Номер 499, страница 68 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

24. Уравнения состояния идеального газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 499, страница 68.

Условие.

499. На рисунке 57 приведена изотерма для 1 моль газа при температуре 260 К. Построить на этом же чертеже изотермы:

а) для 1 моль газа при 390 К;

б) для 2 моль газа при 260 К.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) для 1 моль газа при 390 К;

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона: $pV = \nu RT$. Изотерма представляет собой график зависимости давления $p$ от объема $V$ при постоянной температуре $T$ и количестве вещества $\nu$. Для изотермического процесса $pV = \text{const}$, что является уравнением гиперболы в координатах $(V, p)$.

Исходный график (обозначим его параметры индексом 0) построен для $\nu_0 = 1 \text{ моль}$ и $T_0 = 260 \text{ К}$. Для него справедливо соотношение $p_0V = \nu_0 R T_0 = 1 \cdot R \cdot 260 = 260R$.

Новая изотерма (индекс 1) строится для $\nu_1 = 1 \text{ моль}$ и $T_1 = 390 \text{ К}$. Для нее уравнение состояния имеет вид $p_1V = \nu_1 R T_1 = 1 \cdot R \cdot 390 = 390R$.

Чтобы определить, как расположена новая изотерма относительно старой, сравним давления газов при одинаковом объеме $V$. Для этого разделим уравнение для нового состояния на уравнение для исходного:

$\frac{p_1V}{p_0V} = \frac{390R}{260R} = \frac{39}{26} = \frac{3}{2} = 1.5$

Отсюда получаем, что $p_1 = 1.5 p_0$. Это значит, что для построения новой изотермы нужно для каждой точки исходного графика взять то же значение объема $V$, а значение давления $p$ умножить на 1.5. Новая гипербола будет расположена "выше" исходной.

Ответ: новая изотерма — это гипербола, расположенная выше исходной. Для любого значения объема $V$ давление на ней в 1.5 раза больше, чем на исходной изотерме.

б) для 2 моль газа при 260 К.

В этом случае (индекс 2) количество вещества $\nu_2 = 2 \text{ моль}$, а температура $T_2 = 260 \text{ К}$. Уравнение состояния для этой изотермы:

$p_2V = \nu_2 R T_2 = 2 \cdot R \cdot 260 = 520R$.

Сравним это состояние с исходным ($\nu_0 = 1 \text{ моль}, T_0 = 260 \text{ К}$), для которого $p_0V = 260R$. При одинаковом объеме $V$ имеем:

$\frac{p_2V}{p_0V} = \frac{520R}{260R} = 2$

Следовательно, $p_2 = 2 p_0$. Давление на этой изотерме при любом объеме будет в 2 раза больше, чем на исходной. Этот график также является гиперболой и будет расположен выше исходного графика и выше графика из пункта а).

Ответ: новая изотерма — это гипербола, расположенная выше исходной. Для любого значения объема $V$ давление на ней в 2 раза больше, чем на исходной изотерме.

500*. Дано:
Начальная температура газа: $t_1 = 15 \ ^\circ\text{C}$
Доля вышедшего из баллона газа: $40\%$
Понижение температуры: $\Delta t = 8 \ ^\circ\text{C}$
Объем баллона постоянен: $V = \text{const}$

Перевод в систему СИ и вычисление конечных параметров:
Начальная абсолютная температура: $T_1 = 15 + 273 = 288 \text{ К}$
Конечная температура в градусах Цельсия: $t_2 = t_1 - \Delta t = 15 - 8 = 7 \ ^\circ\text{C}$
Конечная абсолютная температура: $T_2 = 7 + 273 = 280 \text{ К}$
Если начальное количество вещества газа было $\nu_1$, то после того как 40% газа вышло, осталось: $\nu_2 = \nu_1 - 0.4\nu_1 = 0.6\nu_1$

Найти:
Отношение начального давления к конечному $\frac{p_1}{p_2}$.

Решение:
Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний газа в баллоне.
Начальное состояние (индекс 1): $p_1V = \nu_1RT_1$
Конечное состояние (индекс 2): $p_2V = \nu_2RT_2$
Чтобы найти, во сколько раз уменьшилось давление, найдем отношение $\frac{p_1}{p_2}$. Для этого разделим первое уравнение на второе:
$\frac{p_1V}{p_2V} = \frac{\nu_1RT_1}{\nu_2RT_2}$
Сократив объем $V$ и универсальную газовую постоянную $R$, получим:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\nu_1T_1}{\nu_2T_2}$
Подставим в это соотношение значения температур и выражение для $\nu_2$:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\nu_1 \cdot 288 \text{ К}}{0.6\nu_1 \cdot 280 \text{ К}}$
Сократим $\nu_1$ и выполним вычисления:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{288}{0.6 \cdot 280} = \frac{288}{168}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{288}{168} = \frac{144}{84} = \frac{72}{42} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7}$
$\frac{12}{7} \approx 1.714$

Ответ: давление газа уменьшится в $\frac{12}{7}$ раза, или примерно в 1.71 раза.