Страница 70 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

511. При повышении абсолютной температуры идеального газа в 2 раза давление газа увеличилось на 25%. Во сколько раз при этом изменился объём?

Дано:

$T_2 = 2T_1$

$p_2 = p_1 + 0.25p_1 = 1.25p_1$

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$ - ?

Решение:

Для описания состояния идеального газа при постоянном количестве вещества (массе) используется объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона). Он связывает давление ($p$), объем ($V$) и абсолютную температуру ($T$) газа в двух разных состояниях (обозначим их индексами 1 и 2).

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Нам необходимо найти, во сколько раз изменился объем, то есть найти отношение конечного объема $V_2$ к начальному $V_1$. Выразим это отношение из уравнения:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Из условия задачи нам известны отношения температур и давлений:

Температура увеличилась в 2 раза: $\frac{T_2}{T_1} = 2$.

Давление увеличилось на 25%, то есть $p_2 = p_1 + 0.25 p_1 = 1.25 p_1$. Отсюда отношение давлений: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{p_1}{1.25 p_1} = \frac{1}{1.25}$.

Подставим эти значения в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{1.25} \cdot 2 = \frac{2}{1.25}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{2}{5/4} = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$

Следовательно, объем газа увеличился в 1,6 раза.

Ответ: объем увеличился в 1,6 раза.

512. Резиновую лодку надули при температуре 7 °C до рабочего давления 108 кПа. Имеется ли опасность разрыва лодки при повышении температуры до 37 °C, если предельно допустимое давление 110,6 кПа и увеличение объёма не должно превышать 4%? Что надо сделать для предотвращения опасности разрыва?

Имеется ли опасность разрыва лодки?

Дано:
Начальная температура $t_1 = 7 \text{ °C}$
Рабочее давление $p_1 = 108 \text{ кПа}$
Конечная температура $t_2 = 37 \text{ °C}$
Предельно допустимое давление $p_{max} = 110,6 \text{ кПа}$
Допустимое увеличение объема $\frac{\Delta V}{V_1} \le 4\% \text{ или } 0,04$

Найти:

Существует ли опасность разрыва лодки.

Решение:

Состояние воздуха в лодке описывается объединенным газовым законом, так как масса воздуха в лодке при нагреве не меняется: $$ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} $$ где $p_1$, $V_1$, $T_1$ — начальные давление, объем и абсолютная температура воздуха, а $p_2$, $V_2$, $T_2$ — конечные параметры.

По условию, увеличение объема не должно превышать 4%. Это значит, что конечный объем $V_2$ не может быть больше, чем $V_1 + 0,04 V_1 = 1,04 V_1$. Чтобы проверить наличие опасности, рассчитаем давление $p_2$, которое установится в лодке при максимальном допустимом увеличении объема ($V_2 = 1,04 V_1$) и повышении температуры до $T_2$.

Выразим конечное давление $p_2$ из уравнения: $$ p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} $$ Подставим в формулу $V_2 = 1,04 V_1$ и числовые значения (для удобства сравнения оставим давление в кПа): $$ p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{1,04 V_1} \cdot \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_1 T_2}{1,04 T_1} $$ $$ p_2 = \frac{108 \text{ кПа} \cdot 310 \text{ К}}{1,04 \cdot 280 \text{ К}} = \frac{33480}{291,2} \text{ кПа} \approx 115,0 \text{ кПа} $$

Сравним полученное давление с предельно допустимым $p_{max}$: $$ 115,0 \text{ кПа} > 110,6 \text{ кПа} $$ Так как расчетное давление $p_2$ превышает предельно допустимое $p_{max}$, опасность разрыва лодки существует.

Ответ: да, опасность разрыва лодки существует, так как давление при нагреве достигнет значения примерно 115,0 кПа, что выше предельно допустимого значения 110,6 кПа.

Что надо сделать для предотвращения опасности разрыва?

Решение:
Давление газа в замкнутом объеме при определенной температуре прямо пропорционально количеству (массе) газа. Чтобы давление в нагретой лодке не превысило предельно допустимого значения, необходимо уменьшить количество воздуха внутри. На практике это означает, что нужно выпустить (стравить) часть воздуха из лодки.

Ответ: для предотвращения опасности разрыва необходимо выпустить часть воздуха из лодки.

513. При уменьшении объёма газа в 2 раза давление увеличилось на 120 кПа и абсолютная температура возросла на 10% . Каким было первоначальное давление?

Дано:

$V_2 = \frac{1}{2} V_1$
$\Delta P = 120 \text{ кПа} = 120 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$T_2 = T_1 + 0.1 T_1 = 1.1 T_1$

Найти:

$P_1$

Решение:

Для описания изменения состояния газа воспользуемся объединенным газовым законом (уравнением Клапейрона), который связывает макроскопические параметры газа (давление $P$, объем $V$ и абсолютную температуру $T$) для двух состояний при условии, что масса газа остается постоянной:

$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$

Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния газа соответственно.

Из условия задачи мы знаем, как изменились параметры газа:

• Объем уменьшился в 2 раза: $V_2 = \frac{V_1}{2}$
• Давление увеличилось на 120 кПа: $P_2 = P_1 + \Delta P$
• Абсолютная температура возросла на 10%: $T_2 = T_1 + 0.1 T_1 = 1.1 T_1$

Подставим эти соотношения в уравнение объединенного газового закона:

$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{(P_1 + \Delta P) \cdot \frac{V_1}{2}}{1.1 T_1}$

В этом уравнении можно сократить переменные $V_1$ и $T_1$, так как они присутствуют в обеих частях и не равны нулю:

$P_1 = \frac{P_1 + \Delta P}{2 \cdot 1.1}$

$P_1 = \frac{P_1 + \Delta P}{2.2}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $P_1$. Для этого умножим обе части на 2.2:

$2.2 P_1 = P_1 + \Delta P$

Перенесем $P_1$ из правой части в левую:

$2.2 P_1 - P_1 = \Delta P$

$1.2 P_1 = \Delta P$

Отсюда выражаем искомое начальное давление $P_1$:

$P_1 = \frac{\Delta P}{1.2}$

Подставим известное значение $\Delta P = 120 \text{ кПа}$ и произведем вычисление:

$P_1 = \frac{120 \text{ кПа}}{1.2} = 100 \text{ кПа}$

Ответ: первоначальное давление было равно 100 кПа.

514. Бак с жидкостью, над верхней поверхностью которой находится воздух, имеет в верхней крышке отверстие, плотно закрытое пробкой. Почему, если открыть кран, находящийся в нижней части бака, после вытекания некоторого объёма жидкости дальнейшее её течение прекратится? Что надо сделать, чтобы обеспечить свободное вытекание жидкости?

Почему, если открыть кран, находящийся в нижней части бака, после вытекания некоторого объёма жидкости дальнейшее её течение прекратится?

Когда кран открыт, жидкость начинает вытекать, потому что давление внутри бака на уровне крана больше, чем давление снаружи. Внутреннее давление создается столбом жидкости (гидростатическое давление, $p_{\text{гидр}} = \rho g h$) и давлением воздуха, находящегося над жидкостью ($p_{\text{воздуха}}$). Давление снаружи – это атмосферное давление ($p_{\text{атм}}$). Изначально $p_{\text{воздуха}}$ примерно равно $p_{\text{атм}}$, поэтому жидкость вытекает под действием гидростатического давления.

Поскольку верхнее отверстие бака плотно закрыто пробкой, по мере вытекания жидкости объем, занимаемый воздухом внутри бака, увеличивается. Согласно закону Бойля–Мариотта для газов, при увеличении объема давление газа уменьшается (если температура постоянна). Давление воздуха над жидкостью ($p_{\text{воздуха}}$) становится меньше атмосферного, то есть в баке создается разрежение.

Вытекание жидкости прекратится, когда суммарное давление внутри бака на уровне крана станет равным внешнему атмосферному давлению. В этот момент сила, выталкивающая жидкость, будет уравновешена силой внешнего атмосферного давления. Это условие можно записать в виде формулы: $p_{\text{воздуха}} + \rho g h = p_{\text{атм}}$, где $h$ – высота оставшегося столба жидкости, а $p_{\text{воздуха}}$ – пониженное давление воздуха в баке.

Ответ: Течение прекращается, потому что по мере вытекания жидкости давление воздуха над ней падает из-за увеличения его объема в герметично закрытом баке. В итоге сумма давления этого разреженного воздуха и гидростатического давления оставшейся жидкости уравновешивается внешним атмосферным давлением.

Что надо сделать, чтобы обеспечить свободное вытекание жидкости?

Чтобы жидкость могла вытекать из бака свободно и до конца, необходимо, чтобы давление над ее поверхностью не падало, а оставалось равным атмосферному. Для этого нужно соединить пространство над жидкостью с атмосферой.

Самый простой способ это сделать – вынуть пробку из отверстия в верхней крышке бака. В этом случае по мере вытекания жидкости в бак будет поступать наружный воздух, и давление над жидкостью будет постоянно равно атмосферному. Тогда давление внутри бака на уровне крана всегда будет больше внешнего на величину гидростатического давления столба жидкости ($p_{\text{внутр}} = p_{\text{атм}} + \rho g h$), что и будет обеспечивать непрерывное вытекание жидкости до полного опустошения бака.

Ответ: Нужно открыть отверстие в верхней крышке бака, то есть вынуть пробку.

515. Во сколько раз изменится давление воздуха в цилиндре (рис. 58), если поршень переместить на $l/3$:

а) влево;

б) вправо?

Дано:

Начальная длина столба воздуха: $l_1 = l$
Перемещение поршня: $\Delta l = \frac{l}{3}$

Найти:

Отношение конечного давления к начальному $\frac{p_2}{p_1}$ в случаях:
а) перемещение поршня влево (сжатие)
б) перемещение поршня вправо (расширение)

Решение:

Будем считать, что процесс изменения объема воздуха в цилиндре происходит достаточно медленно, чтобы температура воздуха оставалась постоянной (процесс изотермический). Воздух при таких условиях можно считать идеальным газом. Следовательно, мы можем применить закон Бойля–Мариотта, который для двух состояний газа записывается как:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ — начальные давление и объем газа, а $p_2$ и $V_2$ — конечные давление и объем.

Объем газа в цилиндре можно выразить через длину столба воздуха $l$ и площадь поперечного сечения цилиндра $S$ (которая является постоянной величиной): $V = S \cdot l$.

Начальный объем воздуха: $V_1 = S \cdot l_1 = S \cdot l$.

а) Поршень перемещается влево на $l/3$

При перемещении поршня влево происходит сжатие воздуха. Новая длина столба воздуха будет равна:

$l_2 = l_1 - \Delta l = l - \frac{l}{3} = \frac{2}{3}l$

Соответственно, новый объем воздуха составит:

$V_2 = S \cdot l_2 = S \cdot \frac{2}{3}l$

Подставим выражения для объемов в закон Бойля–Мариотта:

$p_1 \cdot (S \cdot l) = p_2 \cdot (S \cdot \frac{2}{3}l)$

Сократив одинаковые множители $S$ и $l$ в обеих частях уравнения, получим:

$p_1 = p_2 \cdot \frac{2}{3}$

Теперь найдем, во сколько раз изменилось давление, то есть найдем отношение конечного давления $p_2$ к начальному $p_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{3}{2} = 1,5$

Так как отношение больше единицы, давление увеличилось.

Ответ: давление увеличится в 1,5 раза.

б) Поршень перемещается вправо на $l/3$

При перемещении поршня вправо происходит расширение воздуха. Новая длина столба воздуха будет равна:

$l_2 = l_1 + \Delta l = l + \frac{l}{3} = \frac{4}{3}l$

Новый объем воздуха составит:

$V_2 = S \cdot l_2 = S \cdot \frac{4}{3}l$

Снова подставим объемы в закон Бойля–Мариотта:

$p_1 \cdot (S \cdot l) = p_2 \cdot (S \cdot \frac{4}{3}l)$

Сократив $S$ и $l$, получим:

$p_1 = p_2 \cdot \frac{4}{3}$

Найдем отношение конечного давления к начальному:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{3}{4}$

Так как отношение меньше единицы, давление уменьшилось. Чтобы ответить на вопрос "во сколько раз", найдем обратное отношение:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{4}{3}$

Это означает, что начальное давление в $4/3$ раза больше конечного, или конечное давление уменьшилось в $4/3$ раза.

Ответ: давление уменьшится в $4/3$ раза (приблизительно в 1,33 раза).

516. При сжатии газа его объём уменьшился с 8 до 5 л, а давление повысилось на 60 кПа. Найти первоначальное давление.

Рис. 58

Дано:

Начальный объём $V_1 = 8 \text{ л}$

Конечный объём $V_2 = 5 \text{ л}$

Увеличение давления $\Delta p = 60 \text{ кПа}$

Найти:

Первоначальное давление $p_1$

Решение:

Будем считать, что процесс сжатия газа происходит при постоянной температуре (изотермический процесс). В этом случае применим закон Бойля-Мариотта, который связывает давление и объём газа в начальном и конечном состояниях:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ – начальные давление и объём газа, а $p_2$ и $V_2$ – конечные давление и объём.

Из условия задачи известно, что давление повысилось на $\Delta p$. Значит, конечное давление $p_2$ равно сумме начального давления $p_1$ и его изменения $\Delta p$:

$p_2 = p_1 + \Delta p$

Подставим это выражение для $p_2$ в уравнение закона Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = (p_1 + \Delta p) V_2$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $p_1$. Раскроем скобки в правой части:

$p_1 V_1 = p_1 V_2 + \Delta p V_2$

Соберём все члены, содержащие $p_1$, в левой части уравнения:

$p_1 V_1 - p_1 V_2 = \Delta p V_2$

Вынесем $p_1$ за скобки:

$p_1 (V_1 - V_2) = \Delta p V_2$

Отсюда выражаем искомое начальное давление $p_1$:

$p_1 = \frac{\Delta p \cdot V_2}{V_1 - V_2}$

Подставим числовые значения. Обратите внимание, что можно использовать исходные единицы (литры и килопаскали), так как единицы объёма в числителе и знаменателе сократятся, и результат для давления будет выражен в килопаскалях.

$p_1 = \frac{60 \text{ кПа} \cdot 5 \text{ л}}{8 \text{ л} - 5 \text{ л}} = \frac{300 \text{ кПа} \cdot \text{л}}{3 \text{ л}} = 100 \text{ кПа}$

Ответ: первоначальное давление газа было равно 100 кПа.

найти первоначальное давление.

517. При увеличении давления в 1,5 раза объём газа уменьшился на 30 мл. Найти первоначальный объём.

Дано:

$p_2 = 1,5 \cdot p_1$
$\Delta V = V_1 - V_2 = 30 \text{ мл}$

Перевод в систему СИ:
$\Delta V = 30 \text{ мл} = 30 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

$V_1$

Решение:

Предполагая, что процесс изменения состояния газа является изотермическим (происходит при постоянной температуре), мы можем применить закон Бойля-Мариотта. Этот закон гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём есть величина постоянная.

Математически закон Бойля-Мариотта для двух состояний газа записывается так:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ — начальные давление и объём газа, а $p_2$ и $V_2$ — конечные давление и объём.

Из условия задачи известны следующие соотношения:

1. Конечное давление в 1,5 раза больше начального: $p_2 = 1,5 \cdot p_1$.

2. Объём уменьшился на $\Delta V = 30$ мл, следовательно, конечный объём $V_2$ связан с начальным $V_1$ как $V_2 = V_1 - \Delta V$.

Подставим эти выражения в уравнение закона Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = (1,5 \cdot p_1) \cdot (V_1 - \Delta V)$

Поскольку начальное давление $p_1$ не равно нулю, можно разделить обе части уравнения на $p_1$:

$V_1 = 1,5 \cdot (V_1 - \Delta V)$

Теперь решим полученное уравнение относительно искомой величины $V_1$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$V_1 = 1,5 V_1 - 1,5 \Delta V$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $V_1$, в одной части уравнения:

$1,5 \Delta V = 1,5 V_1 - V_1$

$1,5 \Delta V = 0,5 V_1$

Выразим начальный объём $V_1$:

$V_1 = \frac{1,5 \Delta V}{0,5} = 3 \Delta V$

Подставим известное значение изменения объёма $\Delta V = 30$ мл:

$V_1 = 3 \cdot 30 \text{ мл} = 90 \text{ мл}$

Таким образом, первоначальный объём газа был 90 мл.

Ответ: 90 мл.

518. Во фляжке вместимостью 0,5 л находится 0,3 л воды. Турист пьёт из неё воду, плотно прижав губы к горлышку так, что во фляжку не попадает наружный воздух. Сколько воды удастся выпить туристу, если он может понизить давление оставшегося во фляжке воздуха до 80 кПа?

Дано:

Вместимость фляжки $V_{фл} = 0,5 \text{ л}$
Начальный объем воды $V_{в1} = 0,3 \text{ л}$
Начальное давление воздуха во фляжке $p_1 = p_{атм} \approx 100 \text{ кПа}$
Конечное давление воздуха во фляжке $p_2 = 80 \text{ кПа}$

$V_{фл} = 0,5 \times 10^{-3} \text{ м}^3$
$V_{в1} = 0,3 \times 10^{-3} \text{ м}^3$
$p_1 \approx 100 \times 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$
$p_2 = 80 \times 10^3 \text{ Па}$

Найти:

Объем выпитой воды $\Delta V_в$.

Решение:

Процесс, описанный в задаче, происходит при постоянной температуре, так как фляжка и ее содержимое находятся в тепловом равновесии с окружающей средой. Поскольку турист пьет воду, плотно прижав губы к горлышку, количество воздуха внутри фляжки не изменяется. Следовательно, для воздуха во фляжке можно применить закон Бойля-Мариотта для изотермического процесса:

$p V = \text{const}$

или

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ — начальные давление и объем воздуха, а $p_2$ и $V_2$ — конечные давление и объем воздуха во фляжке.

1. Определим начальный объем воздуха $V_1$. Он равен разности общего объема фляжки и начального объема воды в ней:

$V_1 = V_{фл} - V_{в1} = 0,5 \text{ л} - 0,3 \text{ л} = 0,2 \text{ л}$

2. Начальное давление воздуха во фляжке $p_1$ равно атмосферному давлению, поскольку до того, как турист начал пить, воздух во фляжке сообщался с атмосферой. Примем значение нормального атмосферного давления $p_1 = 100 \text{ кПа}$.

3. Конечное давление воздуха, которое может создать турист, дано в условии: $p_2 = 80 \text{ кПа}$.

4. Теперь, используя закон Бойля-Мариотта, мы можем найти конечный объем $V_2$, который займет воздух при давлении $p_2$:

$V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2}$

Подставим числовые значения:

$V_2 = \frac{100 \text{ кПа} \cdot 0,2 \text{ л}}{80 \text{ кПа}} = \frac{20}{80} \text{ л} = 0,25 \text{ л}$

5. Объем воды $\Delta V_в$, который выпил турист, равен увеличению объема воздуха во фляжке. Это разница между конечным и начальным объемами воздуха:

$\Delta V_в = V_2 - V_1$

$\Delta V_в = 0,25 \text{ л} - 0,2 \text{ л} = 0,05 \text{ л}$

Таким образом, когда давление воздуха во фляжке упадет до 80 кПа, его объем увеличится на 0,05 л, что соответствует объему выпитой воды.

Ответ: туристу удастся выпить 0,05 л воды.