Номер 523, страница 71 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

523. Закрытый цилиндрический сосуд высотой $h$ разделён на две равные части невесомым поршнем, скользящим без трения. При застопоренном поршне обе половины заполнены газом, причём в одной из них давление в $n$ раз больше, чем в другой. На сколько передвинется поршень, если снять стопор?

Дано:

Высота цилиндрического сосуда: $h$

Начальная высота каждой из двух равных частей сосуда: $h_1 = h_2 = h/2$

Начальное давление в первой части: $p_1$

Начальное давление во второй части: $p_2$

Соотношение начальных давлений: $p_1 = n \cdot p_2$

Поршень невесомый и скользит без трения.

Найти:

Смещение поршня после снятия стопора: $x$

Решение:

Обозначим площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда как $S$. В начальном состоянии, когда поршень застопорен, он находится ровно посередине сосуда. Таким образом, начальные объемы газа в обеих частях одинаковы:

$V_1 = V_2 = S \cdot \frac{h}{2}$

По условию задачи, давление в одной части в $n$ раз больше, чем в другой. Пусть $p_1 = n \cdot p_2$. Поскольку давление в первой части выше ($p_1 > p_2$, предполагая $n>1$), после снятия стопора поршень начнет двигаться в сторону второй части, сжимая газ в ней и позволяя газу в первой части расширяться.

Движение поршня прекратится, когда силы давления газа с обеих сторон уравновесятся. Так как площадь поршня $S$ одинакова с обеих сторон, равновесие наступит, когда давления газов в обеих частях станут равными. Обозначим это конечное давление как $p_f$.

Пусть поршень сместился на расстояние $x$. Тогда новая высота первой части (которая расширилась) станет $h'_1 = \frac{h}{2} + x$, а новой высотой второй части (которая сжалась) будет $h'_2 = \frac{h}{2} - x$.

Соответственно, новые объемы газов будут равны:

$V'_1 = S \cdot (\frac{h}{2} + x)$

$V'_2 = S \cdot (\frac{h}{2} - x)$

Предполагая, что процесс происходит достаточно медленно и температура газа в сосуде не меняется (процесс изотермический), мы можем применить закон Бойля-Мариотта ($pV = \text{const}$) для газа в каждой из частей сосуда.

Для первой части сосуда:

$p_1 V_1 = p_f V'_1 \Rightarrow (n p_2) \cdot (S \frac{h}{2}) = p_f \cdot S (\frac{h}{2} + x)$

Для второй части сосуда:

$p_2 V_2 = p_f V'_2 \Rightarrow p_2 \cdot (S \frac{h}{2}) = p_f \cdot S (\frac{h}{2} - x)$

Мы получили систему из двух уравнений. Сократим в них площадь $S$:

1) $n p_2 \frac{h}{2} = p_f (\frac{h}{2} + x)$

2) $p_2 \frac{h}{2} = p_f (\frac{h}{2} - x)$

Чтобы найти $x$, разделим первое уравнение на второе. Это позволит нам исключить неизвестные величины $p_2$ и $p_f$:

$\frac{n p_2 \frac{h}{2}}{p_2 \frac{h}{2}} = \frac{p_f (\frac{h}{2} + x)}{p_f (\frac{h}{2} - x)}$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе, получим:

$n = \frac{\frac{h}{2} + x}{\frac{h}{2} - x}$

Теперь решим это уравнение относительно искомой величины $x$:

$n \cdot (\frac{h}{2} - x) = \frac{h}{2} + x$

$\frac{nh}{2} - nx = \frac{h}{2} + x$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$\frac{nh}{2} - \frac{h}{2} = nx + x$

Вынесем общие множители за скобки:

$\frac{h}{2}(n - 1) = x(n + 1)$

Наконец, выразим $x$:

$x = \frac{h(n - 1)}{2(n + 1)}$

Ответ: поршень передвинется на расстояние $x = \frac{h(n - 1)}{2(n + 1)}$.