Номер 371, страница 53 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 371, страница 53.

Условие.

371. Во сколько раз изменится скорость «снаряда» пружинного пистолета при выстреле в горизонтальном направлении:

а) при увеличении сжатия пружины в 2 раза;

б) при замене пружины другой, жёсткость которой в 2 раза больше;

в) при увеличении массы «снаряда» в 2 раза?

В каждом случае все остальные величины, от которых зависит скорость, остаются неизменными.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии. При выстреле из пружинного пистолета потенциальная энергия, запасённая в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию «снаряда». Сопротивлением воздуха и трением пренебрегаем.

Потенциальная энергия сжатой пружины определяется формулой: $E_п = \frac{kx^2}{2}$

Кинетическая энергия «снаряда» после выстрела: $E_к = \frac{mv^2}{2}$

где $k$ – жёсткость пружины, $x$ – величина её сжатия, $m$ – масса «снаряда», а $v$ – его скорость.

Согласно закону сохранения энергии: $E_п = E_к$ $\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Из этого равенства выразим скорость «снаряда»: $kx^2 = mv^2$ $v^2 = \frac{kx^2}{m}$ $v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$

Эта формула показывает зависимость скорости от сжатия пружины, её жёсткости и массы снаряда. Проанализируем каждый случай отдельно, обозначив начальные параметры как $v_1, x_1, k_1, m_1$, а новые — как $v_2, x_2, k_2, m_2$.

а) при увеличении сжатия пружины в 2 раза

Дано:

$x_2 = 2x_1$
$k_2 = k_1$
$m_2 = m_1$

Найти:

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость $v_2$ при сжатии $x_2 = 2x_1$: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = (2x_1)\sqrt{\frac{k_1}{m_1}} = 2 \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = 2v_1$.

Найдем отношение новой скорости к начальной: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{2v_1}{v_1} = 2$.

Ответ: скорость увеличится в 2 раза.

б) при замене пружины другой, жёсткость которой в 2 раза больше

Дано:

$k_2 = 2k_1$
$x_2 = x_1$
$m_2 = m_1$

Найти:

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость $v_2$ при жёсткости $k_2 = 2k_1$: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = x_1\sqrt{\frac{2k_1}{m_1}} = \sqrt{2} \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = \sqrt{2}v_1$.

Найдем отношение новой скорости к начальной: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{2}v_1}{v_1} = \sqrt{2}$.

Ответ: скорость увеличится в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1,41 раза).

в) при увеличении массы «снаряда» в 2 раза

Дано:

$m_2 = 2m_1$
$x_2 = x_1$
$k_2 = k_1$

Найти:

Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Начальная скорость: $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$.

Новая скорость $v_2$ при массе $m_2 = 2m_1$: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = x_1\sqrt{\frac{k_1}{2m_1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\right) = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$.

Найдем отношение новой скорости к начальной: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{v_1/\sqrt{2}}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ответ: скорость уменьшится в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1,41 раза).