Номер 521, страница 71 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

521. Площадь поршня (см. рис. 58) равна $24\text{ см}^2$, объём воздуха в цилиндре $240\text{ см}^3$, а давление равно атмосферному (100 кПа). Какую силу надо приложить, чтобы удерживать поршень после его смещения на 2 см:

а) влево;

б) вправо?

Дано

$S = 24 \text{ см}^2$

$V_1 = 240 \text{ см}^3$

$p_1 = p_{\text{атм}} = 100 \text{ кПа}$

$\Delta x = 2 \text{ см}$

Найти:

$F_a$ - сила для удержания поршня при смещении влево.

$F_б$ - сила для удержания поршня при смещении вправо.

Решение

Будем считать, что температура воздуха в цилиндре не меняется, то есть процесс изотермический. В этом случае для газа выполняется закон Бойля-Мариотта: $p_1 V_1 = p_2 V_2$.

Сила, которую нужно приложить для удержания поршня, равна по модулю и противоположна по направлению равнодействующей сил давления воздуха внутри цилиндра и снаружи (атмосферного давления).

$F = |F_{\text{внутр}} - F_{\text{внешн}}| = |p_2 S - p_1 S| = |p_2 - p_1| S$

Изменение объема воздуха в цилиндре при смещении поршня равно $\Delta V = S \cdot \Delta x$.

$\Delta V = (24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (2 \cdot 10^{-2} \text{ м}) = 48 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

а) Смещение поршня влево (сжатие)

При смещении поршня влево объем воздуха уменьшается.

Новый объем: $V_a = V_1 - \Delta V = 240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 - 48 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 192 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

По закону Бойля-Мариотта найдем новое давление $p_a$:

$p_1 V_1 = p_a V_a \implies p_a = p_1 \frac{V_1}{V_a}$

$p_a = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{192 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3} = 10^5 \text{ Па} \cdot 1.25 = 1.25 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Давление внутри стало больше атмосферного, поэтому газ выталкивает поршень вправо. Для удержания нужно приложить силу $F_a$, направленную влево.

$F_a = (p_a - p_1) S = (1.25 \cdot 10^5 \text{ Па} - 1 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) = 0.25 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 60 \text{ Н}$.

Ответ: $60 \text{ Н}$.

б) Смещение поршня вправо (расширение)

При смещении поршня вправо объем воздуха увеличивается.

Новый объем: $V_б = V_1 + \Delta V = 240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 + 48 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 288 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

По закону Бойля-Мариотта найдем новое давление $p_б$:

$p_1 V_1 = p_б V_б \implies p_б = p_1 \frac{V_1}{V_б}$

$p_б = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{288 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3} = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{240}{288} = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{5}{6} \approx 0.833 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Давление внутри стало меньше атмосферного, поэтому атмосферное давление вдавливает поршень влево. Для удержания нужно приложить силу $F_б$, направленную вправо.

$F_б = (p_1 - p_б) S = (10^5 \text{ Па} - \frac{5}{6} \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) = \frac{1}{6} \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \cdot 10^{5-4} \text{ Н} = 40 \text{ Н}$.

Ответ: $40 \text{ Н}$.