Страница 66 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

473. Какова средняя квадратичная скорость движения молекул газа, если, имея массу 6 кг, он занимает объём $5 \text{ м}^3$ при давлении $200 \text{ кПа}$?

Дано:

$m = 6$ кг

$V = 5$ м³

$P = 200$ кПа

Найти:

$v_{кв}$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа, которое связывает давление газа с его макроскопическими параметрами и средней квадратичной скоростью движения молекул:

$P = \frac{1}{3} \rho \overline{v^2}$

где $P$ — давление газа, $\rho$ — плотность газа, а $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости молекул.

Плотность газа $\rho$ можно выразить через его массу $m$ и объём $V$:

$\rho = \frac{m}{V}$

Подставим выражение для плотности в основное уравнение МКТ:

$P = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \overline{v^2}$

Из этого уравнения нам нужно выразить среднюю квадратичную скорость $v_{кв}$, которая по определению равна $v_{кв} = \sqrt{\overline{v^2}}$.

Выразим сначала средний квадрат скорости $\overline{v^2}$:

$3PV = m \overline{v^2}$

$\overline{v^2} = \frac{3PV}{m}$

Теперь найдём среднюю квадратичную скорость, извлекая квадратный корень:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3PV}{m}}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи, используя данные в системе СИ:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot (2 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot 5 \text{ м³}}{6 \text{ кг}}}$

Произведем вычисления:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 10^5}{6}} = \sqrt{\frac{30 \cdot 10^5}{6}} = \sqrt{5 \cdot 10^5} = \sqrt{50 \cdot 10^4} \text{ м/с}$

$v_{кв} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{10^4} = \sqrt{25 \cdot 2} \cdot 10^2 = 5\sqrt{2} \cdot 100 = 500\sqrt{2} \text{ м/с}$

Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$, получаем:

$v_{кв} \approx 500 \cdot 1,414 = 707$ м/с.

Ответ:

Средняя квадратичная скорость движения молекул газа равна 707 м/с.

474. Найти концентрацию молекул кислорода, если при давлении 0,2 МПа средняя квадратичная скорость его молекул равна 700 м/с.

Дано

Найти:

Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов устанавливает связь между давлением идеального газа $P$, концентрацией его молекул $n$, массой одной молекулы $m_0$ и средней квадратичной скоростью движения молекул $\langle v_{кв} \rangle$:

$P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v_{кв} \rangle^2$

Из этого уравнения можно выразить искомую концентрацию $n$:

$n = \frac{3P}{m_0 \langle v_{кв} \rangle^2}$

Для проведения расчетов необходимо найти массу одной молекулы кислорода ($O_2$). Массу одной молекулы $m_0$ можно вычислить, зная молярную массу кислорода $M(O_2)$ и число Авогадро $N_A$.

Молярная масса кислорода $M(O_2)$ равна $32 \text{ г/моль}$, или в системе СИ $0,032 \text{ кг/моль}$. Число Авогадро $N_A \approx 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$.

Масса одной молекулы кислорода:

$m_0 = \frac{M(O_2)}{N_A} = \frac{0,032 \text{ кг/моль}}{6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 5,31 \times 10^{-26} \text{ кг}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для концентрации:

$n = \frac{3 \times (0,2 \times 10^6 \text{ Па})}{5,31 \times 10^{-26} \text{ кг} \times (700 \text{ м/с})^2}$

Проведем вычисления:

$(700 \text{ м/с})^2 = 490000 \text{ м}^2/\text{с}^2 = 4,9 \times 10^5 \text{ м}^2/\text{с}^2$

$n = \frac{0,6 \times 10^6}{5,31 \times 10^{-26} \times 4,9 \times 10^5} = \frac{0,6 \times 10^6}{26,019 \times 10^{-21}} \approx 0,023 \times 10^{27} \text{ м}^{-3}$

Приведем ответ к стандартному виду:

$n \approx 2,3 \times 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Ответ: концентрация молекул кислорода составляет примерно $2,3 \times 10^{25} \text{ м}^{-3}$.

475. Используя таблицы 1 и 13 приложений, найти средние квадратичные скорости молекул азота и кислорода при нормальных условиях.

Дано:

Газ 1: азот ($N_2$)

Газ 2: кислород ($O_2$)

Условия: нормальные (н. у.)

Данные, полученные из таблиц приложений:

Молярная масса азота, $M_{N_2} = 28$ г/моль

Молярная масса кислорода, $M_{O_2} = 32$ г/моль

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Температура при нормальных условиях, $T_0 = 0$ °C

$M_{N_2} = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль = $0,028$ кг/моль

$M_{O_2} = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль = $0,032$ кг/моль

$T = 0 + 273 = 273$ К

Найти:

$v_{кв(N_2)}$ — ?

$v_{кв(O_2)}$ — ?

Решение:

Средняя квадратичная скорость ($v_{кв}$) теплового движения молекул газа связана с абсолютной температурой газа $T$ и его молярной массой $M$ следующим соотношением:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $R$ — универсальная газовая постоянная. Нормальные условия соответствуют температуре $T = 273$ К (0 °C).

Теперь рассчитаем скорости для каждого газа, используя данные из таблиц.

1. Средняя квадратичная скорость молекул азота ($N_2$)

Подставим значения для азота в формулу:

$v_{кв(N_2)} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 273 \, К}{0,028 \frac{кг}{моль}}} = \sqrt{\frac{6805,89}{0,028}} \frac{м}{с} \approx \sqrt{243067,5} \frac{м}{с} \approx 493$ м/с.

2. Средняя квадратичная скорость молекул кислорода ($O_2$)

Подставим значения для кислорода в формулу:

$v_{кв(O_2)} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 273 \, К}{0,032 \frac{кг}{моль}}} = \sqrt{\frac{6805,89}{0,032}} \frac{м}{с} \approx \sqrt{212684,06} \frac{м}{с} \approx 461$ м/с.

Ответ: средняя квадратичная скорость молекул азота при нормальных условиях составляет примерно 493 м/с, а молекул кислорода — примерно 461 м/с.

476. Найти среднюю кинетическую энергию молекулы одноатомного газа при давлении 20 кПа. Концентрация молекул этого газа при указанном давлении составляет $3 \cdot 10^{25} \text{м}^{-3}$.

Дано

$P = 20 \text{ кПа}$
$n = 3 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Найти:

$\bar{E}_k$

Решение

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа, которое связывает макроскопические параметры газа (давление $P$) с микроскопическими (концентрация молекул $n$ и средняя кинетическая энергия их движения $\bar{E}_k$).

Формула имеет вид:

$P = \frac{2}{3} n \bar{E}_k$

В данной задаче речь идет об одноатомном газе. У молекул такого газа кинетическая энергия состоит только из энергии поступательного движения, поэтому $\bar{E}_k$ в формуле и есть искомая средняя кинетическая энергия молекулы.

Выразим из этой формулы среднюю кинетическую энергию $\bar{E}_k$:

$3P = 2n \bar{E}_k$

$\bar{E}_k = \frac{3P}{2n}$

Подставим в полученное выражение числовые значения, предварительно переведя давление в систему СИ:

$\bar{E}_k = \frac{3 \cdot (2 \cdot 10^4 \text{ Па})}{2 \cdot (3 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3})} = \frac{6 \cdot 10^4}{6 \cdot 10^{25}} \text{ Дж}$

$\bar{E}_k = 1 \cdot 10^{4-25} \text{ Дж} = 10^{-21} \text{ Дж}$

Ответ: $10^{-21} \text{ Дж}$.

477. Во сколько раз изменится давление одноатомного газа в результате уменьшения его объёма в 3 раза и увеличения средней кинетической энергии молекул в 2 раза?

Дано:

$V_2 = \frac{V_1}{3}$ (объем уменьшился в 3 раза)
$\bar{E}_{k2} = 2 \cdot \bar{E}_{k1}$ (средняя кинетическая энергия увеличилась в 2 раза)

Найти:

$\frac{p_2}{p_1}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа, которое связывает давление газа с микроскопическими параметрами его молекул:

$p = \frac{2}{3} n \bar{E}_k$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, а $\bar{E}_k$ – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

Концентрация молекул $n$ определяется как отношение числа молекул $N$ к объему $V$, который они занимают:

$n = \frac{N}{V}$

Подставим выражение для концентрации в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E}_k$

Запишем это уравнение для начального состояния газа (с индексом 1) и для конечного состояния (с индексом 2). Будем считать, что количество газа (число молекул $N$) не изменяется в процессе.

Начальное состояние: $p_1 = \frac{2}{3} \frac{N}{V_1} \bar{E}_{k1}$

Конечное состояние: $p_2 = \frac{2}{3} \frac{N}{V_2} \bar{E}_{k2}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилось давление, найдем отношение конечного давления $p_2$ к начальному $p_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{2}{3} \frac{N}{V_2} \bar{E}_{k2}}{\frac{2}{3} \frac{N}{V_1} \bar{E}_{k1}}$

Сократим одинаковые множители ($\frac{2}{3}$ и $N$):

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{\bar{E}_{k2}}{V_2}}{\frac{\bar{E}_{k1}}{V_1}} = \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}}$

Теперь подставим в полученное выражение соотношения из условия задачи. Из $V_2 = \frac{V_1}{3}$ следует, что $\frac{V_1}{V_2} = 3$. Из $\bar{E}_{k2} = 2 \bar{E}_{k1}$ следует, что $\frac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}} = 2$.

Выполним вычисления:

$\frac{p_2}{p_1} = 3 \cdot 2 = 6$

Таким образом, давление газа увеличится в 6 раз.

Ответ: давление увеличится в 6 раз.

478. При какой температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна $6.21 \cdot 10^{-21}$ Дж?

Дано:

$E_k = 6,21 \cdot 10^{-21}$ Дж

Найти:

$T$

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа ($E_k$) связана с абсолютной термодинамической температурой ($T$) через фундаментальное соотношение молекулярно-кинетической теории:

$E_k = \frac{3}{2}kT$

где $k$ — постоянная Больцмана, значение которой составляет приблизительно $1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К.

Чтобы найти температуру, при которой средняя кинетическая энергия молекул имеет заданное значение, выразим $T$ из этой формулы:

$T = \frac{2E_k}{3k}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу и выполним расчет:

$T = \frac{2 \cdot 6,21 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}} = \frac{12,42 \cdot 10^{-21}}{4,14 \cdot 10^{-23}} \text{ К} = 3 \cdot 10^{2} \text{ К} = 300 \text{ К}$

Ответ: 300 К.

479. При какой температуре средняя кинетическая энергия молекул одноатомного газа будет в 2 раза больше, чем при температуре –73 °C?

Дано:

Начальная температура: $t_1 = -73$ °C

Соотношение средних кинетических энергий: $E_2 = 2 E_1$

Перевод в систему СИ:

Абсолютная температура $T_1$ связана с температурой по шкале Цельсия $t_1$ соотношением $T = t + 273,15$. Для удобства расчетов используем $T = t + 273$.

$T_1 = -73 + 273 = 200$ К

Найти:

$T_2$

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул одноатомного газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре. Она вычисляется по формуле:

$E = \frac{3}{2}kT$

где $k$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура в Кельвинах.

Запишем это выражение для двух состояний газа:

1. Начальное состояние с температурой $T_1$ и энергией $E_1$:

$E_1 = \frac{3}{2}kT_1$

2. Конечное состояние с температурой $T_2$ и энергией $E_2$:

$E_2 = \frac{3}{2}kT_2$

Согласно условию задачи, конечная энергия в два раза больше начальной:

$E_2 = 2E_1$

Подставим в это соотношение формулы для энергий:

$\frac{3}{2}kT_2 = 2 \cdot \left(\frac{3}{2}kT_1\right)$

Сократим общий множитель $\frac{3}{2}k$ в обеих частях равенства:

$T_2 = 2T_1$

Таким образом, чтобы средняя кинетическая энергия молекул увеличилась в 2 раза, необходимо увеличить абсолютную температуру газа также в 2 раза.

Вычислим искомую температуру $T_2$, используя значение $T_1 = 200$ К:

$T_2 = 2 \cdot 200 \text{ К} = 400 \text{ К}$

Также можно выразить эту температуру в градусах Цельсия:

$t_2 = T_2 - 273 = 400 - 273 = 127$ °C

Ответ: 400 К (или 127 °C).

480. На сколько процентов увеличивается средняя кинетическая энергия молекул газа при изменении его температуры от $7 ^\circ\text{C}$ до $35 ^\circ\text{C}$?

480. Дано:

$t_1 = 7 \text{ °C}$

$t_2 = 35 \text{ °C}$

Найти:

Процентное увеличение средней кинетической энергии: $\frac{\Delta E_k}{E_{k1}} \cdot 100\%$

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа зависит только от его абсолютной температуры. Эта зависимость выражается формулой:

$E_k = \frac{3}{2}kT$

где $k$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$), а $T$ — абсолютная температура газа в Кельвинах.

Начальная средняя кинетическая энергия молекул при температуре $T_1$ равна:

$E_{k1} = \frac{3}{2}kT_1$

Конечная средняя кинетическая энергия молекул при температуре $T_2$ равна:

$E_{k2} = \frac{3}{2}kT_2$

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась средняя кинетическая энергия, нужно найти отношение изменения энергии к начальной энергии и умножить на 100%.

$\frac{\Delta E_k}{E_{k1}} \cdot 100\% = \frac{E_{k2} - E_{k1}}{E_{k1}} \cdot 100\%$

Подставим в формулу выражения для $E_{k1}$ и $E_{k2}$:

$\frac{\frac{3}{2}kT_2 - \frac{3}{2}kT_1}{\frac{3}{2}kT_1} \cdot 100\% = \frac{\frac{3}{2}k(T_2 - T_1)}{\frac{3}{2}kT_1} \cdot 100\%$

Как видно из выражения, множитель $\frac{3}{2}k$ сокращается. Таким образом, процентное изменение энергии зависит только от процентного изменения абсолютной температуры:

$\frac{T_2 - T_1}{T_1} \cdot 100\%$

Подставим числовые значения температур в Кельвинах:

$\frac{308 \text{ К} - 280 \text{ К}}{280 \text{ К}} \cdot 100\% = \frac{28}{280} \cdot 100\% = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$

Ответ: средняя кинетическая энергия молекул газа увеличивается на 10%.

туры от 7 до 35 °C.

481. Определить среднюю кинетическую энергию и концентрацию молекул одноатомного газа при температуре 290 К и давлении 0,8 МПа.

Дано:

Газ - одноатомный

Температура $T = 290 \text{ К}$

Давление $P = 0,8 \text{ МПа} = 0,8 \cdot 10^6 \text{ Па}$

Постоянная Больцмана $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Найти:

Средняя кинетическая энергия молекулы $\langle E_k \rangle - ?$

Концентрация молекул $n - ?$

Решение:

Средняя кинетическая энергия молекул

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа зависит только от абсолютной температуры и вычисляется по формуле:

$\langle E_k \rangle = \frac{i}{2}kT$

где $i$ — число степеней свободы молекулы, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

Так как газ одноатомный, его молекулы обладают только тремя поступательными степенями свободы, поэтому $i=3$.

Подставим числовые значения в формулу:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 290 \text{ К} \approx 6,0 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$

Ответ: средняя кинетическая энергия молекулы газа составляет примерно $6,0 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$.

Концентрация молекул

Концентрацию молекул газа можно определить из уравнения состояния идеального газа, выраженного через концентрацию:

$P = nkT$

где $P$ — давление газа, $n$ — концентрация молекул.

Выразим из этой формулы концентрацию $n$:

$n = \frac{P}{kT}$

Подставим известные значения:

$n = \frac{0,8 \cdot 10^6 \text{ Па}}{1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 290 \text{ К}} \approx \frac{0,8 \cdot 10^6}{4,0 \cdot 10^{-21}} \text{ м}^{-3} \approx 2,0 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3}$

Знаменатель $kT$ можно также взять из предыдущего расчета: $kT = \frac{2}{3} \langle E_k \rangle = \frac{2}{3} \cdot 6,0 \cdot 10^{-21} \text{ Дж} = 4,0 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$.

Ответ: концентрация молекул газа составляет примерно $2,0 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3}$.

482. Найти температуру газа при давлении 100 кПа и концентрации молекул $10^{25}\text{м}^{-3}$.

Дано:

Давление газа, $P = 100 \text{ кПа}$
Концентрация молекул, $n = 10^{25} \text{ м}^{-3}$
Постоянная Больцмана, $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$

$P = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Температуру газа, $T$

Решение:

Для нахождения температуры газа воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории, которое связывает давление, концентрацию молекул и температуру:

$P = nkT$

где $P$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, $k$ – постоянная Больцмана, а $T$ – абсолютная температура.

Чтобы найти температуру $T$, выразим ее из данной формулы:

$T = \frac{P}{nk}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Все величины должны быть в системе СИ.

$T = \frac{10^5 \text{ Па}}{10^{25} \text{ м}^{-3} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}}} = \frac{10^5}{1.38 \cdot 10^{25-23}} \text{ К} = \frac{10^5}{1.38 \cdot 10^2} \text{ К} = \frac{1000}{1.38} \text{ К} \approx 724.64 \text{ К}$

Округлим полученное значение до целого числа.

Ответ: $T \approx 725 \text{ К}$.

483. Практический потолок полёта самолёта Ту-154 равен 12 км. Во сколько раз концентрация молекул атмосферного воздуха на этой высоте меньше, чем на уровне моря?

Параметры воздуха для стандартной атмосферы¹ приведены в таблице.

Дано:

Высота на уровне моря: $h_0 = 0 \text{ м}$

Давление на уровне моря: $p_0 = 101325 \text{ Па}$

Температура на уровне моря: $T_0 = 288,15 \text{ К}$

Высота полёта: $h_1 = 12 \text{ км}$

Давление на высоте $h_1$: $p_1 = 19399 \text{ Па}$

Температура на высоте $h_1$: $T_1 = 216,65 \text{ К}$

Перевод в систему СИ:
$h_1 = 12 \text{ км} = 12000 \text{ м}$

Найти:

Отношение концентрации молекул на уровне моря к концентрации на высоте 12 км: $\frac{n_0}{n_1}$

Решение:

Связь между давлением $p$, концентрацией молекул $n$ и термодинамической температурой $T$ для идеального газа (к которому можно отнести воздух) описывается основным уравнением молекулярно-кинетической теории:

$p = nkT$

где $k$ — постоянная Больцмана.

Из этого уравнения можно выразить концентрацию молекул:

$n = \frac{p}{kT}$

Запишем выражения для концентрации молекул воздуха на уровне моря (с индексом 0) и на высоте 12 км (с индексом 1), используя данные из таблицы:

Концентрация на уровне моря:

$n_0 = \frac{p_0}{kT_0}$

Концентрация на высоте 12 км:

$n_1 = \frac{p_1}{kT_1}$

Чтобы найти, во сколько раз концентрация молекул на высоте 12 км меньше, чем на уровне моря, необходимо найти их отношение $\frac{n_0}{n_1}$:

$\frac{n_0}{n_1} = \frac{\frac{p_0}{kT_0}}{\frac{p_1}{kT_1}}$

Упростим полученное выражение. Постоянная Больцмана $k$ сокращается:

$\frac{n_0}{n_1} = \frac{p_0}{T_0} \cdot \frac{T_1}{p_1} = \frac{p_0 T_1}{p_1 T_0}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{n_0}{n_1} = \frac{101325 \cdot 216,65}{19399 \cdot 288,15} \approx \frac{21953046,25}{5589885,85} \approx 3,927$

Таким образом, концентрация молекул на высоте 12 км примерно в 3,93 раза меньше, чем на уровне моря.

Ответ: концентрация молекул атмосферного воздуха на высоте 12 км меньше, чем на уровне моря, примерно в 3,93 раза.