Номер 492, страница 67 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

23. Энергия теплового движения молекур. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры. Скорости молекул газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 492, страница 67.

Условие.

492. При вращении прибора Штерна с частотой 45 $с^{-1}$ среднее смещение полоски серебра, обусловленное вращением, составляло 1,12 см. Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно равны 1,2 и 16 см. Найти среднюю квадратичную скорость атомов серебра из данных опыта и сравнить её с теоретическим значением, если температура накала платиновой нити равна 1500 К.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Частота вращения, $ν = 45 \text{ с}^{-1}$

Смещение полоски серебра, $s = 1,12 \text{ см} = 0,0112 \text{ м}$

Радиус внутреннего цилиндра, $R_1 = 1,2 \text{ см} = 0,012 \text{ м}$

Радиус внешнего цилиндра, $R_2 = 16 \text{ см} = 0,16 \text{ м}$

Температура нити, $T = 1500 \text{ К}$

Молярная масса серебра (Ag), $M = 108 \text{ г/моль} = 0,108 \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная, $R = 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

Среднюю квадратичную скорость из опыта $v_{кв.эксп}$ и теоретическую среднюю квадратичную скорость $v_{кв.теор}$.

Решение:

Найти среднюю квадратичную скорость атомов серебра из данных опыта

В опыте Штерна атомы серебра испаряются с внутреннего цилиндра и летят к внешнему. За время полета атомов $t$ внешний цилиндр поворачивается на некоторый угол, что приводит к смещению полоски серебра на расстояние $s$.

1. Время полета атома со средней скоростью $ ext{<}r ext{>}$ от внутреннего цилиндра к внешнему:

$t = \frac{R_2 - R_1}{ ext{<}r ext{>}}$

2. За это время внешний цилиндр, вращаясь с угловой скоростью $ω$, повернется на угол $φ$. Угловая скорость связана с частотой вращения $ν$ соотношением:

$ω = 2πν$

Угол поворота: $φ = ωt = 2πνt$

3. Смещение $s$ на поверхности внешнего цилиндра радиусом $R_2$ равно длине дуги:

$s = φR_2 = 2πνtR_2$

4. Подставим выражение для времени $t$ в формулу для смещения $s$:

$s = 2πν \frac{R_2 - R_1}{ ext{<}r ext{>}} R_2$

5. Из этой формулы выразим среднюю скорость атомов $ ext{<}r ext{>}$:

$ ext{<}r ext{>} = \frac{2πνR_2(R_2 - R_1)}{s}$

Подставим числовые значения:

$ ext{<}r ext{>} = \frac{2 \cdot 3,14159 \cdot 45 \text{ с}^{-1} \cdot 0,16 \text{ м} \cdot (0,16 \text{ м} - 0,012 \text{ м})}{0,0112 \text{ м}} \approx \frac{6,69 \text{ м}^2/\text{с}}{0,0112 \text{ м}} \approx 597,3 \text{ м/с}$

Полученное значение является средней арифметической скоростью. В задаче требуется найти среднюю квадратичную скорость. Для газов, подчиняющихся распределению Максвелла, эти скорости связаны соотношением:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3π}{8}} \cdot ext{<}r ext{>}$

Вычислим экспериментальное значение средней квадратичной скорости:

$v_{кв.эксп} = \sqrt{\frac{3 \cdot 3,14159}{8}} \cdot 597,3 \text{ м/с} \approx 1,0854 \cdot 597,3 \text{ м/с} \approx 648,3 \text{ м/с}$

Ответ: Средняя квадратичная скорость атомов серебра, найденная из данных опыта, составляет примерно 648 м/с.

Сравнить её с теоретическим значением

1. Теоретическое значение средней квадратичной скорости атомов определяется температурой газа по формуле:

$v_{кв.теор} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура, $M$ – молярная масса газа.

2. Подставим значения и вычислим теоретическую скорость:

$v_{кв.теор} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 1500 \text{ К}}{0,108 \text{ кг/моль}}} = \sqrt{\frac{37395}{0,108}} \text{ м/с} \approx \sqrt{346250} \text{ м/с} \approx 588,4 \text{ м/с}$

3. Сравним экспериментальное и теоретическое значения. Экспериментальное значение $v_{кв.эксп} \approx 648 \text{ м/с}$, теоретическое значение $v_{кв.теор} \approx 588 \text{ м/с}$.

Найдем относительное расхождение:

$δ = \frac{|v_{кв.эксп} - v_{кв.теор}|}{v_{кв.теор}} \cdot 100\% = \frac{|648,3 - 588,4|}{588,4} \cdot 100\% \approx \frac{59,9}{588,4} \cdot 100\% \approx 10,2\%$

Экспериментальное значение превышает теоретическое примерно на 10%. Это расхождение является приемлемым для данного типа эксперимента и может быть вызвано погрешностями измерений и тем, что распределение скоростей испаряющихся атомов может несколько отличаться от идеального распределения Максвелла.

Ответ: Теоретическое значение средней квадратичной скорости составляет 588 м/с. Экспериментальное значение (648 м/с) превышает теоретическое примерно на 10,2%, что является хорошим совпадением для опыта Штерна.