Номер 505, страница 69 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

24. Уравнения состояния идеального газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 505, страница 69.

Условие.

505. В комнате площадью $S = 20 \text{ м}^2$ и высотой $h = 2,5 \text{ м}$ температура воздуха повысилась с $T_1 = 288 \text{ К}$ до $T_2 = 298 \text{ К}$. Давление постоянно и равно $p = 100 \text{ кПа}$. На какую величину $\Delta m$ уменьшилась масса воздуха в комнате?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$S = 20 \text{ м}^2$

$h = 2,5 \text{ м}$

$T_1 = 288 \text{ К}$

$T_2 = 298 \text{ К}$

$p = 100 \text{ кПа}$

Молярная масса воздуха $M \approx 0,029 \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Перевод в систему СИ:

$p = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta m$

Решение:

Поскольку комната не является герметичной (иначе при нагревании росло бы давление), при повышении температуры часть воздуха выходит наружу. Это позволяет давлению внутри комнаты оставаться постоянным и равным атмосферному. В результате масса воздуха в комнате уменьшается.

1. Сначала найдем объем комнаты $V$, умножив ее площадь на высоту:

$V = S \cdot h = 20 \text{ м}^2 \cdot 2,5 \text{ м} = 50 \text{ м}^3$

2. Для нахождения массы воздуха воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = nRT$

где $n$ — количество вещества, которое можно выразить через массу $m$ и молярную массу $M$ как $n = \frac{m}{M}$.

Подставим это в уравнение:

$pV = \frac{m}{M}RT$

Из этого уравнения выразим массу воздуха $m$ в комнате:

$m = \frac{pVM}{RT}$

3. Рассчитаем начальную массу воздуха $m_1$ в комнате при температуре $T_1 = 288 \text{ К}$:

$m_1 = \frac{pVM}{RT_1}$

4. Рассчитаем конечную массу воздуха $m_2$ в комнате после нагрева до температуры $T_2 = 298 \text{ К}$:

$m_2 = \frac{pVM}{RT_2}$

5. Уменьшение массы воздуха $\Delta m$ равно разности между начальной и конечной массами:

$\Delta m = m_1 - m_2 = \frac{pVM}{RT_1} - \frac{pVM}{RT_2}$

Вынесем общие множители за скобки для удобства расчетов:

$\Delta m = \frac{pVM}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{pVM}{R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$

6. Подставим числовые значения в полученную формулу и выполним вычисления:

$\Delta m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 50 \text{ м}^3 \cdot 0,029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} \left( \frac{298 \text{ К} - 288 \text{ К}}{288 \text{ К} \cdot 298 \text{ К}} \right)$

$\Delta m = \frac{145000}{8,31} \left( \frac{10}{85824} \right) \text{ кг}$

$\Delta m \approx 17448,86 \cdot 0,0001165 \text{ кг} \approx 2,033 \text{ кг}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: масса воздуха в комнате уменьшилась на величину $\Delta m \approx 2,03$ кг.