Номер 367, страница 53 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 367, страница 53.

Условие.

367*. Маятник массой $m$ от-клонён на угол $\alpha$ от вертикали. Какова сила натяжения нити при прохождении маятником по-ложения равновесия?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Масса маятника: $m$

Угол отклонения от вертикали: $\alpha$

Найти:

Сила натяжения нити в положении равновесия: $T$

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения механической энергии для нахождения скорости маятника в положении равновесия, а затем второй закон Ньютона для нахождения силы натяжения нити.

1. Применение закона сохранения энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение маятника (положение равновесия). Пусть длина нити маятника равна $l$.

В начальный момент маятник отклонен на угол $\alpha$ и находится в состоянии покоя. Его скорость равна нулю, следовательно, кинетическая энергия равна нулю. Вся энергия системы является потенциальной. Высота $h$, на которую поднят маятник относительно положения равновесия, может быть найдена из геометрии:$h = l - l\cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$.

Начальная полная механическая энергия системы:$E_1 = E_{потенциальная} + E_{кинетическая} = mgh + 0 = mgl(1 - \cos\alpha)$.

Когда маятник проходит положение равновесия, его высота над нулевым уровнем равна нулю ($h=0$), поэтому потенциальная энергия равна нулю. Вся энергия переходит в кинетическую. Пусть скорость маятника в этой точке равна $v$.

Полная механическая энергия в положении равновесия:$E_2 = E_{потенциальная} + E_{кинетическая} = 0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv^2$.

Согласно закону сохранения механической энергии, $E_1 = E_2$:$mgl(1 - \cos\alpha) = \frac{1}{2}mv^2$.

Из этого уравнения выразим квадрат скорости маятника в нижней точке:$v^2 = 2gl(1 - \cos\alpha)$.

2. Применение второго закона Ньютона.

В положении равновесия на маятник действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вертикально вверх вдоль нити.

В этой точке маятник движется по дуге окружности радиусом $l$. Равнодействующая этих сил сообщает маятнику центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности (вверх).$a_c = \frac{v^2}{l}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:$T - mg = ma_c$.

Подставим выражение для центростремительного ускорения:$T - mg = \frac{mv^2}{l}$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v^2$, которое мы нашли из закона сохранения энергии:$T = mg + \frac{m}{l} \cdot (2gl(1 - \cos\alpha))$.

Сократим $l$ и упростим выражение:$T = mg + 2mg(1 - \cos\alpha)$$T = mg + 2mg - 2mg\cos\alpha$$T = 3mg - 2mg\cos\alpha$.

Вынесем общий множитель за скобки:$T = mg(3 - 2\cos\alpha)$.

Ответ: Сила натяжения нити при прохождении маятником положения равновесия равна $T = mg(3 - 2\cos\alpha)$.