Номер 368, страница 53 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 368, страница 53.

Условие.

368*. В школьном опыте с «мёртвой петлёй» (рис. 47) брусок массой $m$ отпущен с высоты h = 3R (R — радиус петли). С какой силой давит брусок на опору в нижней и верхней точках петли?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

367*

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Ньютона.

1. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии в положении равновесия маятника (нижняя точка траектории). Когда маятник отклонен на угол $ \alpha $, его высота над положением равновесия равна $ h = L - L \cos(\alpha) = L(1 - \cos(\alpha)) $, где $ L $ – длина нити.

2. Согласно закону сохранения механической энергии, потенциальная энергия маятника в крайнем положении переходит в кинетическую энергию в положении равновесия. Начальная скорость равна нулю.

$ E_п = E_к $

$ mgh = \frac{mv^2}{2} $

Подставим выражение для высоты $ h $:

$ mgL(1 - \cos(\alpha)) = \frac{mv^2}{2} $

Отсюда можем выразить квадрат скорости маятника в положении равновесия:

$ v^2 = 2gL(1 - \cos(\alpha)) $

3. Теперь рассмотрим силы, действующие на маятник в положении равновесия. На него действуют сила тяжести $ mg $, направленная вниз, и сила натяжения нити $ T $, направленная вверх. Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $ a_ц = \frac{v^2}{L} $, направленное к центру окружности (вверх).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$ T - mg = ma_ц $

$ T - mg = \frac{mv^2}{L} $

Выразим силу натяжения $ T $:

$ T = mg + \frac{mv^2}{L} $

4. Подставим в это уравнение выражение для $ v^2 $, найденное ранее:

$ T = mg + \frac{m(2gL(1 - \cos(\alpha)))}{L} $

$ T = mg + 2mg(1 - \cos(\alpha)) $

$ T = mg + 2mg - 2mg \cos(\alpha) $

$ T = 3mg - 2mg \cos(\alpha) = mg(3 - 2\cos(\alpha)) $

Ответ:Сила натяжения нити при прохождении маятником положения равновесия равна $ T = mg(3 - 2\cos(\alpha)) $.

---

368*

Дано:

Масса бруска: $ m $
Начальная высота: $ h = 3R $
Радиус петли: $ R $
Начальная скорость: $ v_0 = 0 $

Найти:

Силу давления бруска на опору в нижней точке петли ($ F_{нижн} $)
Силу давления бруска на опору в верхней точке петли ($ F_{верх} $)

Решение

По третьему закону Ньютона, сила, с которой брусок давит на опору, равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $ N $. Таким образом, задача сводится к нахождению силы реакции опоры в нижней и верхней точках петли. Для нахождения скоростей в этих точках воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнюю точку петли.

1. Сила давления в нижней точке петли

Сначала найдем скорость бруска $ v_{нижн} $ в нижней точке петли. Начальная полная энергия бруска на высоте $ h = 3R $ равна его потенциальной энергии:

$ E_{полн} = E_п = mgh = mg(3R) = 3mgR $

В нижней точке петли (высота равна 0) вся энергия перешла в кинетическую:

$ E_{нижн} = \frac{mv_{нижн}^2}{2} $

По закону сохранения энергии:

$ 3mgR = \frac{mv_{нижн}^2}{2} $

$ v_{нижн}^2 = 6gR $

В нижней точке на брусок действуют сила тяжести $ mg $ (вниз) и сила реакции опоры $ N_{нижн} $ (вверх). Их равнодействующая создает центростремительное ускорение $ a_ц = \frac{v_{нижн}^2}{R} $, направленное к центру петли (вверх). По второму закону Ньютона:

$ N_{нижн} - mg = m \frac{v_{нижн}^2}{R} $

$ N_{нижн} = mg + m \frac{6gR}{R} = mg + 6mg = 7mg $

Сила давления на опору $ F_{нижн} $ равна силе реакции опоры:

$ F_{нижн} = N_{нижн} = 7mg $

2. Сила давления в верхней точке петли

Теперь найдем скорость бруска $ v_{верх} $ в верхней точке петли. Высота верхней точки петли над нулевым уровнем равна $ 2R $.

Полная энергия в верхней точке:

$ E_{верх} = E_{п.верх} + E_{к.верх} = mg(2R) + \frac{mv_{верх}^2}{2} $

По закону сохранения энергии:

$ E_{полн} = E_{верх} $

$ 3mgR = 2mgR + \frac{mv_{верх}^2}{2} $

$ mgR = \frac{mv_{верх}^2}{2} $

$ v_{верх}^2 = 2gR $

В верхней точке на брусок действуют сила тяжести $ mg $ (вниз) и сила реакции опоры $ N_{верх} $ (тоже вниз). Их сумма создает центростремительное ускорение $ a_ц = \frac{v_{верх}^2}{R} $, направленное к центру петли (вниз). По второму закону Ньютона:

$ N_{верх} + mg = m \frac{v_{верх}^2}{R} $

$ N_{верх} = m \frac{2gR}{R} - mg = 2mg - mg = mg $

Сила давления на опору $ F_{верх} $ равна силе реакции опоры:

$ F_{верх} = N_{верх} = mg $

Ответ:Сила, с которой брусок давит на опору в нижней точке петли, равна $ 7mg $; сила давления в верхней точке петли равна $ mg $.