Номер 490, страница 67 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

23. Энергия теплового движения молекур. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры. Скорости молекул газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 490, страница 67.

Условие.

490. Плотность кислорода при давлении 124 кПа 1,6 кг/м³. Найти число молекул в единице объёма (концентрацию), среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул, среднюю квадратичную скорость молекул и температуру кислорода.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Газ - кислород ($O_2$)
Давление $P = 124 \text{ кПа} = 124 \cdot 10^3 \text{ Па}$
Плотность $\rho = 1.6 \text{ кг/м}^3$

Справочные данные:
Молярная масса кислорода $M = 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Постоянная Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Постоянная Больцмана $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

$n$ - число молекул в единице объёма (концентрацию)
$E_k$ - среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул
$v_{кв}$ - среднюю квадратичную скорость молекул
$T$ - температуру кислорода

Решение:

число молекул в единице объёма (концентрацию)

Концентрация молекул $n$ связана с плотностью газа $\rho$ и массой одной молекулы $m_0$ соотношением $\rho = n \cdot m_0$. Следовательно, концентрацию можно найти по формуле $n = \frac{\rho}{m_0}$.

Массу одной молекулы кислорода $m_0$ вычислим, разделив молярную массу $M$ на число Авогадро $N_A$:
$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 5.31 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$.

Теперь вычислим концентрацию:
$n = \frac{\rho}{m_0} = \frac{1.6 \text{ кг/м}^3}{5.31 \cdot 10^{-26} \text{ кг}} \approx 3.01 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.

Ответ: $n \approx 3.01 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.

среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление $P$, концентрацию $n$ и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул $E_k$:
$P = \frac{2}{3} n E_k$.

Выразим из этой формулы искомую энергию:
$E_k = \frac{3P}{2n}$.

Подставим известные и ранее вычисленные значения:
$E_k = \frac{3 \cdot 124 \cdot 10^3 \text{ Па}}{2 \cdot 3.01 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}} \approx 6.18 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$.

Ответ: $E_k \approx 6.18 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$.

среднюю квадратичную скорость молекул

Среднюю квадратичную скорость $v_{кв}$ можно найти из связи давления $P$ и плотности $\rho$:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{кв}^2$.

Отсюда выражаем скорость:
$v_{кв} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$.

Подставим данные из условия задачи:
$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 124 \cdot 10^3 \text{ Па}}{1.6 \text{ кг/м}^3}} = \sqrt{232500} \text{ м/с} \approx 482 \text{ м/с}$.

Ответ: $v_{кв} \approx 482 \text{ м/с}$.

температуру кислорода

Температуру $T$ можно найти, зная давление и концентрацию, из уравнения состояния идеального газа $P = nkT$, где $k$ — постоянная Больцмана.
$T = \frac{P}{nk}$.

Подставим значения:
$T = \frac{124 \cdot 10^3 \text{ Па}}{3.01 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}} \approx 299 \text{ К}$.

Также температуру можно было найти через уравнение Менделеева-Клапейрона, выраженное через плотность: $P = \frac{\rho}{M}RT$.
$T = \frac{PM}{\rho R} = \frac{124 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{1.6 \text{ кг/м}^3 \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}} \approx 298 \text{ К}$.
Небольшое расхождение в результатах обусловлено округлением промежуточных вычислений.

Ответ: $T \approx 298 \text{ К}$.