Страница 71 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

519. Пузырёк воздуха всплывает со дна водоёма. На глубине 6 м он имел объём $10 \text{ мм}^3$. Найти объём пузырька у поверхности воды.

Дано:

$h = 6 \text{ м}$
$V_1 = 10 \text{ мм}^3$

Перевод в СИ:

$V_1 = 10 \text{ мм}^3 = 10 \cdot (10^{-3} \text{ м})^3 = 10 \cdot 10^{-9} \text{ м}^3 = 10^{-8} \text{ м}^3$

Найти:

$V_2$ - ?

Решение:

Будем считать, что температура воздуха в пузырьке при его всплытии не изменяется, то есть процесс является изотермическим. Для такого процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, который связывает давление и объем газа при постоянной температуре:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Здесь $p_1$ и $V_1$ — давление и объем пузырька на глубине $h$, а $p_2$ и $V_2$ — давление и объем у поверхности воды.

Давление $p_1$ на глубине $h$ складывается из атмосферного давления $p_a$ и гидростатического давления столба воды $p_h$:

$p_1 = p_a + p_h = p_a + \rho g h$

где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения.

Давление $p_2$ у поверхности воды равно атмосферному:

$p_2 = p_a$

Подставим выражения для давлений в закон Бойля-Мариотта:

$(p_a + \rho g h) V_1 = p_a V_2$

Отсюда выразим искомый объём $V_2$:

$V_2 = \frac{(p_a + \rho g h) V_1}{p_a} = V_1 \left(1 + \frac{\rho g h}{p_a}\right)$

Для проведения расчетов используем справочные данные, округленные для удобства вычислений: плотность пресной воды $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$, ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, нормальное атмосферное давление $p_a \approx 10^5 \text{ Па}$.

Рассчитаем давление на глубине 6 м:

$p_1 = 10^5 \text{ Па} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6 \text{ м} = 10^5 \text{ Па} + 60000 \text{ Па} = 160000 \text{ Па} = 1.6 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Теперь можем найти объём $V_2$. Обратите внимание, что так как в формуле для $V_2$ стоит отношение давлений, можно подставить объём $V_1$ в мм³, и результат также будет в мм³.

$V_2 = V_1 \frac{p_1}{p_2} = 10 \text{ мм}^3 \cdot \frac{160000 \text{ Па}}{10^5 \text{ Па}} = 10 \cdot 1.6 = 16 \text{ мм}^3$

Ответ: объём пузырька у поверхности воды составит $16 \text{ мм}^3$.

520. Водяной паук-серебрянка строит в воде воздушный домик, перенося на лапках и брюшке пузырьки атмосферного воздуха и помещая их под купол паутины, прикреплённой концами к водным растениям. Сколько рейсов надо сделать пауку, чтобы на глубине $50 \text{ см}$ построить домик объёмом $1 \text{ см}^3$, если каждый раз он берёт $5 \text{ мм}^3$ воздуха под атмосферным давлением?

Дано:

Глубина, на которой строится домик: $h = 50 \text{ см}$

Объем домика на глубине: $V_{дом} = 1 \text{ см}^3$

Объем одного пузырька воздуха на поверхности (при атмосферном давлении): $V_{пуз.атм} = 5 \text{ мм}^3$

Атмосферное давление (примем стандартное значение): $p_{атм} \approx 10^5 \text{ Па}$

Плотность воды: $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения (примем для простоты расчетов): $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$h = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

$V_{дом} = 1 \text{ см}^3 = 1 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

$V_{пуз.атм} = 5 \text{ мм}^3 = 5 \times (10^{-3} \text{ м})^3 = 5 \times 10^{-9} \text{ м}^3$

Найти:

Количество рейсов паука: $N - ?$

Решение:

Когда паук переносит пузырек воздуха с поверхности на глубину, давление на воздух увеличивается, а его объем уменьшается. Будем считать, что температура воздуха в пузырьке остается постоянной (процесс изотермический). В этом случае применим закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ – давление и объем газа на поверхности, а $p_2$ и $V_2$ – на глубине.

Давление на поверхности равно атмосферному: $p_1 = p_{атм}$.

Давление $p_2$ на глубине $h$ складывается из атмосферного давления и гидростатического давления столба воды:

$p_2 = p_{атм} + \rho g h$

Рассчитаем давление на глубине $h=0.5 \text{ м}$:

$p_2 = 10^5 \text{ Па} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \times 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \times 0.5 \text{ м} = 10^5 \text{ Па} + 5000 \text{ Па} = 105000 \text{ Па}$

Теперь определим, какой общий объем воздуха $V_{общ.атм}$ при атмосферном давлении нужно перенести пауку, чтобы на глубине получить домик объемом $V_{дом} = 1 \text{ см}^3$. Применяем закон Бойля-Мариотта для всего объема воздуха:

$p_{атм} \cdot V_{общ.атм} = p_2 \cdot V_{дом}$

Отсюда выразим $V_{общ.атм}$:

$V_{общ.атм} = V_{дом} \cdot \frac{p_2}{p_{атм}} = 1 \text{ см}^3 \cdot \frac{105000 \text{ Па}}{100000 \text{ Па}} = 1.05 \text{ см}^3$

Это общий объем воздуха, который паук должен принести с поверхности. Теперь найдем, сколько рейсов для этого потребуется. Переведем общий объем в кубические миллиметры, чтобы единицы измерения совпадали с объемом одного пузырька:

$1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$, значит $V_{общ.атм} = 1.05 \times 1000 \text{ мм}^3 = 1050 \text{ мм}^3$.

За один рейс паук приносит $V_{пуз.атм} = 5 \text{ мм}^3$ воздуха. Количество рейсов $N$ равно отношению общего необходимого объема к объему одного пузырька:

$N = \frac{V_{общ.атм}}{V_{пуз.атм}} = \frac{1050 \text{ мм}^3}{5 \text{ мм}^3} = 210$

Ответ: пауку надо сделать 210 рейсов.

521. Площадь поршня (см. рис. 58) равна $24\text{ см}^2$, объём воздуха в цилиндре $240\text{ см}^3$, а давление равно атмосферному (100 кПа). Какую силу надо приложить, чтобы удерживать поршень после его смещения на 2 см:

а) влево;

б) вправо?

Дано

$S = 24 \text{ см}^2$

$V_1 = 240 \text{ см}^3$

$p_1 = p_{\text{атм}} = 100 \text{ кПа}$

$\Delta x = 2 \text{ см}$

Найти:

$F_a$ - сила для удержания поршня при смещении влево.

$F_б$ - сила для удержания поршня при смещении вправо.

Решение

Будем считать, что температура воздуха в цилиндре не меняется, то есть процесс изотермический. В этом случае для газа выполняется закон Бойля-Мариотта: $p_1 V_1 = p_2 V_2$.

Сила, которую нужно приложить для удержания поршня, равна по модулю и противоположна по направлению равнодействующей сил давления воздуха внутри цилиндра и снаружи (атмосферного давления).

$F = |F_{\text{внутр}} - F_{\text{внешн}}| = |p_2 S - p_1 S| = |p_2 - p_1| S$

Изменение объема воздуха в цилиндре при смещении поршня равно $\Delta V = S \cdot \Delta x$.

$\Delta V = (24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (2 \cdot 10^{-2} \text{ м}) = 48 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

а) Смещение поршня влево (сжатие)

При смещении поршня влево объем воздуха уменьшается.

Новый объем: $V_a = V_1 - \Delta V = 240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 - 48 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 192 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

По закону Бойля-Мариотта найдем новое давление $p_a$:

$p_1 V_1 = p_a V_a \implies p_a = p_1 \frac{V_1}{V_a}$

$p_a = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{192 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3} = 10^5 \text{ Па} \cdot 1.25 = 1.25 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Давление внутри стало больше атмосферного, поэтому газ выталкивает поршень вправо. Для удержания нужно приложить силу $F_a$, направленную влево.

$F_a = (p_a - p_1) S = (1.25 \cdot 10^5 \text{ Па} - 1 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) = 0.25 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 60 \text{ Н}$.

Ответ: $60 \text{ Н}$.

б) Смещение поршня вправо (расширение)

При смещении поршня вправо объем воздуха увеличивается.

Новый объем: $V_б = V_1 + \Delta V = 240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 + 48 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 288 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

По закону Бойля-Мариотта найдем новое давление $p_б$:

$p_1 V_1 = p_б V_б \implies p_б = p_1 \frac{V_1}{V_б}$

$p_б = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{288 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3} = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{240}{288} = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{5}{6} \approx 0.833 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Давление внутри стало меньше атмосферного, поэтому атмосферное давление вдавливает поршень влево. Для удержания нужно приложить силу $F_б$, направленную вправо.

$F_б = (p_1 - p_б) S = (10^5 \text{ Па} - \frac{5}{6} \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) = \frac{1}{6} \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \cdot 10^{5-4} \text{ Н} = 40 \text{ Н}$.

Ответ: $40 \text{ Н}$.

522. Компрессор засасывает из атмосферы каждую секунду 3 л воздуха, которые подаются в баллон ёмкостью 45 л. Через какое время давление в баллоне будет превышать атмосферное в 9 раз? Начальное давление в баллоне равно атмосферному.

Дано:

Скорость засасывания воздуха, $v = 3$ л/с

Ёмкость баллона, $V_{балл} = 45$ л

Начальное давление, $p_1 = p_{атм}$

Конечное давление, $p_2 = 9 p_{атм}$

$v = 3 \cdot 10^{-3}$ м³/с
$V_{балл} = 45 \cdot 10^{-3}$ м³

Найти:

Время, $t$

Решение:

Будем считать, что температура воздуха в баллоне остается постоянной в течение всего процесса ($T = \text{const}$). В этом случае мы можем применить закон Бойля-Мариотта, который гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём есть величина постоянная ($pV = \text{const}$).

В начальный момент времени в баллоне объёмом $V_{балл}$ уже находится воздух под атмосферным давлением $p_1 = p_{атм}$. Масса этого воздуха эквивалентна объёму $V_1 = V_{балл} = 45$ л при атмосферном давлении.

В конечный момент времени давление в баллоне становится равным $p_2 = 9 p_{атм}$. Чтобы найти, какой объём $V_2$ занимал бы весь находящийся в баллоне воздух при атмосферном давлении, воспользуемся законом Бойля-Мариотта:

$p_2 \cdot V_{балл} = p_{атм} \cdot V_2$

Отсюда выразим $V_2$:

$V_2 = \frac{p_2 \cdot V_{балл}}{p_{атм}} = \frac{9 p_{атм} \cdot V_{балл}}{p_{атм}} = 9 V_{балл}$

Подставим значение объёма баллона:

$V_2 = 9 \cdot 45 \text{ л} = 405 \text{ л}$

Это общий объём воздуха (приведенный к атмосферному давлению), который находится в баллоне в конце процесса.

Объём воздуха $\Delta V$, который компрессор дополнительно закачал в баллон, равен разности между конечным и начальным объёмами (приведенными к атмосферному давлению):

$\Delta V = V_2 - V_1 = 9 V_{балл} - V_{балл} = 8 V_{балл}$

$\Delta V = 8 \cdot 45 \text{ л} = 360 \text{ л}$

Компрессор засасывает воздух со скоростью $v = 3$ л/с. Время $t$, необходимое для того, чтобы закачать объём $\Delta V$, равно:

$t = \frac{\Delta V}{v}$

$t = \frac{360 \text{ л}}{3 \text{ л/с}} = 120 \text{ с}$

120 секунд равны 2 минутам.

Ответ: $120$ с.

523. Закрытый цилиндрический сосуд высотой $h$ разделён на две равные части невесомым поршнем, скользящим без трения. При застопоренном поршне обе половины заполнены газом, причём в одной из них давление в $n$ раз больше, чем в другой. На сколько передвинется поршень, если снять стопор?

Дано:

Высота цилиндрического сосуда: $h$

Начальная высота каждой из двух равных частей сосуда: $h_1 = h_2 = h/2$

Начальное давление в первой части: $p_1$

Начальное давление во второй части: $p_2$

Соотношение начальных давлений: $p_1 = n \cdot p_2$

Поршень невесомый и скользит без трения.

Найти:

Смещение поршня после снятия стопора: $x$

Решение:

Обозначим площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда как $S$. В начальном состоянии, когда поршень застопорен, он находится ровно посередине сосуда. Таким образом, начальные объемы газа в обеих частях одинаковы:

$V_1 = V_2 = S \cdot \frac{h}{2}$

По условию задачи, давление в одной части в $n$ раз больше, чем в другой. Пусть $p_1 = n \cdot p_2$. Поскольку давление в первой части выше ($p_1 > p_2$, предполагая $n>1$), после снятия стопора поршень начнет двигаться в сторону второй части, сжимая газ в ней и позволяя газу в первой части расширяться.

Движение поршня прекратится, когда силы давления газа с обеих сторон уравновесятся. Так как площадь поршня $S$ одинакова с обеих сторон, равновесие наступит, когда давления газов в обеих частях станут равными. Обозначим это конечное давление как $p_f$.

Пусть поршень сместился на расстояние $x$. Тогда новая высота первой части (которая расширилась) станет $h'_1 = \frac{h}{2} + x$, а новой высотой второй части (которая сжалась) будет $h'_2 = \frac{h}{2} - x$.

Соответственно, новые объемы газов будут равны:

$V'_1 = S \cdot (\frac{h}{2} + x)$

$V'_2 = S \cdot (\frac{h}{2} - x)$

Предполагая, что процесс происходит достаточно медленно и температура газа в сосуде не меняется (процесс изотермический), мы можем применить закон Бойля-Мариотта ($pV = \text{const}$) для газа в каждой из частей сосуда.

Для первой части сосуда:

$p_1 V_1 = p_f V'_1 \Rightarrow (n p_2) \cdot (S \frac{h}{2}) = p_f \cdot S (\frac{h}{2} + x)$

Для второй части сосуда:

$p_2 V_2 = p_f V'_2 \Rightarrow p_2 \cdot (S \frac{h}{2}) = p_f \cdot S (\frac{h}{2} - x)$

Мы получили систему из двух уравнений. Сократим в них площадь $S$:

1) $n p_2 \frac{h}{2} = p_f (\frac{h}{2} + x)$

2) $p_2 \frac{h}{2} = p_f (\frac{h}{2} - x)$

Чтобы найти $x$, разделим первое уравнение на второе. Это позволит нам исключить неизвестные величины $p_2$ и $p_f$:

$\frac{n p_2 \frac{h}{2}}{p_2 \frac{h}{2}} = \frac{p_f (\frac{h}{2} + x)}{p_f (\frac{h}{2} - x)}$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе, получим:

$n = \frac{\frac{h}{2} + x}{\frac{h}{2} - x}$

Теперь решим это уравнение относительно искомой величины $x$:

$n \cdot (\frac{h}{2} - x) = \frac{h}{2} + x$

$\frac{nh}{2} - nx = \frac{h}{2} + x$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$\frac{nh}{2} - \frac{h}{2} = nx + x$

Вынесем общие множители за скобки:

$\frac{h}{2}(n - 1) = x(n + 1)$

Наконец, выразим $x$:

$x = \frac{h(n - 1)}{2(n + 1)}$

Ответ: поршень передвинется на расстояние $x = \frac{h(n - 1)}{2(n + 1)}$.

524. Открытую с обеих сторон стеклянную трубку длиной 60 см опускают в сосуд с ртутью на $1/3$ длины. Затем, закрыв верхний конец трубки, вынимают её из ртути. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление 76 см рт. ст.

Дано:

Длина трубки, $L = 60$ см
Глубина погружения трубки = $1/3$ от $L$
Атмосферное давление, $P_a = 76$ см рт. ст.

$L = 0.6$ м
$P_a = 76$ см рт. ст. $= 0.76$ м рт. ст. $\approx 101325$ Па

Найти:

Длину столбика ртути, оставшегося в трубке, $x - ?$

Решение:

Будем решать задачу, используя в качестве единиц измерения сантиметры (см) для длины и сантиметры ртутного столба (см рт. ст.) для давления, так как это упрощает вычисления.

1. Начальное состояние. Когда открытую трубку опускают в ртуть на $1/3$ ее длины, часть трубки, равная $L/3 = 60/3 = 20$ см, оказывается под уровнем ртути. Над уровнем ртути остается часть трубки длиной $L_1 = L - L/3 = 60 - 20 = 40$ см. Поскольку трубка открыта, воздух в ней находится под атмосферным давлением. Когда верхний конец трубки закрывают, мы "захватываем" столб воздуха длиной $L_1 = 40$ см при давлении $P_1 = P_a = 76$ см рт. ст. Объем этого воздуха равен $V_1 = S \cdot L_1$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

2. Конечное состояние. После того как трубку вынимают из сосуда, внутри нее остается столбик ртути высотой $x$. Над ртутью находится тот же самый воздух, который теперь занимает объем $V_2$. Длина столба воздуха стала $L_2 = L - x = 60 - x$. Соответственно, объем воздуха стал $V_2 = S \cdot L_2 = S \cdot (60 - x)$.

Давление $P_2$ этого воздуха можно найти из условия равновесия. Снаружи на поверхность ртути в трубке действует атмосферное давление $P_a$. Оно уравновешивается давлением воздуха внутри трубки $P_2$ и давлением столбика ртути высотой $x$. Давление столбика ртути высотой $x$ равно $x$ см рт. ст.

Таким образом, $P_a = P_2 + x$.

Отсюда давление воздуха в конечном состоянии: $P_2 = P_a - x = 76 - x$ (в см рт. ст.).

3. Применим закон Бойля-Мариотта для изотермического процесса (считаем, что температура воздуха не изменилась): $P_1 V_1 = P_2 V_2$.

Подставим выражения для давлений и объемов:

$P_1 \cdot (S \cdot L_1) = P_2 \cdot (S \cdot L_2)$

Площадь $S$ сокращается:

$P_1 \cdot L_1 = P_2 \cdot L_2$

Подставим числовые значения и выражения:

$76 \cdot 40 = (76 - x) \cdot (60 - x)$

$3040 = 76 \cdot 60 - 76x - 60x + x^2$

$3040 = 4560 - 136x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 136x + 4560 - 3040 = 0$

$x^2 - 136x + 1520 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-136)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1520 = 18496 - 6080 = 12416$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{136 \pm \sqrt{12416}}{2}$

Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{12416} \approx 111.43$.

Найдем два корня уравнения:

$x_1 = \frac{136 + 111.43}{2} = \frac{247.43}{2} \approx 123.7$ см.

$x_2 = \frac{136 - 111.43}{2} = \frac{24.57}{2} \approx 12.3$ см.

Первый корень $x_1 \approx 123.7$ см является физически невозможным, так как длина столбика ртути не может быть больше длины всей трубки (60 см). Следовательно, правильным решением является второй корень.

Ответ:

Длина столбика ртути, который останется в трубке, составляет приблизительно $12.3$ см.

525. Запаянную с одного конца трубку опустили открытым концом в сосуд с ртутью (рис. 59). При этом ртуть в трубке поднялась на 5 см выше её уровня в сосуде, и высота столба воздуха над ртутью оказалась равной 40 см. Атмосферное давление было 75 см рт. ст. На следующий день оказалось, что уровень ртути в трубке повысился на 1 см. Каким было атмосферное давление на следующий день? Диаметр сосуда много больше диаметра трубки.

Рис. 59

Дано:

Превышение уровня ртути в трубке (1-й день), $h_1 = 5 \text{ см}$

Высота столба воздуха в трубке (1-й день), $l_1 = 40 \text{ см}$

Атмосферное давление (1-й день), $P_{\text{атм1}} = 75 \text{ см рт. ст.}$

Повышение уровня ртути в трубке, $\Delta h = 1 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 0.05 \text{ м}$

$l_1 = 0.40 \text{ м}$

$\Delta h = 0.01 \text{ м}$

$P_{\text{атм1}} = 75 \text{ см рт. ст.} = 0.75 \text{ м рт. ст.} \approx 0.75 \text{ м} \cdot 13595.1 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.80665 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 99992 \text{ Па}$

(Для решения данной задачи удобнее использовать внесистемные единицы измерения давления — сантиметры ртутного столба, так как все давления в условии даны или могут быть выражены через них).

Найти:

Атмосферное давление на следующий день, $P_{\text{атм2}}$.

Решение:

Рассмотрим состояние системы в первый день. Давление на уровне свободной поверхности ртути в сосуде равно атмосферному давлению $P_{\text{атм1}}$. Внутри трубки на этом же уровне давление складывается из давления столба воздуха $P_1$ и давления столба ртути высотой $h_1$.

Запишем уравнение равновесия давлений, выражая все величины в сантиметрах ртутного столба (см рт. ст.):

$P_{\text{атм1}} = P_1 + h_1$

Отсюда найдем давление воздуха в трубке в первый день:

$P_1 = P_{\text{атм1}} - h_1 = 75 \text{ см рт. ст.} - 5 \text{ см} = 70 \text{ см рт. ст.}$

Теперь рассмотрим состояние системы на следующий день. Уровень ртути в трубке повысился на $\Delta h = 1 \text{ см}$. Так как диаметр сосуда много больше диаметра трубки, изменением уровня ртути в сосуде можно пренебречь. Следовательно, новая высота столба ртути в трубке над уровнем в сосуде будет:

$h_2 = h_1 + \Delta h = 5 \text{ см} + 1 \text{ см} = 6 \text{ см}$

При этом высота столба воздуха в трубке уменьшится на ту же величину:

$l_2 = l_1 - \Delta h = 40 \text{ см} - 1 \text{ см} = 39 \text{ см}$

Воздух в трубке заперт, его количество постоянно. Будем считать, что температура воздуха за это время не изменилась (процесс изотермический). Тогда для воздуха в трубке можно применить закон Бойля-Мариотта:

$P_1 V_1 = P_2 V_2$

где $P_2$ и $V_2$ — давление и объем воздуха во второй день. Объем воздуха пропорционален высоте столба $l$ ($V=S \cdot l$, где $S$ — площадь сечения трубки), поэтому закон можно переписать как:

$P_1 l_1 = P_2 l_2$

Найдем новое давление воздуха $P_2$:

$P_2 = P_1 \frac{l_1}{l_2} = 70 \text{ см рт. ст.} \cdot \frac{40 \text{ см}}{39 \text{ см}} = \frac{2800}{39} \text{ см рт. ст.}$

Атмосферное давление на следующий день $P_{\text{атм2}}$ уравновешивается давлением воздуха $P_2$ и давлением столба ртути $h_2$:

$P_{\text{атм2}} = P_2 + h_2$

Подставим найденные значения:

$P_{\text{атм2}} = \frac{2800}{39} \text{ см рт. ст.} + 6 \text{ см} = \frac{2800}{39} + \frac{6 \cdot 39}{39} = \frac{2800 + 234}{39} = \frac{3034}{39} \text{ см рт. ст.}$

Вычислим приближенное значение:

$P_{\text{атм2}} \approx 77.8 \text{ см рт. ст.}$

Ответ: атмосферное давление на следующий день составило $\frac{3034}{39}$ см рт. ст., что приблизительно равно 77.8 см рт. ст.