Страница 53 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

367*. Маятник массой $m$ от-клонён на угол $\alpha$ от вертикали. Какова сила натяжения нити при прохождении маятником по-ложения равновесия?

Дано:

Найти:

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения механической энергии для нахождения скорости маятника в положении равновесия, а затем второй закон Ньютона для нахождения силы натяжения нити.

1. Применение закона сохранения энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение маятника (положение равновесия). Пусть длина нити маятника равна $l$.

В начальный момент маятник отклонен на угол $\alpha$ и находится в состоянии покоя. Его скорость равна нулю, следовательно, кинетическая энергия равна нулю. Вся энергия системы является потенциальной. Высота $h$, на которую поднят маятник относительно положения равновесия, может быть найдена из геометрии:$h = l - l\cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$.

Начальная полная механическая энергия системы:$E_1 = E_{потенциальная} + E_{кинетическая} = mgh + 0 = mgl(1 - \cos\alpha)$.

Когда маятник проходит положение равновесия, его высота над нулевым уровнем равна нулю ($h=0$), поэтому потенциальная энергия равна нулю. Вся энергия переходит в кинетическую. Пусть скорость маятника в этой точке равна $v$.

Полная механическая энергия в положении равновесия:$E_2 = E_{потенциальная} + E_{кинетическая} = 0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv^2$.

Согласно закону сохранения механической энергии, $E_1 = E_2$:$mgl(1 - \cos\alpha) = \frac{1}{2}mv^2$.

Из этого уравнения выразим квадрат скорости маятника в нижней точке:$v^2 = 2gl(1 - \cos\alpha)$.

2. Применение второго закона Ньютона.

В положении равновесия на маятник действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вертикально вверх вдоль нити.

В этой точке маятник движется по дуге окружности радиусом $l$. Равнодействующая этих сил сообщает маятнику центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности (вверх).$a_c = \frac{v^2}{l}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:$T - mg = ma_c$.

Подставим выражение для центростремительного ускорения:$T - mg = \frac{mv^2}{l}$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v^2$, которое мы нашли из закона сохранения энергии:$T = mg + \frac{m}{l} \cdot (2gl(1 - \cos\alpha))$.

Сократим $l$ и упростим выражение:$T = mg + 2mg(1 - \cos\alpha)$$T = mg + 2mg - 2mg\cos\alpha$$T = 3mg - 2mg\cos\alpha$.

Вынесем общий множитель за скобки:$T = mg(3 - 2\cos\alpha)$.

Ответ: Сила натяжения нити при прохождении маятником положения равновесия равна $T = mg(3 - 2\cos\alpha)$.

368*. В школьном опыте с «мёртвой петлёй» (рис. 47) брусок массой $m$ отпущен с высоты h = 3R (R — радиус петли). С какой силой давит брусок на опору в нижней и верхней точках петли?

367*

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Ньютона.

1. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии в положении равновесия маятника (нижняя точка траектории). Когда маятник отклонен на угол $ \alpha $, его высота над положением равновесия равна $ h = L - L \cos(\alpha) = L(1 - \cos(\alpha)) $, где $ L $ – длина нити.

2. Согласно закону сохранения механической энергии, потенциальная энергия маятника в крайнем положении переходит в кинетическую энергию в положении равновесия. Начальная скорость равна нулю.

$ E_п = E_к $

$ mgh = \frac{mv^2}{2} $

Подставим выражение для высоты $ h $:

$ mgL(1 - \cos(\alpha)) = \frac{mv^2}{2} $

Отсюда можем выразить квадрат скорости маятника в положении равновесия:

$ v^2 = 2gL(1 - \cos(\alpha)) $

3. Теперь рассмотрим силы, действующие на маятник в положении равновесия. На него действуют сила тяжести $ mg $, направленная вниз, и сила натяжения нити $ T $, направленная вверх. Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $ a_ц = \frac{v^2}{L} $, направленное к центру окружности (вверх).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$ T - mg = ma_ц $

$ T - mg = \frac{mv^2}{L} $

Выразим силу натяжения $ T $:

$ T = mg + \frac{mv^2}{L} $

4. Подставим в это уравнение выражение для $ v^2 $, найденное ранее:

$ T = mg + \frac{m(2gL(1 - \cos(\alpha)))}{L} $

$ T = mg + 2mg(1 - \cos(\alpha)) $

$ T = mg + 2mg - 2mg \cos(\alpha) $

$ T = 3mg - 2mg \cos(\alpha) = mg(3 - 2\cos(\alpha)) $

Ответ:Сила натяжения нити при прохождении маятником положения равновесия равна $ T = mg(3 - 2\cos(\alpha)) $.

368*

Дано:

Масса бруска: $ m $
Начальная высота: $ h = 3R $
Радиус петли: $ R $
Начальная скорость: $ v_0 = 0 $

Найти:

Силу давления бруска на опору в нижней точке петли ($ F_{нижн} $)
Силу давления бруска на опору в верхней точке петли ($ F_{верх} $)

Решение

По третьему закону Ньютона, сила, с которой брусок давит на опору, равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $ N $. Таким образом, задача сводится к нахождению силы реакции опоры в нижней и верхней точках петли. Для нахождения скоростей в этих точках воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнюю точку петли.

1. Сила давления в нижней точке петли

Сначала найдем скорость бруска $ v_{нижн} $ в нижней точке петли. Начальная полная энергия бруска на высоте $ h = 3R $ равна его потенциальной энергии:

$ E_{полн} = E_п = mgh = mg(3R) = 3mgR $

В нижней точке петли (высота равна 0) вся энергия перешла в кинетическую:

$ E_{нижн} = \frac{mv_{нижн}^2}{2} $

По закону сохранения энергии:

$ 3mgR = \frac{mv_{нижн}^2}{2} $

$ v_{нижн}^2 = 6gR $

В нижней точке на брусок действуют сила тяжести $ mg $ (вниз) и сила реакции опоры $ N_{нижн} $ (вверх). Их равнодействующая создает центростремительное ускорение $ a_ц = \frac{v_{нижн}^2}{R} $, направленное к центру петли (вверх). По второму закону Ньютона:

$ N_{нижн} - mg = m \frac{v_{нижн}^2}{R} $

$ N_{нижн} = mg + m \frac{6gR}{R} = mg + 6mg = 7mg $

Сила давления на опору $ F_{нижн} $ равна силе реакции опоры:

$ F_{нижн} = N_{нижн} = 7mg $

2. Сила давления в верхней точке петли

Теперь найдем скорость бруска $ v_{верх} $ в верхней точке петли. Высота верхней точки петли над нулевым уровнем равна $ 2R $.

Полная энергия в верхней точке:

$ E_{верх} = E_{п.верх} + E_{к.верх} = mg(2R) + \frac{mv_{верх}^2}{2} $

По закону сохранения энергии:

$ E_{полн} = E_{верх} $

$ 3mgR = 2mgR + \frac{mv_{верх}^2}{2} $

$ mgR = \frac{mv_{верх}^2}{2} $

$ v_{верх}^2 = 2gR $

В верхней точке на брусок действуют сила тяжести $ mg $ (вниз) и сила реакции опоры $ N_{верх} $ (тоже вниз). Их сумма создает центростремительное ускорение $ a_ц = \frac{v_{верх}^2}{R} $, направленное к центру петли (вниз). По второму закону Ньютона:

$ N_{верх} + mg = m \frac{v_{верх}^2}{R} $

$ N_{верх} = m \frac{2gR}{R} - mg = 2mg - mg = mg $

Сила давления на опору $ F_{верх} $ равна силе реакции опоры:

$ F_{верх} = N_{верх} = mg $

Ответ:Сила, с которой брусок давит на опору в нижней точке петли, равна $ 7mg $; сила давления в верхней точке петли равна $ mg $.

369*. Предмет массой $m$ вращается на нити в вертикальной плоскости. На сколько сила натяжения нити в нижней точке больше, чем в верхней?

Дано:

$m$ — масса предмета

Найти:

$ΔT = T_{н} - T_{в}$ — разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках.

Решение:

Рассмотрим движение предмета по окружности радиусом $R$ (длина нити) в вертикальной плоскости. На предмет действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к центру вращения.

1. В верхней точке траектории: Обе силы (сила натяжения $T_{в}$ и сила тяжести $mg$) направлены вниз, к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, их равнодействующая сообщает телу центростремительное ускорение $a_{ц.в}$: $T_{в} + mg = m a_{ц.в}$ Центростремительное ускорение равно $a_{ц.в} = \frac{v_{в}^2}{R}$, где $v_{в}$ — скорость предмета в верхней точке. $T_{в} + mg = m \frac{v_{в}^2}{R}$ Отсюда выразим силу натяжения в верхней точке: $T_{в} = m \frac{v_{в}^2}{R} - mg$

2. В нижней точке траектории: Сила натяжения $T_{н}$ направлена вверх (к центру), а сила тяжести $mg$ — вниз. Их равнодействующая также сообщает телу центростремительное ускорение $a_{ц.н}$: $T_{н} - mg = m a_{ц.н}$ Центростремительное ускорение равно $a_{ц.н} = \frac{v_{н}^2}{R}$, где $v_{н}$ — скорость предмета в нижней точке. $T_{н} - mg = m \frac{v_{н}^2}{R}$ Отсюда выразим силу натяжения в нижней точке: $T_{н} = m \frac{v_{н}^2}{R} + mg$

3. Найдем разность сил натяжения: $ΔT = T_{н} - T_{в} = \left(m \frac{v_{н}^2}{R} + mg\right) - \left(m \frac{v_{в}^2}{R} - mg\right)$ $ΔT = \frac{m}{R}(v_{н}^2 - v_{в}^2) + 2mg$

4. Свяжем скорости в верхней и нижней точках через закон сохранения энергии. Система является замкнутой (если пренебречь сопротивлением воздуха), и на тело действуют консервативная сила тяжести и сила натяжения нити (которая не совершает работы, так как перпендикулярна вектору скорости). Следовательно, полная механическая энергия системы сохраняется. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку траектории. Тогда высота в верхней точке будет равна $h = 2R$. Закон сохранения энергии: $E_{к.н} + E_{п.н} = E_{к.в} + E_{п.в}$ $\frac{m v_{н}^2}{2} + 0 = \frac{m v_{в}^2}{2} + mg(2R)$ Разделим обе части на $m$ и умножим на 2: $v_{н}^2 = v_{в}^2 + 4gR$ Отсюда: $v_{н}^2 - v_{в}^2 = 4gR$

5. Подставим полученное выражение в формулу для разности сил натяжения: $ΔT = \frac{m}{R}(4gR) + 2mg$ $ΔT = 4mg + 2mg$ $ΔT = 6mg$

Ответ: Сила натяжения нити в нижней точке больше, чем в верхней, на $6mg$.

370. При подготовке пружинного пистолета к выстрелу пружину жёсткостью 1 кН/м сжали на 3 см. Какую скорость приобретёт «снаряд» массой 45 г при выстреле в горизонтальном направлении?

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 1 \text{ кН/м}$
Сжатие пружины, $\Delta x = 3 \text{ см}$
Масса снаряда, $m = 45 \text{ г}$

$k = 1 \text{ кН/м} = 1000 \text{ Н/м}$
$\Delta x = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$m = 45 \text{ г} = 0.045 \text{ кг}$

Найти:

Скорость снаряда $v$.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии. При выстреле потенциальная энергия, запасённая в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию «снаряда». Поскольку выстрел производится в горизонтальном направлении, изменением потенциальной энергии снаряда в поле силы тяжести можно пренебречь. Также пренебрегаем силами трения и сопротивлением воздуха.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины $E_p$ вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{k(\Delta x)^2}{2}$

где $k$ – жёсткость пружины, а $\Delta x$ – величина её сжатия.

Кинетическая энергия снаряда $E_k$ вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

где $m$ – масса снаряда, а $v$ – его скорость.

Согласно закону сохранения энергии, приравниваем потенциальную энергию пружины к кинетической энергии снаряда:

$E_p = E_k$

$\frac{k(\Delta x)^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Из этого равенства выразим искомую скорость $v$. Для этого умножим обе части на 2:

$k(\Delta x)^2 = mv^2$

Отсюда:

$v^2 = \frac{k(\Delta x)^2}{m}$

$v = \sqrt{\frac{k(\Delta x)^2}{m}}$

Подставим числовые значения величин в систему СИ и произведём вычисления:

$v = \sqrt{\frac{1000 \text{ Н/м} \cdot (0.03 \text{ м})^2}{0.045 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1000 \cdot 0.0009}{0.045}} = \sqrt{\frac{0.9}{0.045}} = \sqrt{20} \text{ м/с}$

Вычислим приближённое значение скорости:

$v \approx 4.472 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем окончательный ответ.

Ответ: скорость снаряда равна примерно $4.5 \text{ м/с}$.

371. Во сколько раз изменится скорость «снаряда» пружинного пистолета при выстреле в горизонтальном направлении:

а) при увеличении сжатия пружины в 2 раза;

б) при замене пружины другой, жёсткость которой в 2 раза больше;

в) при увеличении массы «снаряда» в 2 раза?

В каждом случае все остальные величины, от которых зависит скорость, остаются неизменными.

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии. При выстреле из пружинного пистолета потенциальная энергия, запасённая в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию «снаряда». Сопротивлением воздуха и трением пренебрегаем.

Потенциальная энергия сжатой пружины определяется формулой: $E_п = \frac{kx^2}{2}$

Кинетическая энергия «снаряда» после выстрела: $E_к = \frac{mv^2}{2}$

где $k$ – жёсткость пружины, $x$ – величина её сжатия, $m$ – масса «снаряда», а $v$ – его скорость.

Согласно закону сохранения энергии: $E_п = E_к$ $\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Из этого равенства выразим скорость «снаряда»: $kx^2 = mv^2$ $v^2 = \frac{kx^2}{m}$ $v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$

Эта формула показывает зависимость скорости от сжатия пружины, её жёсткости и массы снаряда. Проанализируем каждый случай отдельно, обозначив начальные параметры как $v_1, x_1, k_1, m_1$, а новые — как $v_2, x_2, k_2, m_2$.

а) при увеличении сжатия пружины в 2 раза

Дано:

$x_2 = 2x_1$
$k_2 = k_1$
$m_2 = m_1$

Найти:

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость $v_2$ при сжатии $x_2 = 2x_1$: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = (2x_1)\sqrt{\frac{k_1}{m_1}} = 2 \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = 2v_1$.

Найдем отношение новой скорости к начальной: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{2v_1}{v_1} = 2$.

Ответ: скорость увеличится в 2 раза.

б) при замене пружины другой, жёсткость которой в 2 раза больше

Дано:

$k_2 = 2k_1$
$x_2 = x_1$
$m_2 = m_1$

Найти:

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость $v_2$ при жёсткости $k_2 = 2k_1$: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = x_1\sqrt{\frac{2k_1}{m_1}} = \sqrt{2} \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = \sqrt{2}v_1$.

Найдем отношение новой скорости к начальной: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{2}v_1}{v_1} = \sqrt{2}$.

Ответ: скорость увеличится в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1,41 раза).

в) при увеличении массы «снаряда» в 2 раза

Дано:

$m_2 = 2m_1$
$x_2 = x_1$
$k_2 = k_1$

Найти:

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость $v_2$ при массе $m_2 = 2m_1$: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = x_1\sqrt{\frac{k_1}{2m_1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$.

Найдем отношение новой скорости к начальной: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{v_1/\sqrt{2}}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ответ: скорость уменьшится в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1,41 раза).

372. Найти скорость $v$ вылета «снаряда» пружинного пистолета массой $m$ при выстреле вертикально вверх, если жёсткость пружины равна $k$, а сжатие $x$. Одинаковую ли скорость приобретёт «снаряд» при выстреле горизонтально и вертикально вверх?

Дано:

Найти:

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Полная механическая энергия системы (снаряд + пружина + Земля) сохраняется, так как отсутствуют силы трения.

1. Найти скорость v вылета «снаряда» при выстреле вертикально вверх.

Рассмотрим два состояния системы:

Состояние 1: Пружина сжата на величину $x$, снаряд находится в нижней точке и покоится. Выберем этот уровень в качестве нулевого уровня потенциальной энергии ($h_1=0$). Вся энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии сжатой пружины.

Полная энергия в состоянии 1:

$E_1 = E_{п.пружины} + E_{к} + E_{п.гравитации} = \frac{kx^2}{2} + 0 + 0 = \frac{kx^2}{2}$

Состояние 2: Снаряд отрывается от пружины, то есть пружина полностью распрямилась. В этот момент снаряд поднялся на высоту $h_2 = x$ и имеет скорость $v$. Энергия системы складывается из кинетической энергии снаряда и его потенциальной энергии в поле тяжести Земли.

Полная энергия в состоянии 2:

$E_2 = E_{п.пружины} + E_{к} + E_{п.гравитации} = 0 + \frac{mv^2}{2} + mgx$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgx$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{kx^2}{2} - mgx$

$mv^2 = kx^2 - 2mgx$

$v^2 = \frac{kx^2 - 2mgx}{m} = \frac{kx^2}{m} - 2gx$

$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$

Ответ: Скорость вылета снаряда при выстреле вертикально вверх равна $v = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$.

2. Одинаковую ли скорость приобретёт «снаряд» при выстреле горизонтально и вертикально вверх?

Рассмотрим случай выстрела в горизонтальном направлении. В этом случае высота снаряда в процессе разгона пружиной не меняется. Следовательно, изменение потенциальной энергии в поле тяжести равно нулю ($\Delta E_{п.гравитации} = 0$).

Закон сохранения энергии для этого случая будет выглядеть так:

Начальная энергия (потенциальная энергия сжатой пружины) = Конечная энергия (кинетическая энергия снаряда).

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv_{гориз}^2}{2}$

Отсюда скорость при горизонтальном выстреле $v_{гориз}$:

$v_{гориз}^2 = \frac{kx^2}{m}$

$v_{гориз} = \sqrt{\frac{kx^2}{m}}$

Сравним скорости:

Скорость при вертикальном выстреле: $v_{верт} = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$

Скорость при горизонтальном выстреле: $v_{гориз} = \sqrt{\frac{kx^2}{m}}$

Поскольку $2gx > 0$, подкоренное выражение для вертикального выстрела меньше, чем для горизонтального. Это означает, что $v_{верт} < v_{гориз}$. Физически это объясняется тем, что при выстреле вертикально вверх часть потенциальной энергии пружины расходуется не только на придание снаряду кинетической энергии, но и на совершение работы против силы тяжести (увеличение потенциальной энергии снаряда).

Ответ: Нет, скорости будут разными. Скорость при выстреле горизонтально будет больше, чем при выстреле вертикально вверх.

373. Цирковой артист массой 60 кг падает в натянутую сетку с высоты 4 м. С какой силой действует на артиста сетка, если она прогибается при этом на 1 м?

Дано:

Масса артиста $m = 60$ кг

Высота падения над сеткой $h_1 = 4$ м

Прогиб сетки $h_2 = 1$ м

Найти:

Силу, с которой действует сетка на артиста $F$ — ?

Решение:

Для решения задачи применим теорему об изменении полной механической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе всех непотенциальных (внешних и диссипативных) сил.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение артиста, то есть положение максимального прогиба сетки.

В начальный момент времени артист находится на высоте $h = h_1 + h_2$ относительно нулевого уровня и покоится. Его полная механическая энергия $E_{нач}$ равна его потенциальной энергии:

$E_{нач} = E_p = mgh = mg(h_1 + h_2)$

В конечный момент времени, когда сетка прогнулась на максимальную величину $h_2$, артист на мгновение останавливается. Его скорость равна нулю, и он находится на нулевом уровне потенциальной энергии. Следовательно, его конечная полная механическая энергия $E_{кон}$ равна нулю:

$E_{кон} = 0$

Изменение полной механической энергии произошло за счет работы $A_F$ силы упругости (реакции) сетки. Эта сила является непотенциальной.

$A_F = E_{кон} - E_{нач}$

Работа силы упругости сетки $A_F$ совершается на пути $h_2$. Сила $F$ направлена вверх, а перемещение артиста — вниз, поэтому работа отрицательна. Будем искать среднюю силу, действующую на артиста.

$A_F = -F \cdot h_2$

Теперь приравняем выражения для работы:

$-F \cdot h_2 = 0 - mg(h_1 + h_2)$

$F \cdot h_2 = mg(h_1 + h_2)$

Выразим искомую силу $F$:

$F = \frac{mg(h_1 + h_2)}{h_2}$

Подставим численные значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

$F = \frac{60 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot (4 \text{ м} + 1 \text{ м})}{1 \text{ м}} = \frac{600 \text{ Н} \cdot 5 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 3000 \text{ Н}$

Сила, с которой сетка действует на артиста, в 5 раз больше его силы тяжести ($mg = 60 \cdot 10 = 600$ Н).

Ответ: средняя сила, с которой действует сетка на артиста, равна 3000 Н или 3 кН.

374. Рыболовная леска длиной $1 \text{ м}$ имеет прочность на разрыв $26 \text{ Н}$ и жёсткость $2,5 \text{ кН}/\text{м}$. Один конец лески прикрепили к опоре, расположенной над полом на высоте больше $1 \text{ м}$, а к другому концу привязали груз массой $50 \text{ г}$. Груз подняли до точки подвеса и отпустили. Разорвётся ли леска?

Дано:

Длина лески $L = 1 \text{ м}$

Прочность на разрыв $F_{max} = 26 \text{ Н}$

Жёсткость лески $k = 2,5 \text{ кН/м}$

Масса груза $m = 50 \text{ г}$

В систему СИ:

$k = 2,5 \text{ кН/м} = 2,5 \cdot 10^3 \text{ Н/м} = 2500 \text{ Н/м}$

$m = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$

Найти:

Разорвётся ли леска?

Решение:

Для ответа на вопрос необходимо определить максимальную силу натяжения $F_{нат}$, которая возникнет в леске, и сравнить её с пределом прочности $F_{max}$. Если $F_{нат} > F_{max}$, леска разорвётся.

Максимальная сила натяжения возникнет в нижней точке траектории, когда растяжение лески будет максимальным. Для нахождения этого максимального растяжения воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение груза. В начальный момент груз находится на высоте точки подвеса. Его начальная высота относительно нулевого уровня будет $h = L + \Delta L$, где $L$ - начальная длина лески, а $\Delta L$ - её максимальное растяжение. Начальная скорость груза равна нулю.

Начальная энергия системы $E_1$ равна потенциальной энергии груза:

$E_1 = mgh = mg(L + \Delta L)$

В конечный момент, в самой нижней точке, скорость груза на мгновение становится равной нулю, а леска максимально растянута. Вся механическая энергия системы переходит в потенциальную энергию упругой деформации лески $E_2$:

$E_2 = \frac{k(\Delta L)^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mg(L + \Delta L) = \frac{k(\Delta L)^2}{2}$

Мы получили квадратное уравнение относительно максимального растяжения $\Delta L$:

$\frac{k}{2}(\Delta L)^2 - mg\Delta L - mgL = 0$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Сила тяжести груза: $mg = 0,05 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 0,5 \text{ Н}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2500}{2}(\Delta L)^2 - 0,5 \Delta L - 0,5 \cdot 1 = 0$

$1250(\Delta L)^2 - 0,5\Delta L - 0,5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-0,5)^2 - 4 \cdot 1250 \cdot (-0,5) = 0,25 + 2500 = 2500,25$

Нас интересует только положительный корень, так как растяжение не может быть отрицательным:

$\Delta L = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,5 + \sqrt{2500,25}}{2 \cdot 1250} = \frac{0,5 + 50,0025}{2500} \approx \frac{50,5}{2500} \approx 0,0202 \text{ м}$

Теперь, зная максимальное растяжение, найдём максимальную силу натяжения лески по закону Гука:

$F_{нат} = k \cdot \Delta L$

$F_{нат} = 2500 \text{ Н/м} \cdot 0,0202 \text{ м} = 50,5 \text{ Н}$

Сравним полученное значение с прочностью лески на разрыв:

$F_{нат} = 50,5 \text{ Н}$

$F_{max} = 26 \text{ Н}$

Так как $F_{нат} > F_{max}$ ($50,5 \text{ Н} > 26 \text{ Н}$), леска не выдержит и разорвётся.

Ответ: Да, леска разорвётся.

375. Ученик при помощи динамометра, жёсткость пружины которого $k = 100 \text{ Н/м}$, равномерно переместил деревянный брусок массой $m = 800 \text{ г}$ по доске на расстояние $l = 10 \text{ см}$. Сравнить работу $A_1$ по преодолению трения с работой $A_2$ по растяжению пружины до начала движения бруска, если коэффициент трения $\mu = 0,25$.

Дано:

$k = 100$ Н/м
$m = 800$ г $= 0.8$ кг
$l = 10$ см $= 0.1$ м
$μ = 0.25$

Найти:

Сравнить работу $A_1$ с работой $A_2$.

Решение:

Для сравнения необходимо рассчитать значения двух работ: $A_1$ (работа по преодолению силы трения при равномерном движении бруска) и $A_2$ (работа по растяжению пружины до начала движения бруска). Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Вычисление работы $A_1$ по преодолению трения

Работа по преодолению постоянной силы трения на некотором расстоянии вычисляется по формуле: $A_1 = F_{тр} \cdot l$ Брусок движется равномерно, следовательно, сила тяги динамометра уравновешивает силу трения скольжения $F_{тр}$. Сила трения скольжения определяется как: $F_{тр} = \mu \cdot N$ где $N$ — сила нормальной реакции опоры. Для бруска на горизонтальной поверхности $N$ равна силе тяжести $mg$. $N = mg$ Тогда сила трения: $F_{тр} = \mu mg$ Подставим значения и рассчитаем силу трения: $F_{тр} = 0.25 \cdot 0.8 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} = 1.96 \text{ Н}$ Теперь можем рассчитать работу $A_1$: $A_1 = 1.96 \text{ Н} \cdot 0.1 \text{ м} = 0.196 \text{ Дж}$

Вычисление работы $A_2$ по растяжению пружины до начала движения

Работа по растяжению пружины равна потенциальной энергии, которую пружина запасает при растяжении. $A_2 = \frac{k x^2}{2}$ где $x$ — удлинение пружины в момент, предшествующий началу движения. Движение начнется, когда сила упругости пружины $F_{упр}$ станет равной силе трения покоя. Будем считать, что коэффициент трения покоя равен коэффициенту трения скольжения, тогда: $F_{упр} = F_{тр} = 1.96 \text{ Н}$ По закону Гука, $F_{упр} = kx$. Отсюда можем найти удлинение пружины $x$: $x = \frac{F_{упр}}{k} = \frac{1.96 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0.0196 \text{ м}$ Теперь рассчитаем работу $A_2$: $A_2 = \frac{k x^2}{2} = \frac{100 \text{ Н/м} \cdot (0.0196 \text{ м})^2}{2} = \frac{100 \cdot 0.00038416}{2} = 0.019208 \text{ Дж}$

Сравнение работ $A_1$ и $A_2$

Мы получили следующие значения: $A_1 = 0.196 \text{ Дж}$ $A_2 \approx 0.0192 \text{ Дж}$ Сравнивая эти значения, видим, что $A_1 > A_2$. Для количественного сравнения найдем их отношение: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{0.196 \text{ Дж}}{0.019208 \text{ Дж}} \approx 10.2$

Ответ: работа по преодолению трения $A_1$ больше работы по растяжению пружины $A_2$ примерно в 10.2 раза ($A_1 \approx 10.2 \cdot A_2$).