Страница 67 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

484. Найти среднюю квадратичную скорость молекулы водорода при температуре 27 °С.

Дано:

Температура $t = 27$ °C
Газ - водород ($H_2$)

Абсолютная температура $T = 27 + 273 = 300$ К
Молярная масса водорода $M = 2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Найти:

Среднюю квадратичную скорость $v_{кв}$

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа связана с его абсолютной температурой. Эта связь выражается формулой, вытекающей из основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

$\frac{1}{2} M \overline{v^2} = \frac{3}{2} RT$

Отсюда формула для средней квадратичной скорости ($v_{кв} = \sqrt{\overline{v^2}}$):

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура газа, $M$ — молярная масса газа.

Подставим в формулу значения, переведенные в систему СИ:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot 300 \, \text{К}}{2 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}}}$

Произведем вычисления:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{7479}{0.002}} = \sqrt{3739500} \approx 1934$ м/с

Ответ: $1934$ м/с.

485. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул кислорода меньше средней квадратичной скорости молекул водорода, если температуры этих газов одинаковы?

Дано:

Газ 1: кислород ($O_2$)

Газ 2: водород ($H_2$)

Температуры газов одинаковы: $T_{O_2} = T_{H_2} = T$

Молярная масса кислорода (из таблицы Менделеева): $M_{O_2} \approx 2 \cdot 16 = 32$ г/моль

Молярная масса водорода (из таблицы Менделеева): $M_{H_2} \approx 2 \cdot 1 = 2$ г/моль

Найти:

Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул кислорода $v_{кв, O_2}$ меньше средней квадратичной скорости молекул водорода $v_{кв, H_2}$, то есть найти отношение $\frac{v_{кв, H_2}}{v_{кв, O_2}}$.

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул газа $v_{кв}$ связана с его абсолютной температурой $T$ и молярной массой $M$ следующей формулой:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $R$ — универсальная газовая постоянная.

Запишем это выражение для каждого из газов, кислорода и водорода:

Для кислорода: $v_{кв, O_2} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}$

Для водорода: $v_{кв, H_2} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{H_2}}}$

По условию задачи температуры газов равны ($T_{O_2} = T_{H_2} = T$). Чтобы найти искомое отношение, разделим выражение для скорости водорода на выражение для скорости кислорода:

$\frac{v_{кв, H_2}}{v_{кв, O_2}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{H_2}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}}$

Используя свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, упростим выражение:

$\frac{v_{кв, H_2}}{v_{кв, O_2}} = \sqrt{\frac{\frac{3RT}{M_{H_2}}}{\frac{3RT}{M_{O_2}}}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{H_2}} \cdot \frac{M_{O_2}}{3RT}}$

Сократим одинаковые множители $3RT$:

$\frac{v_{кв, H_2}}{v_{кв, O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}$

Как видно из формулы, при одинаковой температуре отношение средних квадратичных скоростей обратно пропорционально корню квадратному из отношения их молярных масс.

Подставим значения молярных масс в СИ:

$\frac{v_{кв, H_2}}{v_{кв, O_2}} = \sqrt{\frac{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$

Полученное отношение равно 4. Это означает, что средняя квадратичная скорость молекул водорода в 4 раза больше, чем у молекул кислорода. Следовательно, средняя квадратичная скорость молекул кислорода в 4 раза меньше, чем у молекул водорода.

Ответ: средняя квадратичная скорость молекул кислорода в 4 раза меньше средней квадратичной скорости молекул водорода.

486. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота равна 830 м/с?

Дано:

Средняя квадратичная скорость молекул азота: $v_{кв} = 830$ м/с
Газ: азот ($N_2$)

Для решения задачи нам понадобятся справочные данные:

• Молярная масса азота ($N_2$): $M = 28$ г/моль
• Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Переведем молярную массу в систему СИ:
$M = 28 \text{ г/моль} = 28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

Температуру газа $T$.

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа связана с температурой. Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории можно вывести формулу для средней квадратичной скорости молекул:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

В этой формуле:

• $v_{кв}$ – средняя квадратичная скорость молекул,
• $R$ – универсальная газовая постоянная,
• $T$ – абсолютная температура газа в Кельвинах,
• $M$ – молярная масса газа.

Для того чтобы найти температуру $T$, необходимо выразить ее из данной формулы. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$v_{кв}^2 = \frac{3RT}{M}$

Теперь выразим температуру $T$, умножив обе части на $M$ и разделив на $3R$:

$T = \frac{M \cdot v_{кв}^2}{3R}$

Теперь мы можем подставить числовые значения в полученную формулу. Все величины должны быть в системе СИ.

$T = \frac{(28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}) \cdot (830 \text{ м/с})^2}{3 \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}}$

Выполним вычисления:

$T = \frac{28 \cdot 10^{-3} \cdot 688900}{24.93} \text{ К} = \frac{19289.2}{24.93} \text{ К} \approx 773.73 \text{ К}$

Округляя результат, получаем значение температуры.

Ответ: температура, при которой средняя квадратичная скорость молекул азота равна 830 м/с, составляет приблизительно 773.7 К.

487. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул водяного пара в летний день при температуре 30 °C больше, чем в зимний день при температуре –30 °C?

Дано:

Температура в летний день, $t_1 = 30 \text{ °C}$

Температура в зимний день, $t_2 = -30 \text{ °C}$

Переведем температуры в систему СИ (Кельвины), используя формулу $T = t + 273.15$. Для школьных задач часто используется округление $T = t + 273$.

$T_1 = 30 + 273 = 303 \text{ К}$

$T_2 = -30 + 273 = 243 \text{ К}$

Найти:

Отношение средних квадратичных скоростей $\frac{v_1}{v_2}$

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа определяется по формуле, связывающей её с абсолютной температурой:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$

где $v_{кв}$ — средняя квадратичная скорость, $k$ — постоянная Больцмана ($1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$), $T$ — абсолютная температура в Кельвинах, а $m_0$ — масса одной молекулы. В данной задаче газ — водяной пар, поэтому масса молекулы $m_0$ в обоих случаях одинакова.

Обозначим среднюю квадратичную скорость молекул летом как $v_1$ (при температуре $T_1$), а зимой — как $v_2$ (при температуре $T_2$).

$v_1 = \sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{3kT_2}{m_0}}$

Чтобы найти, во сколько раз скорость $v_1$ больше скорости $v_2$, необходимо найти их отношение:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}}}{\sqrt{\frac{3kT_2}{m_0}}}$

Мы можем упростить это выражение, так как множители $3, k, m_0$ являются константами и сокращаются:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\frac{3kT_1}{m_0}}{\frac{3kT_2}{m_0}}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

Теперь подставим числовые значения абсолютных температур:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{303}{243}} \approx \sqrt{1.2469...}$

Вычислим значение корня:

$\frac{v_1}{v_2} \approx 1.1166...$

Округлив результат до сотых, получаем, что средняя квадратичная скорость молекул водяного пара в летний день больше, чем в зимний, примерно в 1.12 раза.

Ответ: Средняя квадратичная скорость молекул водяного пара при температуре $30 \text{ °C}$ больше, чем при температуре $-30 \text{ °C}$, примерно в 1.12 раза.

488. Найти число молекул в 1 кг газа, средняя квадратичная скорость которых при абсолютной температуре $T$ равна $v = \sqrt{\overline{v^2}}$.

Дано:

Масса газа, $m = 1$ кг
Абсолютная температура, $T$
Средняя квадратичная скорость молекул, $v$

Найти:

Число молекул, $N$

Решение:

Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа определяется его абсолютной температурой $T$:

$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT $

где $k$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К).

С другой стороны, средняя кинетическая энергия по определению связана с массой одной молекулы $m_0$ и средним квадратом скорости $\langle v^2 \rangle$:

$ \langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} $

По условию задачи, средняя квадратичная скорость равна $v$, т.е. $v = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, следовательно, $\langle v^2 \rangle = v^2$. Тогда выражение для энергии принимает вид:

$ \langle E_k \rangle = \frac{m_0 v^2}{2} $

Приравняем правые части двух выражений для средней кинетической энергии:

$ \frac{m_0 v^2}{2} = \frac{3}{2}kT $

Из этого равенства выразим массу одной молекулы $m_0$. Для этого сначала умножим обе части на 2:

$ m_0 v^2 = 3kT $

Теперь разделим обе части на $v^2$:

$ m_0 = \frac{3kT}{v^2} $

Общее число молекул $N$ в газе массой $m$ можно найти как отношение общей массы газа к массе одной молекулы:

$ N = \frac{m}{m_0} $

Подставим в эту формулу найденное выражение для $m_0$:

$ N = \frac{m}{\frac{3kT}{v^2}} = \frac{m v^2}{3kT} $

По условию задачи масса газа $m = 1$ кг. Подставим это значение в итоговую формулу:

$ N = \frac{1 \cdot v^2}{3kT} = \frac{v^2}{3kT} $

Ответ: число молекул в 1 кг данного газа равно $N = \frac{v^2}{3kT}$.

489². Найти, во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки массой $1.75 \cdot 10^{-12}$ кг, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости движения молекул воздуха.

Дано:

Масса пылинки: $m_п = 1.75 \cdot 10^{-12}$ кг
Средняя молярная масса воздуха (справочное значение): $M_в = 29 \text{ г/моль} = 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Постоянная Авогадро (справочное значение): $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Найти:

Отношение средних квадратичных скоростей $\frac{v_в}{v_п}$

Решение:

Пылинка, взвешенная в воздухе, участвует в броуновском движении и находится в состоянии теплового равновесия с молекулами воздуха. Согласно закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы, средняя кинетическая энергия поступательного движения пылинки равна средней кинетической энергии поступательного движения молекулы воздуха.

Средняя кинетическая энергия частицы связана с ее массой $m$ и средней квадратичной скоростью $v_{кв}$ соотношением: $ \bar{E} = \frac{m v_{кв}^2}{2} $

Пусть $m_п$ и $v_п$ — масса и средняя квадратичная скорость пылинки, а $m_в$ и $v_в$ — масса и средняя квадратичная скорость молекулы воздуха. Условие теплового равновесия записывается как: $ \bar{E}_п = \bar{E}_в $ $ \frac{m_п v_п^2}{2} = \frac{m_в v_в^2}{2} $

Упростив выражение, получаем: $ m_п v_п^2 = m_в v_в^2 $

Вопрос задачи "во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки меньше средней квадратичной скорости движения молекул воздуха" означает, что нам нужно найти отношение $\frac{v_в}{v_п}$. Выразим это отношение из предыдущего равенства: $ \frac{v_в^2}{v_п^2} = \frac{m_п}{m_в} \implies \frac{v_в}{v_п} = \sqrt{\frac{m_п}{m_в}} $

Для расчета нам необходима масса одной молекулы воздуха. Мы можем найти ее, используя молярную массу воздуха $M_в$ и постоянную Авогадро $N_A$: $ m_в = \frac{M_в}{N_A} $ $ m_в = \frac{29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 4.816 \cdot 10^{-26} \text{ кг} $

Теперь подставим числовые значения в формулу для отношения скоростей: $ \frac{v_в}{v_п} = \sqrt{\frac{1.75 \cdot 10^{-12} \text{ кг}}{4.816 \cdot 10^{-26} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1.75}{4.816} \cdot 10^{14}} \approx \sqrt{0.3634 \cdot 10^{14}} $ $ \frac{v_в}{v_п} \approx \sqrt{36.34 \cdot 10^{12}} = \sqrt{36.34} \cdot \sqrt{10^{12}} \approx 6.03 \cdot 10^6 $

Таким образом, средняя квадратичная скорость пылинки примерно в $6.03$ миллиона раз меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха.

Ответ: средняя квадратичная скорость пылинки меньше средней квадратичной скорости движения молекул воздуха в $6.03 \cdot 10^6$ раз.

490. Плотность кислорода при давлении 124 кПа 1,6 кг/м³. Найти число молекул в единице объёма (концентрацию), среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул, среднюю квадратичную скорость молекул и температуру кислорода.

Дано:

Газ - кислород ($O_2$)
Давление $P = 124 \text{ кПа} = 124 \cdot 10^3 \text{ Па}$
Плотность $\rho = 1.6 \text{ кг/м}^3$

Справочные данные:
Молярная масса кислорода $M = 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Постоянная Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Постоянная Больцмана $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

$n$ - число молекул в единице объёма (концентрацию)
$E_k$ - среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул
$v_{кв}$ - среднюю квадратичную скорость молекул
$T$ - температуру кислорода

Решение:

число молекул в единице объёма (концентрацию)

Концентрация молекул $n$ связана с плотностью газа $\rho$ и массой одной молекулы $m_0$ соотношением $\rho = n \cdot m_0$. Следовательно, концентрацию можно найти по формуле $n = \frac{\rho}{m_0}$.

Массу одной молекулы кислорода $m_0$ вычислим, разделив молярную массу $M$ на число Авогадро $N_A$:
$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 5.31 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$.

Теперь вычислим концентрацию:
$n = \frac{\rho}{m_0} = \frac{1.6 \text{ кг/м}^3}{5.31 \cdot 10^{-26} \text{ кг}} \approx 3.01 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.

Ответ: $n \approx 3.01 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.

среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление $P$, концентрацию $n$ и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул $E_k$:
$P = \frac{2}{3} n E_k$.

Выразим из этой формулы искомую энергию:
$E_k = \frac{3P}{2n}$.

Подставим известные и ранее вычисленные значения:
$E_k = \frac{3 \cdot 124 \cdot 10^3 \text{ Па}}{2 \cdot 3.01 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}} \approx 6.18 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$.

Ответ: $E_k \approx 6.18 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$.

среднюю квадратичную скорость молекул

Среднюю квадратичную скорость $v_{кв}$ можно найти из связи давления $P$ и плотности $\rho$:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{кв}^2$.

Отсюда выражаем скорость:
$v_{кв} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$.

Подставим данные из условия задачи:
$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 124 \cdot 10^3 \text{ Па}}{1.6 \text{ кг/м}^3}} = \sqrt{232500} \text{ м/с} \approx 482 \text{ м/с}$.

Ответ: $v_{кв} \approx 482 \text{ м/с}$.

температуру кислорода

Температуру $T$ можно найти, зная давление и концентрацию, из уравнения состояния идеального газа $P = nkT$, где $k$ — постоянная Больцмана.
$T = \frac{P}{nk}$.

Подставим значения:
$T = \frac{124 \cdot 10^3 \text{ Па}}{3.01 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}} \approx 299 \text{ К}$.

Также температуру можно было найти через уравнение Менделеева-Клапейрона, выраженное через плотность: $P = \frac{\rho}{M}RT$.
$T = \frac{PM}{\rho R} = \frac{124 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{1.6 \text{ кг/м}^3 \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}} \approx 298 \text{ К}$.
Небольшое расхождение в результатах обусловлено округлением промежуточных вычислений.

Ответ: $T \approx 298 \text{ К}$.

491. Почему в опыте Штерна наблюдалось не только смещение, но и размытие полосок из атомов серебра?

491. Решение

Опыт Штерна, проведенный в 1920 году, был направлен на прямое измерение скоростей атомов и проверку положений молекулярно-кинетической теории, в частности, распределения Максвелла по скоростям. Установка состояла из двух коаксиальных цилиндров, помещенных в вакуум. На оси внутреннего цилиндра располагалась платиновая нить, покрытая серебром, которая при нагревании испаряла атомы серебра. Во внутреннем цилиндре была прорезана узкая щель, формирующая тонкий пучок атомов, летящих к внешнему цилиндру, который служил экраном.

1. Смещение полоски. Когда вся система цилиндров приводилась в быстрое вращение вокруг общей оси, атомам требовалось конечное время, чтобы пролететь расстояние от щели внутреннего цилиндра до поверхности внешнего. За это время внешний цилиндр успевал повернуться на некоторый угол. В результате атомы серебра осаждались не напротив щели (как в неподвижной системе), а в некотором смещенном положении. Величина этого смещения зависела от скорости атомов и скорости вращения установки.

2. Размытие полоски. Причина размытия полоски, а не просто ее смещения как единого целого, заключается в том, что атомы, испаряющиеся с нити, имеют не одну и ту же скорость, а целый спектр скоростей. Это тепловое движение, и скорости атомов подчиняются закону распределения Максвелла.

• Атомы с большой скоростью пролетают расстояние до экрана быстрее. За это малое время полета экран поворачивается на меньший угол, поэтому смещение таких атомов от первоначального положения невелико.
• Атомы с малой скоростью летят дольше. За это большее время полета экран успевает повернуться на больший угол, и их смещение оказывается значительным.

Таким образом, из-за наличия у атомов целого диапазона скоростей, на экране получалась не одна узкая смещенная линия, а широкая, размытая полоса. Каждая точка этой полосы соответствовала атомам с определенной скоростью. Смещение $s$ связано со скоростью атома $v$ соотношением $s = \frac{\omega R L}{v}$, где $\omega$ – угловая скорость вращения, $R$ – радиус внешнего цилиндра, а $L$ – расстояние между цилиндрами. Поскольку существует распределение скоростей $v$, то существует и соответствующее распределение смещений $s$, что и наблюдается как размытая полоса.

Ответ: Смещение полоски в опыте Штерна обусловлено вращением прибора и конечным временем полета атомов. Размытие же этой полоски объясняется тем, что атомы серебра в пучке имеют различные скорости (согласно распределению Максвелла). Более быстрые атомы смещаются меньше, а более медленные — больше, что в совокупности и создает размытую полосу вместо четко очерченной линии.

492. При вращении прибора Штерна с частотой 45 $с^{-1}$ среднее смещение полоски серебра, обусловленное вращением, составляло 1,12 см. Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно равны 1,2 и 16 см. Найти среднюю квадратичную скорость атомов серебра из данных опыта и сравнить её с теоретическим значением, если температура накала платиновой нити равна 1500 К.

Дано:

Частота вращения, $ν = 45 \text{ с}^{-1}$

Смещение полоски серебра, $s = 1,12 \text{ см} = 0,0112 \text{ м}$

Радиус внутреннего цилиндра, $R_1 = 1,2 \text{ см} = 0,012 \text{ м}$

Радиус внешнего цилиндра, $R_2 = 16 \text{ см} = 0,16 \text{ м}$

Температура нити, $T = 1500 \text{ К}$

Молярная масса серебра (Ag), $M = 108 \text{ г/моль} = 0,108 \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная, $R = 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

Среднюю квадратичную скорость из опыта $v_{кв.эксп}$ и теоретическую среднюю квадратичную скорость $v_{кв.теор}$.

Решение:

Найти среднюю квадратичную скорость атомов серебра из данных опыта

В опыте Штерна атомы серебра испаряются с внутреннего цилиндра и летят к внешнему. За время полета атомов $t$ внешний цилиндр поворачивается на некоторый угол, что приводит к смещению полоски серебра на расстояние $s$.

1. Время полета атома со средней скоростью $ ext{<}r ext{>}$ от внутреннего цилиндра к внешнему:

$t = \frac{R_2 - R_1}{ ext{<}r ext{>}}$

2. За это время внешний цилиндр, вращаясь с угловой скоростью $ω$, повернется на угол $φ$. Угловая скорость связана с частотой вращения $ν$ соотношением:

$ω = 2πν$

Угол поворота: $φ = ωt = 2πνt$

3. Смещение $s$ на поверхности внешнего цилиндра радиусом $R_2$ равно длине дуги:

$s = φR_2 = 2πνtR_2$

4. Подставим выражение для времени $t$ в формулу для смещения $s$:

$s = 2πν \frac{R_2 - R_1}{ ext{<}r ext{>}} R_2$

5. Из этой формулы выразим среднюю скорость атомов $ ext{<}r ext{>}$:

$ ext{<}r ext{>} = \frac{2πνR_2(R_2 - R_1)}{s}$

Подставим числовые значения:

$ ext{<}r ext{>} = \frac{2 \cdot 3,14159 \cdot 45 \text{ с}^{-1} \cdot 0,16 \text{ м} \cdot (0,16 \text{ м} - 0,012 \text{ м})}{0,0112 \text{ м}} \approx \frac{6,69 \text{ м}^2/\text{с}}{0,0112 \text{ м}} \approx 597,3 \text{ м/с}$

Полученное значение является средней арифметической скоростью. В задаче требуется найти среднюю квадратичную скорость. Для газов, подчиняющихся распределению Максвелла, эти скорости связаны соотношением:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3π}{8}} \cdot ext{<}r ext{>}$

Вычислим экспериментальное значение средней квадратичной скорости:

$v_{кв.эксп} = \sqrt{\frac{3 \cdot 3,14159}{8}} \cdot 597,3 \text{ м/с} \approx 1,0854 \cdot 597,3 \text{ м/с} \approx 648,3 \text{ м/с}$

Ответ: Средняя квадратичная скорость атомов серебра, найденная из данных опыта, составляет примерно 648 м/с.

Сравнить её с теоретическим значением

1. Теоретическое значение средней квадратичной скорости атомов определяется температурой газа по формуле:

$v_{кв.теор} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура, $M$ – молярная масса газа.

2. Подставим значения и вычислим теоретическую скорость:

$v_{кв.теор} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 1500 \text{ К}}{0,108 \text{ кг/моль}}} = \sqrt{\frac{37395}{0,108}} \text{ м/с} \approx \sqrt{346250} \text{ м/с} \approx 588,4 \text{ м/с}$

3. Сравним экспериментальное и теоретическое значения. Экспериментальное значение $v_{кв.эксп} \approx 648 \text{ м/с}$, теоретическое значение $v_{кв.теор} \approx 588 \text{ м/с}$.

Найдем относительное расхождение:

$δ = \frac{|v_{кв.эксп} - v_{кв.теор}|}{v_{кв.теор}} \cdot 100\% = \frac{|648,3 - 588,4|}{588,4} \cdot 100\% \approx \frac{59,9}{588,4} \cdot 100\% \approx 10,2\%$

Экспериментальное значение превышает теоретическое примерно на 10%. Это расхождение является приемлемым для данного типа эксперимента и может быть вызвано погрешностями измерений и тем, что распределение скоростей испаряющихся атомов может несколько отличаться от идеального распределения Максвелла.

Ответ: Теоретическое значение средней квадратичной скорости составляет 588 м/с. Экспериментальное значение (648 м/с) превышает теоретическое примерно на 10,2%, что является хорошим совпадением для опыта Штерна.