Страница 57 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

393. Сила тяги сверхзвукового самолёта при скорости полёта 2340 км/ч равна 220 кН. Найти мощность двигателей самолёта в этом режиме полёта.

Дано:

Найти:

Мощность двигателей $N$.

Решение:

Мощность, развиваемая двигателями самолёта, определяется по формуле, связывающей мощность, силу и скорость. При движении с постоянной скоростью сила тяги направлена в сторону движения, поэтому мощность можно рассчитать как произведение модуля силы тяги на модуль скорости.

Формула для расчёта мощности:

$N = F \cdot v$

Подставим значения величин, переведённые в систему СИ, в формулу:

$N = 220000 \text{ Н} \cdot 650 \text{ м/с} = 143000000 \text{ Вт}$

Полученное значение мощности удобно выразить в мегаваттах (МВт). Учитывая, что $1 \text{ МВт} = 1000000 \text{ Вт} = 10^6 \text{ Вт}$, получаем:

$N = \frac{143000000}{10^6} \text{ МВт} = 143 \text{ МВт}$

Ответ: мощность двигателей самолёта в этом режиме полёта равна $143 \text{ МВт}$.

394. При скорости полёта $900 \text{ км/ч}$ все четыре двигателя самолёта Ил-62 развивают мощность $30 \text{ МВт}$. Найти силу тяги одного двигателя в этом режиме работы.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Мощность, развиваемая двигателем, связана со скоростью и силой тяги формулой:

$P = F \cdot v$

В данном случае нам известна общая мощность $P_{общ}$, развиваемая всеми четырьмя двигателями. Эта мощность создает общую силу тяги $F_{общ}$.

$P_{общ} = F_{общ} \cdot v$

Из этой формулы мы можем выразить общую силу тяги всех двигателей:

$F_{общ} = \frac{P_{общ}}{v}$

Подставим числовые значения:

$F_{общ} = \frac{30 \cdot 10^6 \text{ Вт}}{250 \text{ м/с}} = 120000$ Н

Так как двигателей четыре и они работают в одном режиме, можно предположить, что их тяга одинакова. Тогда общая сила тяги равна силе тяги одного двигателя $F_1$, умноженной на количество двигателей $n$:

$F_{общ} = n \cdot F_1$

Отсюда находим силу тяги одного двигателя:

$F_1 = \frac{F_{общ}}{n}$

Подставим значения:

$F_1 = \frac{120000 \text{ Н}}{4} = 30000$ Н

Это значение удобно выразить в килоньютонах (кН), зная, что 1 кН = 1000 Н.

$F_1 = 30$ кН

Ответ: сила тяги одного двигателя равна 30000 Н или 30 кН.

395. Камень шлифовального станка имеет на рабочей поверхности скорость 30 м/с. Обрабатываемая деталь прижимается к камню с силой 100 Н, коэффициент трения 0,2. Какова механическая мощность двигателя станка? Потери в механизме привода не учитывать.

Дано:

Скорость рабочей поверхности камня, $v = 30$ м/с

Сила прижатия детали (сила нормальной реакции), $F_N = 100$ Н

Коэффициент трения, $\mu = 0,2$

Найти:

Механическую мощность двигателя станка, $P$

Решение:

Механическая мощность $P$ определяется как произведение силы $F$, действующей на тело, на скорость $v$ этого тела, если направления силы и скорости совпадают. Формула для мощности выглядит следующим образом:

$P = F \cdot v$

В задаче двигатель станка должен обеспечивать вращение шлифовального камня, преодолевая силу трения, которая возникает при контакте камня с обрабатываемой деталью. Так как по условию потери в механизме привода не учитываются, вся мощность двигателя расходуется на совершение работы против силы трения.

Сила, которую должен преодолевать двигатель, равна силе трения скольжения $F_{тр}$. Сила трения вычисляется по формуле:

$F_{тр} = \mu \cdot F_N$

Здесь $\mu$ — это коэффициент трения, а $F_N$ — это сила нормальной реакции опоры. По третьему закону Ньютона, сила нормальной реакции опоры равна по модулю силе, с которой деталь прижимается к камню, то есть $F_N = 100$ Н.

Вычислим силу трения:

$F_{тр} = 0,2 \cdot 100 \text{ Н} = 20 \text{ Н}$

Теперь, зная силу трения и скорость движения рабочей поверхности камня, мы можем найти механическую мощность двигателя:

$P = F_{тр} \cdot v$

Подставим числовые значения в формулу:

$P = 20 \text{ Н} \cdot 30 \text{ м/с} = 600 \text{ Вт}$

Таким образом, механическая мощность двигателя станка составляет 600 Вт.

Ответ: 600 Вт.

396. Поезд массой 1500 т движется на подъём, равный 0,004, со скоростью 16 м/с при коэффициенте сопротивления 0,006. Какова полезная мощность локомотива?

Дано:

масса поезда $m = 1500 \text{ т} = 1500 \cdot 10^3 \text{ кг} = 1.5 \cdot 10^6 \text{ кг}$
скорость поезда $v = 16 \text{ м/с}$
подъём (уклон) $i = 0.004$
коэффициент сопротивления $k = 0.006$
ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

полезную мощность локомотива $P_{полезная}$

Решение:

Поскольку поезд движется с постоянной скоростью, его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, это означает, что сумма всех сил, действующих на поезд в направлении движения, равна нулю. Сила тяги локомотива $F_{тяги}$ уравновешивает сумму сил, препятствующих движению: силу сопротивления $F_{сопр}$ и скатывающую силу $F_{скат}$ (составляющая силы тяжести, направленная вдоль уклона вниз).

$F_{тяги} = F_{сопр} + F_{скат}$

Сила сопротивления движению пропорциональна силе тяжести и определяется коэффициентом сопротивления $k$. Для малых углов подъема можно считать, что сила нормальной реакции равна силе тяжести. $F_{сопр} = k \cdot m \cdot g$

Подъём $i$ для малых углов равен синусу угла наклона $\alpha$. Скатывающая сила — это проекция силы тяжести на направление движения: $F_{скат} = m \cdot g \cdot \sin \alpha = m \cdot g \cdot i$

Таким образом, общая сила тяги локомотива равна: $F_{тяги} = k \cdot m \cdot g + m \cdot g \cdot i = m \cdot g \cdot (k + i)$

Полезная мощность локомотива — это мощность, развиваемая силой тяги при движении с заданной скоростью $v$. Она вычисляется по формуле: $P_{полезная} = F_{тяги} \cdot v$

Подставим выражение для силы тяги в формулу мощности: $P_{полезная} = m \cdot g \cdot (k + i) \cdot v$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ: $P_{полезная} = (1.5 \cdot 10^6 \text{ кг}) \cdot (9.8 \text{ м/с}^2) \cdot (0.006 + 0.004) \cdot (16 \text{ м/с})$

$P_{полезная} = 1.5 \cdot 10^6 \cdot 9.8 \cdot 0.01 \cdot 16$

$P_{полезная} = 147000 \cdot 16 = 2352000 \text{ Вт}$

Переведем результат в более удобные единицы: киловатты (кВт) или мегаватты (МВт). $2352000 \text{ Вт} = 2352 \text{ кВт} = 2.352 \text{ МВт}$

Ответ: полезная мощность локомотива составляет $2352000 \text{ Вт}$, или $2352 \text{ кВт}$.

397. Трактор типа Т-150 имеет тяговую мощность (мощность на крюке) 72 кВт. С какой скоростью может тянуть этот трактор прицеп массой 5 т на подъём 0,2 при коэффициенте сопротивления 0,4?

Дано:

Тяговая мощность, $P = 72 \text{ кВт}$
Масса прицепа, $m = 5 \text{ т}$
Подъём (уклон), $i = \sin\alpha = 0,2$
Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,4$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$P = 72 \cdot 1000 = 72000 \text{ Вт}$
$m = 5 \cdot 1000 = 5000 \text{ кг}$

Найти:

Скорость, $v - ?$

Решение:

Для того чтобы трактор тянул прицеп с постоянной скоростью, его сила тяги $F_т$ должна уравновешивать все силы сопротивления. Силы сопротивления в данном случае состоят из двух компонентов: составляющей силы тяжести, направленной вдоль уклона вниз ($F_{g\parallel}$), и силы сопротивления движению ($F_{сопр}$).

$F_т = F_{g\parallel} + F_{сопр}$

Составляющая силы тяжести, параллельная поверхности подъёма, определяется как: $F_{g\parallel} = mg \sin\alpha$

Сила сопротивления движению (в данном случае, сила трения качения) пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$: $F_{сопр} = \mu N$

На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры равна составляющей силы тяжести, перпендикулярной этой плоскости: $N = mg \cos\alpha$

Следовательно, сила сопротивления равна: $F_{сопр} = \mu mg \cos\alpha$

Суммарная сила, которую должен преодолеть трактор, равна: $F_т = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

Мощность $P$ связана с силой тяги $F_т$ и скоростью движения $v$ соотношением: $P = F_т \cdot v$

Отсюда можем выразить скорость: $v = \frac{P}{F_т} = \frac{P}{mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}$

Нам дан синус угла наклона $\sin\alpha = 0,2$. Найдем косинус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0,2^2} = \sqrt{1 - 0,04} = \sqrt{0,96} \approx 0,98$

Теперь подставим все известные значения в формулу для скорости: $v = \frac{72000}{5000 \cdot 9,8 \cdot (0,2 + 0,4 \cdot \sqrt{0,96})} \approx \frac{72000}{49000 \cdot (0,2 + 0,4 \cdot 0,98)}$

$v \approx \frac{72000}{49000 \cdot (0,2 + 0,392)} = \frac{72000}{49000 \cdot 0,592} = \frac{72000}{29008} \approx 2,48 \text{ м/с}$

Округляя до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $v \approx 2,5 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость, с которой трактор может тянуть прицеп, составляет примерно 2,5 м/с.

398. Найти среднюю полезную мощность при разбеге самолёта, предназначенного для работ в сельском и лесном хозяйстве. Масса самолёта 1 т, длина разбега 300 м, взлётная скорость 30 м/с, коэффициент сопротивления 0,03.

Дано:

Масса самолёта, $m = 1 \text{ т}$

Длина разбега, $S = 300 \text{ м}$

Взлётная скорость, $v = 30 \text{ м/с}$

Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,03$

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Найти:

Среднюю полезную мощность, $P_{ср}$

Решение:

Полезная работа, совершаемая двигателями самолёта при разбеге ($A_{пол}$), идет на увеличение его кинетической энергии ($\Delta E_к$) и на преодоление силы сопротивления ($A_{сопр}$). Согласно теореме об изменении кинетической энергии:

$A_{пол} = \Delta E_к + A_{сопр}$

Изменение кинетической энергии самолёта, который начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), равно его конечной кинетической энергии:

$\Delta E_к = \frac{mv^2}{2}$

Работа против силы сопротивления (трения) вычисляется по формуле:

$A_{сопр} = F_{сопр} \cdot S$

Сила сопротивления пропорциональна силе тяжести ($F_{тяж} = mg$), так как самолёт движется по горизонтальной поверхности. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

$F_{сопр} = \mu \cdot F_{тяж} = \mu mg$

Следовательно, работа против силы сопротивления равна:

$A_{сопр} = \mu mgS$

Таким образом, полная полезная работа, совершённая двигателями, составляет:

$A_{пол} = \frac{mv^2}{2} + \mu mgS$

Подставим числовые значения для расчёта работы:

$A_{пол} = \frac{1000 \text{ кг} \cdot (30 \text{ м/с})^2}{2} + 0,03 \cdot 1000 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 300 \text{ м}$

$A_{пол} = \frac{1000 \cdot 900}{2} + 88200 = 450000 \text{ Дж} + 88200 \text{ Дж} = 538200 \text{ Дж}$

Средняя мощность определяется как отношение совершённой работы ко времени, за которое эта работа была совершена:

$P_{ср} = \frac{A_{пол}}{t}$

Для нахождения времени разбега $t$ будем считать движение равноускоренным. В этом случае, пройденный путь связан со временем и скоростями (начальной $v_0 = 0$ и конечной $v$) следующим образом:

$S = \frac{v_0 + v}{2} t = \frac{vt}{2}$

Отсюда выразим и найдём время:

$t = \frac{2S}{v} = \frac{2 \cdot 300 \text{ м}}{30 \text{ м/с}} = 20 \text{ с}$

Теперь можно вычислить среднюю полезную мощность:

$P_{ср} = \frac{538200 \text{ Дж}}{20 \text{ с}} = 26910 \text{ Вт}$

Для удобства можно перевести результат в киловатты:

$P_{ср} = 26,91 \text{ кВт}$

Ответ: средняя полезная мощность при разбеге самолёта составляет $26910 \text{ Вт}$ (или $26,91 \text{ кВт}$).

399* Троллейбус массой 12 т подходит к подъёму высотой 12 м и длиной 180 м со скоростью 10 м/с. Найти среднюю мощность при подъёме, если конечная скорость троллейбуса равна 5 м/с, а коэффициент сопротивления 0,03.

Дано:

$m = 12 \text{ т} = 12000 \text{ кг}$
$h = 12 \text{ м}$
$L = 180 \text{ м}$
$v_1 = 10 \text{ м/с}$
$v_2 = 5 \text{ м/с}$
$\mu = 0,03$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$P_{ср} - ?$

Решение:

Среднюю мощность двигателя троллейбуса $P_{ср}$ можно найти как отношение работы $A_{тяги}$, совершённой силой тяги двигателя, ко времени $t$, за которое эта работа была совершена:

$P_{ср} = \frac{A_{тяги}}{t}$

Для нахождения работы силы тяги воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе внешних непотенциальных сил. В нашем случае, работа силы тяги идет на изменение кинетической энергии, изменение потенциальной энергии и на преодоление силы сопротивления.

$A_{тяги} = \Delta E_k + \Delta E_p + A_{сопр}^{преод}$

Или, в другой форме, полная работа всех сил (силы тяги, силы тяжести и силы сопротивления) равна изменению кинетической энергии:

$\Delta E_k = A_{тяги} + A_{тяж} + A_{сопр}$

Отсюда работа силы тяги:

$A_{тяги} = \Delta E_k - A_{тяж} - A_{сопр}$

1. Найдем изменение кинетической энергии $\Delta E_k$:
$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}$
$\Delta E_k = \frac{12000 \text{ кг} \cdot ((5 \text{ м/с})^2 - (10 \text{ м/с})^2)}{2} = 6000 \cdot (25 - 100) = 6000 \cdot (-75) = -450000 \text{ Дж}$

2. Работа силы тяжести $A_{тяж}$ равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:
$A_{тяж} = -\Delta E_p = -mgh$
$A_{тяж} = -12000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 12 \text{ м} = -1411200 \text{ Дж}$

3. Работа силы сопротивления $A_{сопр}$ отрицательна и равна $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot L$. Сила сопротивления (трения качения) $F_{сопр}$ пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$: $F_{сопр} = \mu N$.
На наклонной плоскости $N = mg \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона.
Синус угла наклона: $\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{12 \text{ м}}{180 \text{ м}} = \frac{1}{15}$.
Косинус угла наклона: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{15})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{225}} = \sqrt{\frac{224}{225}} = \frac{\sqrt{224}}{15}$.
Тогда работа силы сопротивления:
$A_{сопр} = -\mu mgL \cos\alpha = -0,03 \cdot 12000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 180 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{224}}{15}$
$A_{сопр} = -635040 \cdot \frac{\sqrt{224}}{15} \approx -635040 \cdot 0,99777 \approx -633600 \text{ Дж}$

4. Теперь можем найти работу силы тяги:
$A_{тяги} = -450000 \text{ Дж} - (-1411200 \text{ Дж}) - (-633600 \text{ Дж})$
$A_{тяги} = -450000 + 1411200 + 633600 = 1594800 \text{ Дж}$

5. Найдем время движения $t$. Будем считать движение равноускоренным. Тогда путь можно выразить через среднюю скорость:
$L = v_{ср} \cdot t = \frac{v_1 + v_2}{2} \cdot t$
Отсюда время движения:
$t = \frac{2L}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 180 \text{ м}}{10 \text{ м/с} + 5 \text{ м/с}} = \frac{360}{15} = 24 \text{ с}$

6. Наконец, рассчитаем среднюю мощность:
$P_{ср} = \frac{A_{тяги}}{t} = \frac{1594800 \text{ Дж}}{24 \text{ с}} = 66450 \text{ Вт}$
Переведем в киловатты: $66450 \text{ Вт} = 66,45 \text{ кВт}$.

Ответ: средняя мощность при подъёме равна $66450 \text{ Вт}$ или $66,45 \text{ кВт}$.

400. Какую наименьшую работу надо совершить, чтобы по плоскости с углом наклона $30^\circ$ на высоту 2 м втащить груз, прикладывая силу, совпадающую по направлению с перемещением? Масса груза 400 кг, коэффициент трения 0,3. Каков при этом КПД?

Дано:

Найти:

Решение:

Наименьшая работа совершается при равномерном подъеме груза (без ускорения). В этом случае сила тяги $F$, направленная вдоль плоскости, должна уравновесить сумму проекции силы тяжести на эту плоскость $F_{тx}$ и силы трения $F_{тр}$.

Нарисуем диаграмму сил и выберем систему координат: ось OX направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY – перпендикулярно ей.

Согласно второму закону Ньютона, в проекции на ось OY сумма сил равна нулю: $N - mg \cos\alpha = 0$. Отсюда находим силу нормальной реакции:

$N = mg \cos\alpha$

Сила трения скольжения равна: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

В проекции на ось OX сумма сил также равна нулю: $F - F_{тx} - F_{тр} = 0$, где $F_{тx} = mg \sin\alpha$. Отсюда выражаем силу тяги:

$F = mg \sin\alpha + F_{тр} = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$.

Работа, совершаемая силой тяги, вычисляется по формуле $A_{полн} = F \cdot s$, где $s$ — это расстояние, пройденное грузом вдоль наклонной плоскости. Из геометрии наклонной плоскости имеем: $s = \frac{h}{\sin\alpha}$.

Подставив выражения для $F$ и $s$, получим формулу для полной (затраченной) работы:

$A_{полн} = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha) \frac{h}{\sin\alpha} = mgh \left(1 + \frac{\mu \cos\alpha}{\sin\alpha}\right) = mgh(1 + \mu \cot\alpha)$.

Выполним вычисления, используя значения $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$:

$A_{полн} = 400 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ м} \cdot (1 + 0,3 \cdot \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)}) = 7840 \cdot (1 + 0,3 \cdot \frac{0,866}{0,5}) = 7840 \cdot (1 + 0,5196) \approx 11914$ Дж.

Таким образом, наименьшая работа составляет приблизительно $11,9$ кДж.

Коэффициент полезного действия (КПД) — это отношение полезной работы к полной работе: $\eta = \frac{A_{полез}}{A_{полн}}$.

Полезная работа $A_{полез}$ — это работа, затраченная на преодоление силы тяжести, то есть на увеличение потенциальной энергии груза: $A_{полез} = mgh$.

$A_{полез} = 400 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ м} = 7840$ Дж.

Теперь можно рассчитать КПД:

$\eta = \frac{A_{полез}}{A_{полн}} = \frac{7840 \text{ Дж}}{11914 \text{ Дж}} \approx 0,658$.

Можно также использовать выведенную ранее формулу:

$\eta = \frac{mgh}{mgh(1 + \mu \cot\alpha)} = \frac{1}{1 + \mu \cot\alpha} = \frac{1}{1 + 0,3 \cdot \cot(30^\circ)} \approx \frac{1}{1 + 0,3 \cdot 1,732} = \frac{1}{1,5196} \approx 0,658$.

Выразим КПД в процентах: $\eta \approx 65,8\% \approx 66\%$.

Ответ: наименьшая работа, которую надо совершить, составляет $A_{полн} \approx 11,9$ кДж; КПД при этом равен $\eta \approx 66\%$.

401. Найти КПД наклонной плоскости длиной 1 м и высотой 0,6 м, если коэффициент трения при движении по ней тела равен 0,1.

Дано:

Длина наклонной плоскости, $l = 1$ м
Высота наклонной плоскости, $h = 0,6$ м
Коэффициент трения, $μ = 0,1$

Найти:

КПД наклонной плоскости, $η$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы $A_{полезная}$ к полной (затраченной) работе $A_{затраченная}$.

$η = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}}$

Полезная работа при подъеме тела по наклонной плоскости заключается в увеличении его потенциальной энергии и равна работе против силы тяжести на высоте $h$:

$A_{полезная} = mgh$, где $m$ - масса тела, $g$ - ускорение свободного падения.

Затраченная работа состоит из полезной работы и работы по преодолению силы трения $A_{трения}$ на всей длине наклонной плоскости $l$:

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения}$

Работа против силы трения вычисляется по формуле:

$A_{трения} = F_{трения} \cdot l$

Сила трения $F_{трения}$ пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$ и коэффициенту трения $μ$:

$F_{трения} = μN$

На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры уравновешивает перпендикулярную к плоскости составляющую силы тяжести:

$N = mg \cos(α)$, где $α$ - угол наклона плоскости к горизонту.

Таким образом, работа против силы трения:

$A_{трения} = μmg \cos(α) \cdot l$

Теперь выразим косинус угла $α$ через длину $l$ и высоту $h$ наклонной плоскости. Длина, высота и горизонтальная проекция (основание) наклонной плоскости образуют прямоугольный треугольник. Пусть основание равно $b$. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + b^2$, откуда $b = \sqrt{l^2 - h^2}$.

Косинус угла наклона равен отношению прилежащего катета $b$ к гипотенузе $l$:

$\cos(α) = \frac{b}{l} = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l}$

Подставим это выражение в формулу для работы трения:

$A_{трения} = μmg \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l} \cdot l = μmg\sqrt{l^2 - h^2}$

Теперь можно записать формулу для КПД, подставив в нее выражения для полезной и затраченной работы:

$η = \frac{A_{полезная}}{A_{полезная} + A_{трения}} = \frac{mgh}{mgh + μmg\sqrt{l^2 - h^2}}$

Масса $m$ и ускорение свободного падения $g$ сокращаются, и формула для КПД принимает вид, зависящий только от геометрических параметров плоскости и коэффициента трения:

$η = \frac{h}{h + μ\sqrt{l^2 - h^2}}$

Подставим числовые значения:

$η = \frac{0,6}{0,6 + 0,1 \cdot \sqrt{1^2 - (0,6)^2}} = \frac{0,6}{0,6 + 0,1 \cdot \sqrt{1 - 0,36}} = \frac{0,6}{0,6 + 0,1 \cdot \sqrt{0,64}} = \frac{0,6}{0,6 + 0,1 \cdot 0,8} = \frac{0,6}{0,6 + 0,08} = \frac{0,6}{0,68}$

$η ≈ 0,88235$

Для выражения ответа в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$η ≈ 0,882 \cdot 100\% = 88,2\%$

Ответ: КПД наклонной плоскости составляет приблизительно 88,2%.

402. Рассчитать КПД гидроэлектростанции, если расход воды (ежесекундное изменение объёма) равен $6 \text{ м}^3/\text{с}$, напор воды (разность уровней воды по обе стороны плотины) $20 \text{ м}$, а мощность станции $1200 \text{ л. с.}$ ($1 \text{ л. с.} = 736 \text{ Вт}$).

Дано:

Расход воды $Q = 6 \text{ м}^3/\text{с}$

Напор воды (высота) $h = 20 \text{ м}$

Полезная мощность $P_{полезная} = 1200 \text{ л. с.}$

Плотность воды $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Переведем полезную мощность в систему СИ (Ватты):

$P_{полезная} = 1200 \text{ л. с.} \times 736 \frac{\text{Вт}}{\text{л. с.}} = 883200 \text{ Вт}$

Найти:

КПД гидроэлектростанции $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной мощности к затраченной (полной) мощности, выраженное в процентах:

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{затраченная}} \times 100\%$

Полезная мощность $P_{полезная}$ — это мощность, которую вырабатывает станция. Она дана в условии и переведена в Ватты:

$P_{полезная} = 883200 \text{ Вт}$

Затраченная мощность $P_{затраченная}$ — это мощность потока падающей воды. Она равна работе, совершаемой силой тяжести за единицу времени. Работа силы тяжести при падении массы воды $m$ с высоты $h$ равна изменению ее потенциальной энергии:

$A = mgh$

Тогда мощность равна:

$P_{затраченная} = \frac{A}{t} = \frac{mgh}{t}$

Массу воды $m$, протекающей за время $t$, можно выразить через объемный расход $Q$ и плотность воды $\rho$:

$m = \rho V = \rho \cdot (Q \cdot t)$

Подставим выражение для массы в формулу мощности:

$P_{затраченная} = \frac{(\rho Q t) g h}{t} = \rho g Q h$

Теперь рассчитаем значение затраченной мощности:

$P_{затраченная} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \times 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \times 6 \frac{\text{м}^3}{\text{с}} \times 20 \text{ м} = 1176000 \text{ Вт}$

Теперь мы можем рассчитать КПД станции:

$\eta = \frac{883200 \text{ Вт}}{1176000 \text{ Вт}} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$

Ответ: КПД гидроэлектростанции равен 75%.