Номер 519, страница 71 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

519. Пузырёк воздуха всплывает со дна водоёма. На глубине 6 м он имел объём $10 \text{ мм}^3$. Найти объём пузырька у поверхности воды.

Дано:

$h = 6 \text{ м}$
$V_1 = 10 \text{ мм}^3$

Перевод в СИ:

$V_1 = 10 \text{ мм}^3 = 10 \cdot (10^{-3} \text{ м})^3 = 10 \cdot 10^{-9} \text{ м}^3 = 10^{-8} \text{ м}^3$

Найти:

$V_2$ - ?

Решение:

Будем считать, что температура воздуха в пузырьке при его всплытии не изменяется, то есть процесс является изотермическим. Для такого процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, который связывает давление и объем газа при постоянной температуре:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Здесь $p_1$ и $V_1$ — давление и объем пузырька на глубине $h$, а $p_2$ и $V_2$ — давление и объем у поверхности воды.

Давление $p_1$ на глубине $h$ складывается из атмосферного давления $p_a$ и гидростатического давления столба воды $p_h$:

$p_1 = p_a + p_h = p_a + \rho g h$

где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения.

Давление $p_2$ у поверхности воды равно атмосферному:

$p_2 = p_a$

Подставим выражения для давлений в закон Бойля-Мариотта:

$(p_a + \rho g h) V_1 = p_a V_2$

Отсюда выразим искомый объём $V_2$:

$V_2 = \frac{(p_a + \rho g h) V_1}{p_a} = V_1 \left(1 + \frac{\rho g h}{p_a}\right)$

Для проведения расчетов используем справочные данные, округленные для удобства вычислений: плотность пресной воды $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$, ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, нормальное атмосферное давление $p_a \approx 10^5 \text{ Па}$.

Рассчитаем давление на глубине 6 м:

$p_1 = 10^5 \text{ Па} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6 \text{ м} = 10^5 \text{ Па} + 60000 \text{ Па} = 160000 \text{ Па} = 1.6 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Теперь можем найти объём $V_2$. Обратите внимание, что так как в формуле для $V_2$ стоит отношение давлений, можно подставить объём $V_1$ в мм³, и результат также будет в мм³.

$V_2 = V_1 \frac{p_1}{p_2} = 10 \text{ мм}^3 \cdot \frac{160000 \text{ Па}}{10^5 \text{ Па}} = 10 \cdot 1.6 = 16 \text{ мм}^3$

Ответ: объём пузырька у поверхности воды составит $16 \text{ мм}^3$.