Номер 501, страница 69 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

24. Уравнения состояния идеального газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 501, страница 69.

Условие.

501. Во сколько раз отличается плотность метана ($\text{CH}_4$) от плотности кислорода ($\text{O}_2$) при одинаковых условиях?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Газ 1: метан (CH₄)

Газ 2: кислород (O₂)

Условия для обоих газов одинаковы, то есть давление $p$ и температура $T$ постоянны и равны для обоих газов.

$p_1 = p_2 = p$

$T_1 = T_2 = T$

Найти:

Отношение плотностей $\frac{\rho_{O_2}}{\rho_{CH_4}}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT$

где $p$ — давление, $V$ — объём, $\nu$ — количество вещества (число молей), $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Количество вещества $\nu$ можно выразить через массу газа $m$ и его молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Подставим это выражение в уравнение Менделеева-Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

Плотность вещества $\rho$ определяется как отношение массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим плотность из нашего уравнения:

$p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} \implies p = \rho \frac{RT}{M}$

Отсюда формула для плотности газа:

$\rho = \frac{pM}{RT}$

Запишем это уравнение для метана (CH₄) и кислорода (O₂):

$\rho_{CH_4} = \frac{p M_{CH_4}}{RT}$

$\rho_{O_2} = \frac{p M_{O_2}}{RT}$

Поскольку по условию задачи давление $p$ и температура $T$ для обоих газов одинаковы, мы можем найти отношение их плотностей, разделив одно уравнение на другое:

$\frac{\rho_{O_2}}{\rho_{CH_4}} = \frac{\frac{p M_{O_2}}{RT}}{\frac{p M_{CH_4}}{RT}} = \frac{M_{O_2}}{M_{CH_4}}$

Таким образом, отношение плотностей газов при одинаковых условиях равно отношению их молярных масс.

Рассчитаем молярные массы метана и кислорода, используя относительные атомные массы элементов из периодической таблицы (C ≈ 12, H ≈ 1, O ≈ 16):

Молярная масса метана (CH₄):

$M_{CH_4} = M(C) + 4 \cdot M(H) = 12 + 4 \cdot 1 = 16$ г/моль.

Молярная масса кислорода (O₂):

$M_{O_2} = 2 \cdot M(O) = 2 \cdot 16 = 32$ г/моль.

Теперь найдем отношение плотностей:

$\frac{\rho_{O_2}}{\rho_{CH_4}} = \frac{32 \text{ г/моль}}{16 \text{ г/моль}} = 2$

Это означает, что плотность кислорода в 2 раза больше плотности метана.

Ответ: Плотность кислорода в 2 раза больше плотности метана при одинаковых условиях.