва капли можно записать равенство сил: $m g = \sigma L$.

По условию задачи, общие массы холодной и горячей воды равны $M$. Тогда массу одной капли можно выразить через общее количество капель $n$.

Для холодной воды (обозначим все величины индексом 1):

Масса одной капли: $m_1 = \frac{M}{n_1}$.

Условие отрыва: $m_1 g = \sigma_1 L$, подставив массу, получим $\frac{M g}{n_1} = \sigma_1 L$.

Для горячей воды (обозначим все величины индексом 2):

Масса одной капли: $m_2 = \frac{M}{n_2}$.

Условие отрыва: $m_2 g = \sigma_2 L$, подставив массу, получим $\frac{M g}{n_2} = \sigma_2 L$.

Чтобы найти, как и во сколько раз изменился коэффициент поверхностного натяжения, найдем отношение коэффициента для горячей воды $\sigma_2$ к коэффициенту для холодной воды $\sigma_1$. Для этого разделим второе уравнение на первое:

$\frac{\sigma_2 L}{\sigma_1 L} = \frac{\frac{M g}{n_2}}{\frac{M g}{n_1}}$

Сократив одинаковые величины ($L$, $M$, $g$) в левой и правой частях уравнения, получим:

$\frac{\sigma_2}{\sigma_1} = \frac{n_1}{n_2}$

Подставим числовые значения из условия:

$\frac{\sigma_2}{\sigma_1} = \frac{40}{48} = \frac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{5}{6}$

Так как полученное отношение меньше единицы ($\frac{\sigma_2}{\sigma_1} < 1$), это означает, что коэффициент поверхностного натяжения уменьшился. Чтобы найти, во сколько раз он уменьшился, нужно найти обратное отношение, то есть отношение большей величины к меньшей:

$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{48}{40} = \frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{6}{5} = 1.2$

Таким образом, коэффициент поверхностного натяжения холодной воды в 1,2 раза больше, чем у горячей. Следовательно, при переходе от холодной воды к горячей коэффициент поверхностного натяжения уменьшился в 1,2 раза.

Ответ: Коэффициент поверхностного натяжения воды уменьшился в 1,2 раза.

583. Тонкое проволочное кольцо K диаметром 34 мм, подвешенное к пружине A с указателем Z, погружают в сосуд B с водой (рис. 67). Отметив положение указателя на шкале S, медленно опускают сосуд. Пружина при этом растягивается. В момент отрыва кольца от жидкости вновь отмечают положение указателя на шкале. Какое значение коэффициента поверхностного натяжения воды получено, если пружина растянулась на 31 мм? Жёсткость пружины 0,5 Н/м.

Рис. 67

Дано:

Найти:

Решение:

Когда сосуд с водой опускают, кольцо остается на поверхности воды за счет сил поверхностного натяжения. В момент отрыва кольца от поверхности воды дополнительная сила упругости, возникшая в пружине, уравновешивает силу поверхностного натяжения. Эта дополнительная сила вызвана растяжением пружины на величину $x$.

Согласно закону Гука, сила упругости пружины равна:

$F_{упр} = k \cdot x$

где $k$ – жёсткость пружины, а $x$ – её дополнительное растяжение.

Сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$ действует по контуру соприкосновения кольца с водой. Так как кольцо тонкое, вода смачивает его как с внешней, так и с внутренней стороны. Поэтому общая длина линии, вдоль которой действует сила натяжения, приблизительно равна удвоенной длине окружности кольца:

$L = 2 \cdot \pi \cdot d$

где $d$ – диаметр кольца.

Сила поверхностного натяжения определяется формулой:

$F_{\sigma} = \sigma \cdot L = \sigma \cdot 2 \pi d$

где $\sigma$ – искомый коэффициент поверхностного натяжения.

В момент отрыва кольца сила упругости равна силе поверхностного натяжения:

$F_{упр} = F_{\sigma}$

$k \cdot x = \sigma \cdot 2 \pi d$

Из этого уравнения выразим коэффициент поверхностного натяжения:

$\sigma = \frac{k \cdot x}{2 \pi d}$

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем расчет:

$\sigma = \frac{0,5 \text{ Н/м} \cdot 0,031 \text{ м}}{2 \cdot 3,14159 \cdot 0,034 \text{ м}} \approx \frac{0,0155 \text{ Н}}{0,2136 \text{ м}} \approx 0,07256 \text{ Н/м}$

Округлим результат, учитывая точность исходных данных (две значащие цифры):

$\sigma \approx 0,073 \text{ Н/м}$

Ответ: получено значение коэффициента поверхностного натяжения воды $\sigma \approx 0,073 \text{ Н/м}$.