Номер 520, страница 71 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

520. Водяной паук-серебрянка строит в воде воздушный домик, перенося на лапках и брюшке пузырьки атмосферного воздуха и помещая их под купол паутины, прикреплённой концами к водным растениям. Сколько рейсов надо сделать пауку, чтобы на глубине $50 \text{ см}$ построить домик объёмом $1 \text{ см}^3$, если каждый раз он берёт $5 \text{ мм}^3$ воздуха под атмосферным давлением?

Дано:

Глубина, на которой строится домик: $h = 50 \text{ см}$

Объем домика на глубине: $V_{дом} = 1 \text{ см}^3$

Объем одного пузырька воздуха на поверхности (при атмосферном давлении): $V_{пуз.атм} = 5 \text{ мм}^3$

Атмосферное давление (примем стандартное значение): $p_{атм} \approx 10^5 \text{ Па}$

Плотность воды: $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения (примем для простоты расчетов): $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$h = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

$V_{дом} = 1 \text{ см}^3 = 1 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

$V_{пуз.атм} = 5 \text{ мм}^3 = 5 \times (10^{-3} \text{ м})^3 = 5 \times 10^{-9} \text{ м}^3$

Найти:

Количество рейсов паука: $N - ?$

Решение:

Когда паук переносит пузырек воздуха с поверхности на глубину, давление на воздух увеличивается, а его объем уменьшается. Будем считать, что температура воздуха в пузырьке остается постоянной (процесс изотермический). В этом случае применим закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ – давление и объем газа на поверхности, а $p_2$ и $V_2$ – на глубине.

Давление на поверхности равно атмосферному: $p_1 = p_{атм}$.

Давление $p_2$ на глубине $h$ складывается из атмосферного давления и гидростатического давления столба воды:

$p_2 = p_{атм} + \rho g h$

Рассчитаем давление на глубине $h=0.5 \text{ м}$:

$p_2 = 10^5 \text{ Па} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \times 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \times 0.5 \text{ м} = 10^5 \text{ Па} + 5000 \text{ Па} = 105000 \text{ Па}$

Теперь определим, какой общий объем воздуха $V_{общ.атм}$ при атмосферном давлении нужно перенести пауку, чтобы на глубине получить домик объемом $V_{дом} = 1 \text{ см}^3$. Применяем закон Бойля-Мариотта для всего объема воздуха:

$p_{атм} \cdot V_{общ.атм} = p_2 \cdot V_{дом}$

Отсюда выразим $V_{общ.атм}$:

$V_{общ.атм} = V_{дом} \cdot \frac{p_2}{p_{атм}} = 1 \text{ см}^3 \cdot \frac{105000 \text{ Па}}{100000 \text{ Па}} = 1.05 \text{ см}^3$

Это общий объем воздуха, который паук должен принести с поверхности. Теперь найдем, сколько рейсов для этого потребуется. Переведем общий объем в кубические миллиметры, чтобы единицы измерения совпадали с объемом одного пузырька:

$1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$, значит $V_{общ.атм} = 1.05 \times 1000 \text{ мм}^3 = 1050 \text{ мм}^3$.

За один рейс паук приносит $V_{пуз.атм} = 5 \text{ мм}^3$ воздуха. Количество рейсов $N$ равно отношению общего необходимого объема к объему одного пузырька:

$N = \frac{V_{общ.атм}}{V_{пуз.атм}} = \frac{1050 \text{ мм}^3}{5 \text{ мм}^3} = 210$

Ответ: пауку надо сделать 210 рейсов.