Номер 509, страница 69 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

24. Уравнения состояния идеального газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 509, страница 69.

Условие.

509. Метан подают по газопроводу при давлении 405,2 кПа и температуре 300 К, причём через поперечное сечение трубы площадью 8 $\text{см}^2$ за 20 мин проходит 8,4 кг газа. Определить скорость протекания газа по трубе.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Давление, $p = 405,2 \text{ кПа} = 405,2 \cdot 10^3 \text{ Па}$
Температура, $T = 300 \text{ К}$
Площадь поперечного сечения, $S = 8 \text{ см}^2 = 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$
Время, $t = 20 \text{ мин} = 1200 \text{ с}$
Масса газа, $m = 8,4 \text{ кг}$
Газ: метан (CH₄)
Молярная масса метана, $M = 16 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная, $R = 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

Скорость протекания газа, $v$.

Решение:

Масса газа $m$, которая проходит через поперечное сечение трубы $S$ за время $t$, связана со скоростью потока $v$ и плотностью газа $\rho$. Объем газа $V$, прошедшего через сечение за время $t$, равен произведению площади сечения на расстояние, которое прошел газ ($L=v \cdot t$):

$V = S \cdot v \cdot t$

Масса этого объема газа вычисляется по формуле:

$m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot v \cdot t$

Из этого соотношения мы можем выразить искомую скорость $v$:

$v = \frac{m}{\rho S t}$

Плотность газа $\rho$ при заданных давлении и температуре можно найти из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$p V = \frac{m}{M} R T$

Поскольку плотность по определению равна $\rho = \frac{m}{V}$, мы можем преобразовать уравнение состояния для выражения плотности:

$p = \frac{m}{V} \frac{R T}{M} \implies p = \rho \frac{R T}{M}$

Отсюда находим выражение для плотности:

$\rho = \frac{p M}{R T}$

Теперь подставим полученное выражение для плотности в формулу для скорости:

$v = \frac{m}{(\frac{p M}{R T}) S t} = \frac{m R T}{p M S t}$

Подставим числовые значения из условия задачи в итоговую формулу для расчета скорости:

$v = \frac{8,4 \text{ кг} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{405,2 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 16 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 1200 \text{ с}}$

Выполним вычисления:

$v = \frac{20941,2}{6223,872} \approx 3,365 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименее точными данными в условии), получаем:

$v \approx 3,4 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 3,4 \text{ м/с}$.