Страница 61 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

430. На рисунке 55 приведены графики зависимости координаты от времени $x(t)$ двух колебательных движений. Сравнить амплитуды, периоды и частоты колебаний.

Рис. 55

Решение

Проанализируем графики колебательных движений 1 и 2, представленные на рисунке 55, для сравнения их характеристик.

Сравнение амплитуд

Амплитуда колебаний ($A$) — это максимальное (по модулю) отклонение тела от положения равновесия. На графике зависимости координаты от времени $x(t)$ амплитуда соответствует максимальному значению координаты $x_{max}$. Сравнивая пиковые значения на графиках, видим, что максимальное отклонение для кривой 1 больше, чем для кривой 2.

Ответ: Амплитуда первого колебания больше амплитуды второго: $A_1 > A_2$.

Сравнение периодов

Период колебаний ($T$) — это время, за которое совершается одно полное колебание. На графике его можно определить как промежуток времени между двумя последовательными максимумами (или минимумами) функции $x(t)$. Из графика видно, что горизонтальное расстояние между соседними пиками для кривой 1 больше, чем для кривой 2. Это означает, что первому телу требуется больше времени для совершения одного полного колебания.

Ответ: Период первого колебания больше периода второго: $T_1 > T_2$.

Сравнение частот

Частота колебаний ($ν$) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота и период связаны обратной зависимостью: $ν = \frac{1}{T}$. Поскольку период первого колебания больше периода второго ($T_1 > T_2$), то для частот будет выполняться обратное соотношение. Тело 2 совершает больше колебаний за тот же промежуток времени, что и тело 1.

Ответ: Частота первого колебания меньше частоты второго: $ν_1 < ν_2$.

431. По графику, приведённому на рисунке 56, найти амплитуду, период и частоту колебаний.

Рис. 56

Дано:

График зависимости смещения от времени $x(t)$ (Рис. 56).

Максимальное смещение по оси ординат (из графика): $x_{max} = 10 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

$x_{max} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

Амплитуду $A - ?$

Период $T - ?$

Частоту $\nu - ?$

Решение:

Амплитуда

Амплитуда колебаний — это максимальное по модулю отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. По графику определяем максимальное значение координаты $x$, которое и является амплитудой.

Из графика видно, что $A = x_{max} = 10 \text{ см}$.

Ответ: амплитуда $A = 10 \text{ см}$.

Период

Период колебаний — это время, за которое совершается одно полное колебание. На графике его можно определить как промежуток времени между двумя последовательными точками, в которых состояние системы повторяется (например, между двумя максимумами). Первый максимум на графике соответствует моменту времени $t_1 = 0 \text{ с}$, а следующий — моменту $t_2 = 0.2 \text{ с}$.

Период $T$ равен разности этих моментов времени:

$T = t_2 - t_1 = 0.2 \text{ с} - 0 \text{ с} = 0.2 \text{ с}$.

Ответ: период $T = 0.2 \text{ с}$.

Частота

Частота колебаний — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Она является величиной, обратной периоду колебаний.

Для нахождения частоты воспользуемся формулой: $\nu = \frac{1}{T}$.

Подставим в формулу значение периода, найденное ранее:

$\nu = \frac{1}{0.2 \text{ с}} = 5 \text{ Гц}$.

Ответ: частота $\nu = 5 \text{ Гц}$.

432. Колебания каких из приведённых ниже тел будут свободными:

а) поршень в цилиндре двигателя;

б) игла швейной машины;

в) ветка дерева после того, как с неё слетела птица;

г) струна музыкального инструмента;

д) конец стрелки компаса;

е) мембрана телефона при разговоре;

ж) чаши рычажных весов?

Для определения типа колебаний необходимо проанализировать, происходят ли они под действием внутренних сил системы после первоначального толчка (свободные колебания) или под действием постоянной внешней периодической силы (вынужденные колебания).

а) поршень в цилиндре двигателя
Движение поршня в цилиндре двигателя происходит под действием периодически повторяющейся силы, возникающей от сгорания топлива и передаваемой через кривошипно-шатунный механизм. Это пример вынужденных колебаний, так как они поддерживаются внешней силой.

Ответ: вынужденные колебания.

б) игла швейной машины
Колебания иглы швейной машины вызываются и поддерживаются работой электродвигателя. Следовательно, это вынужденные колебания, так как существует внешняя периодическая сила.

Ответ: вынужденные колебания.

в) ветка дерева после того, как с нее слетела птица
Птица, улетая, выводит ветку из положения равновесия. После этого ветка колеблется самостоятельно под действием силы упругости и силы тяжести, то есть внутренних сил. Внешняя сила больше не действует. Это свободные (затухающие) колебания.

Ответ: свободные колебания.

г) струна музыкального инструмента
После того как музыкант воздействовал на струну (щипком, ударом), она продолжает колебаться сама по себе за счет внутренних сил упругости. Эти колебания являются свободными и определяют высоту звука инструмента.

Ответ: свободные колебания.

д) конец стрелки компаса
Если стрелку компаса вывести из положения равновесия, она будет совершать колебания вокруг направления на северный магнитный полюс под действием силы со стороны магнитного поля Земли. Это свободные затухающие колебания.

Ответ: свободные колебания.

е) мембрана телефона при разговоре
Мембрана в микрофоне телефона колеблется под действием звуковых волн голоса. Звуковая волна является внешней периодически действующей силой, поэтому колебания мембраны являются вынужденными.

Ответ: вынужденные колебания.

ж) чаши рычажных весов
Если вывести чаши весов из положения равновесия (например, слегка толкнув одну из них) и отпустить, они будут совершать колебания под действием силы тяжести, стремясь вернуться в положение равновесия. Это свободные (затухающие) колебания.

Ответ: свободные колебания.

433. Чтобы отвести качели с сидящим на них человеком на большой угол, необходимо приложить значительную силу. Почему же раскачать качели до такого же угла отклонения можно с помощью значительно меньшего усилия?

Это явление объясняется принципиальной разницей между статическим приложением силы и динамическим процессом раскачивания, который основан на явлении механического резонанса.

1. Статическое отклонение. Чтобы отвести качели с человеком на некоторый угол $\alpha$ и удержать их в этом положении, необходимо приложить силу, которая будет уравновешивать проекцию силы тяжести, стремящуюся вернуть систему в положение равновесия. Величина этой возвращающей силы зависит от угла отклонения. Горизонтальная сила $F$, необходимая для удержания качелей, определяется формулой $F = mg \tan{\alpha}$, где $m$ — общая масса качелей и человека, а $g$ — ускорение свободного падения. Чем больше угол $\alpha$, тем больше значение $\tan{\alpha}$ и, соответственно, тем большую силу нужно приложить, чтобы удержать качели. Для большого угла эта сила будет значительной.

2. Раскачивание (динамический процесс). Качели, по своей сути, являются физическим маятником. У любого маятника есть своя собственная (или резонансная) частота колебаний, которая зависит от его параметров (в основном, от длины подвеса). Если прикладывать к качелям внешнюю силу периодически, с частотой, равной их собственной частоте, возникает явление резонанса.

При резонансе даже небольшие по величине толчки, приложенные в нужный момент времени (в такт с движением качелей), будут передавать системе энергию. Эта энергия накапливается в колебательной системе, так как каждый следующий толчок добавляет энергии к той, что уже есть. В результате этого постепенного накопления энергии амплитуда колебаний (максимальный угол отклонения) будет расти с каждым циклом. Таким образом, многократно прикладывая небольшое усилие, можно раскачать качели до очень большой амплитуды, достигнув того же угла отклонения, для удержания на котором потребовалась бы значительная статическая сила.

Ответ: Чтобы отвести качели на большой угол одним движением, нужно приложить большую силу, чтобы сразу преодолеть значительную возвращающую силу тяжести. При раскачивании же используется явление резонанса: небольшие, но периодические толчки, частота которых совпадает с собственной частотой колебаний качелей, позволяют постепенно накапливать энергию в системе и достигать большой амплитуды колебаний при значительно меньших усилиях.

434. Чтобы помочь шоферу вытащить автомобиль, застрявший в грязи, несколько человек раскачивают автомобиль, причём толчки, как правило, производятся по команде. Важно ли, через какие промежутки времени подавать команду?

Да, очень важно, через какие промежутки времени подавать команду. Автомобиль, застрявший в грязи, можно рассматривать как колебательную систему, которая, подобно маятнику, имеет свою собственную частоту (и период) колебаний. Это та частота, с которой автомобиль будет качаться взад-вперед, если его один раз толкнуть и предоставить самому себе.

Когда люди толкают автомобиль по команде, они прикладывают периодическую внешнюю силу. Чтобы раскачать автомобиль наиболее эффективно, то есть добиться максимальной амплитуды его колебаний, необходимо, чтобы частота приложения толчков совпала с собственной частотой колебаний автомобиля. Это явление в физике называется резонансом.

При наступлении резонанса энергия, передаваемая автомобилю каждым толчком, складывается, что приводит к резкому увеличению амплитуды его движения. Если же толкать автомобиль в случайные моменты времени, то некоторые толчки будут приходиться на тот момент, когда автомобиль движется навстречу, и будут гасить колебания, а не усиливать их. Поэтому для достижения наилучшего результата толчки должны быть синхронизированы с собственным движением автомобиля.

Таким образом, команду нужно подавать через равные промежутки времени, равные периоду собственных колебаний автомобиля $T_0$. Опытным путем люди находят этот период, интуитивно подстраивая свои усилия под ритм качающегося автомобиля.

Ответ: Да, важно. Команду следует подавать через промежутки времени, равные собственному периоду колебаний автомобиля, чтобы вызвать явление резонанса и максимально увеличить амплитуду его раскачивания.

435. Спортсмен раскачивается при прыжках на батуте со строго определённой частотой. От чего зависит эта частота?

Спортсмен, прыгающий на батуте, представляет собой колебательную систему «тело + упругая опора». Чтобы достичь максимальной высоты прыжка, спортсмен должен совершать толчки в такт с собственными колебаниями этой системы. Этот процесс называется раскачиванием, а явление резкого увеличения амплитуды колебаний при совпадении частоты внешней (вынуждающей) силы с собственной частотой системы называется резонансом. Таким образом, «строго определённая частота» — это и есть собственная (резонансная) частота колебаний системы «спортсмен-батут».

Собственную частоту колебаний для такой системы, которую можно смоделировать как массу ($m$) на пружине (с жесткостью $k$), можно определить по формуле:

$ \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $

где $ \nu $ — собственная частота колебаний, $ k $ — жесткость батута, а $ m $ — масса спортсмена.

Из анализа этой формулы следует, что частота, с которой раскачивается спортсмен, зависит от двух основных параметров:

1. Массы спортсмена ($m$). Согласно формуле, частота обратно пропорциональна квадратному корню из массы. Это означает, что чем больше масса спортсмена, тем ниже будет собственная частота колебаний (и больше период). Легкий спортсмен будет раскачиваться с большей частотой, чем тяжелый, на одном и том же батуте.

2. Жесткости батута ($k$). Жесткость характеризует упругие свойства батута. Частота прямо пропорциональна квадратному корню из жесткости. Следовательно, на более жестком, туго натянутом батуте частота колебаний будет выше, чем на более мягком и податливом.

Таким образом, спортсмен интуитивно подбирает частоту своих толчков, чтобы она совпала с этой уникальной для его массы и конкретного батута собственной частотой, входя в резонанс и максимально увеличивая амплитуду своих прыжков.

Ответ: Эта частота зависит от массы спортсмена и от упругих свойств (жесткости) батута.

436. На некоторых участках дороги встречаются расположенные на приблизительно одинаковых расстояниях выбоины (это обычно отмечается соответствующим дорожным знаком). Водитель вёл автомобиль по такому участку один раз порожним, а другой раз нагруженным. Сравнить скорости движения машины, при которых наступит резонансное раскачивание на рессорах.

Резонансное раскачивание автомобиля на рессорах (пружинах подвески) возникает, когда частота внешнего периодического воздействия совпадает с собственной частотой колебаний подвески автомобиля. В данном случае внешним воздействием являются удары колес о выбоины, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга.

Дано:
$L$ – расстояние между выбоинами (постоянное)
$k$ – жесткость рессор автомобиля (постоянная)
$m_1$ – масса порожнего автомобиля
$m_2$ – масса нагруженного автомобиля
$v_1$ – резонансная скорость порожнего автомобиля
$v_2$ – резонансная скорость нагруженного автомобиля
По условию, масса нагруженного автомобиля больше массы порожнего: $m_2 > m_1$.

Найти:
Сравнить скорости $v_1$ и $v_2$.

Решение:
Систему "кузов автомобиля — рессоры" можно рассматривать как пружинный маятник. Период собственных колебаний такого маятника определяется формулой: $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ где $m$ — масса колеблющегося тела (автомобиля), а $k$ — жесткость пружины (рессор).

Внешнее воздействие (удары о выбоины) является периодическим. Период этого воздействия $T_{вын}$ зависит от скорости автомобиля $v$ и расстояния между выбоинами $L$: $T_{вын} = \frac{L}{v}$

Явление резонанса наступает, когда период внешнего воздействия совпадает с периодом собственных колебаний системы: $T_{вын} = T_0$ Подставим выражения для периодов: $\frac{L}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Выразим из этого равенства скорость $v$, при которой наступает резонанс: $v = \frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}} = \frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Теперь применим эту формулу для двух случаев:

1. Для порожнего автомобиля с массой $m_1$ резонансная скорость равна: $v_1 = \frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}$

2. Для нагруженного автомобиля с массой $m_2$ резонансная скорость равна: $v_2 = \frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}$

Для сравнения скоростей $v_1$ и $v_2$ рассмотрим их отношение: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}}{\frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}} = \frac{\sqrt{1/m_1}}{\sqrt{1/m_2}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Так как масса нагруженного автомобиля больше массы порожнего ($m_2 > m_1$), то их отношение $\frac{m_2}{m_1} > 1$. Следовательно, и корень из этого отношения будет больше единицы: $\sqrt{\frac{m_2}{m_1}} > 1$.

Из этого следует, что $\frac{v_1}{v_2} > 1$, а значит $v_1 > v_2$.

Таким образом, резонансная скорость для нагруженного автомобиля меньше, чем для порожнего. При увеличении массы автомобиля период его собственных колебаний на рессорах увеличивается, а собственная частота уменьшается. Для достижения резонанса (совпадения частот) частота внешних толчков также должна уменьшиться, что при постоянном расстоянии между выбоинами достигается за счет снижения скорости движения.

Ответ: Резонансное раскачивание наступит при меньшей скорости для нагруженного автомобиля, чем для порожнего.