Номер 525, страница 71 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

525. Запаянную с одного конца трубку опустили открытым концом в сосуд с ртутью (рис. 59). При этом ртуть в трубке поднялась на 5 см выше её уровня в сосуде, и высота столба воздуха над ртутью оказалась равной 40 см. Атмосферное давление было 75 см рт. ст. На следующий день оказалось, что уровень ртути в трубке повысился на 1 см. Каким было атмосферное давление на следующий день? Диаметр сосуда много больше диаметра трубки.

Рис. 59

Дано:

Превышение уровня ртути в трубке (1-й день), $h_1 = 5 \text{ см}$

Высота столба воздуха в трубке (1-й день), $l_1 = 40 \text{ см}$

Атмосферное давление (1-й день), $P_{\text{атм1}} = 75 \text{ см рт. ст.}$

Повышение уровня ртути в трубке, $\Delta h = 1 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 0.05 \text{ м}$

$l_1 = 0.40 \text{ м}$

$\Delta h = 0.01 \text{ м}$

$P_{\text{атм1}} = 75 \text{ см рт. ст.} = 0.75 \text{ м рт. ст.} \approx 0.75 \text{ м} \cdot 13595.1 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.80665 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 99992 \text{ Па}$

(Для решения данной задачи удобнее использовать внесистемные единицы измерения давления — сантиметры ртутного столба, так как все давления в условии даны или могут быть выражены через них).

Найти:

Атмосферное давление на следующий день, $P_{\text{атм2}}$.

Решение:

Рассмотрим состояние системы в первый день. Давление на уровне свободной поверхности ртути в сосуде равно атмосферному давлению $P_{\text{атм1}}$. Внутри трубки на этом же уровне давление складывается из давления столба воздуха $P_1$ и давления столба ртути высотой $h_1$.

Запишем уравнение равновесия давлений, выражая все величины в сантиметрах ртутного столба (см рт. ст.):

$P_{\text{атм1}} = P_1 + h_1$

Отсюда найдем давление воздуха в трубке в первый день:

$P_1 = P_{\text{атм1}} - h_1 = 75 \text{ см рт. ст.} - 5 \text{ см} = 70 \text{ см рт. ст.}$

Теперь рассмотрим состояние системы на следующий день. Уровень ртути в трубке повысился на $\Delta h = 1 \text{ см}$. Так как диаметр сосуда много больше диаметра трубки, изменением уровня ртути в сосуде можно пренебречь. Следовательно, новая высота столба ртути в трубке над уровнем в сосуде будет:

$h_2 = h_1 + \Delta h = 5 \text{ см} + 1 \text{ см} = 6 \text{ см}$

При этом высота столба воздуха в трубке уменьшится на ту же величину:

$l_2 = l_1 - \Delta h = 40 \text{ см} - 1 \text{ см} = 39 \text{ см}$

Воздух в трубке заперт, его количество постоянно. Будем считать, что температура воздуха за это время не изменилась (процесс изотермический). Тогда для воздуха в трубке можно применить закон Бойля-Мариотта:

$P_1 V_1 = P_2 V_2$

где $P_2$ и $V_2$ — давление и объем воздуха во второй день. Объем воздуха пропорционален высоте столба $l$ ($V=S \cdot l$, где $S$ — площадь сечения трубки), поэтому закон можно переписать как:

$P_1 l_1 = P_2 l_2$

Найдем новое давление воздуха $P_2$:

$P_2 = P_1 \frac{l_1}{l_2} = 70 \text{ см рт. ст.} \cdot \frac{40 \text{ см}}{39 \text{ см}} = \frac{2800}{39} \text{ см рт. ст.}$

Атмосферное давление на следующий день $P_{\text{атм2}}$ уравновешивается давлением воздуха $P_2$ и давлением столба ртути $h_2$:

$P_{\text{атм2}} = P_2 + h_2$

Подставим найденные значения:

$P_{\text{атм2}} = \frac{2800}{39} \text{ см рт. ст.} + 6 \text{ см} = \frac{2800}{39} + \frac{6 \cdot 39}{39} = \frac{2800 + 234}{39} = \frac{3034}{39} \text{ см рт. ст.}$

Вычислим приближенное значение:

$P_{\text{атм2}} \approx 77.8 \text{ см рт. ст.}$

Ответ: атмосферное давление на следующий день составило $\frac{3034}{39}$ см рт. ст., что приблизительно равно 77.8 см рт. ст.