Номер 512, страница 70 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

24. Уравнения состояния идеального газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 512, страница 70.

Условие.

512. Резиновую лодку надули при температуре 7 °C до рабочего давления 108 кПа. Имеется ли опасность разрыва лодки при повышении температуры до 37 °C, если предельно допустимое давление 110,6 кПа и увеличение объёма не должно превышать 4%? Что надо сделать для предотвращения опасности разрыва?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Имеется ли опасность разрыва лодки?

Дано:
Начальная температура $t_1 = 7 \text{ °C}$
Рабочее давление $p_1 = 108 \text{ кПа}$
Конечная температура $t_2 = 37 \text{ °C}$
Предельно допустимое давление $p_{max} = 110,6 \text{ кПа}$
Допустимое увеличение объема $\frac{\Delta V}{V_1} \le 4\% \text{ или } 0,04$

$T_1 = 7 + 273 = 280 \text{ К}$
$p_1 = 108 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$T_2 = 37 + 273 = 310 \text{ К}$
$p_{max} = 110,6 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Найти:

Существует ли опасность разрыва лодки.

Решение:

Состояние воздуха в лодке описывается объединенным газовым законом, так как масса воздуха в лодке при нагреве не меняется: $$ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} $$ где $p_1$, $V_1$, $T_1$ — начальные давление, объем и абсолютная температура воздуха, а $p_2$, $V_2$, $T_2$ — конечные параметры.

По условию, увеличение объема не должно превышать 4%. Это значит, что конечный объем $V_2$ не может быть больше, чем $V_1 + 0,04 V_1 = 1,04 V_1$. Чтобы проверить наличие опасности, рассчитаем давление $p_2$, которое установится в лодке при максимальном допустимом увеличении объема ($V_2 = 1,04 V_1$) и повышении температуры до $T_2$.

Выразим конечное давление $p_2$ из уравнения: $$ p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} $$ Подставим в формулу $V_2 = 1,04 V_1$ и числовые значения (для удобства сравнения оставим давление в кПа): $$ p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{1,04 V_1} \cdot \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_1 T_2}{1,04 T_1} $$ $$ p_2 = \frac{108 \text{ кПа} \cdot 310 \text{ К}}{1,04 \cdot 280 \text{ К}} = \frac{33480}{291,2} \text{ кПа} \approx 115,0 \text{ кПа} $$

Сравним полученное давление с предельно допустимым $p_{max}$: $$ 115,0 \text{ кПа} > 110,6 \text{ кПа} $$ Так как расчетное давление $p_2$ превышает предельно допустимое $p_{max}$, опасность разрыва лодки существует.

Ответ: да, опасность разрыва лодки существует, так как давление при нагреве достигнет значения примерно 115,0 кПа, что выше предельно допустимого значения 110,6 кПа.

Что надо сделать для предотвращения опасности разрыва?

Решение:
Давление газа в замкнутом объеме при определенной температуре прямо пропорционально количеству (массе) газа. Чтобы давление в нагретой лодке не превысило предельно допустимого значения, необходимо уменьшить количество воздуха внутри. На практике это означает, что нужно выпустить (стравить) часть воздуха из лодки.

Ответ: для предотвращения опасности разрыва необходимо выпустить часть воздуха из лодки.