Номер 372, страница 53 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 372, страница 53.

Условие.

372. Найти скорость $v$ вылета «снаряда» пружинного пистолета массой $m$ при выстреле вертикально вверх, если жёсткость пружины равна $k$, а сжатие $x$. Одинаковую ли скорость приобретёт «снаряд» при выстреле горизонтально и вертикально вверх?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

масса «снаряда»: $m$

жёсткость пружины: $k$

сжатие пружины: $x$

Найти:

скорость вылета $v$ при выстреле вертикально вверх

сравнить скорости при выстреле вертикально вверх и горизонтально

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Полная механическая энергия системы (снаряд + пружина + Земля) сохраняется, так как отсутствуют силы трения.

1. Найти скорость v вылета «снаряда» при выстреле вертикально вверх.

Рассмотрим два состояния системы:

Состояние 1: Пружина сжата на величину $x$, снаряд находится в нижней точке и покоится. Выберем этот уровень в качестве нулевого уровня потенциальной энергии ($h_1=0$). Вся энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии сжатой пружины.

Полная энергия в состоянии 1:

$E_1 = E_{п.пружины} + E_{к} + E_{п.гравитации} = \frac{kx^2}{2} + 0 + 0 = \frac{kx^2}{2}$

Состояние 2: Снаряд отрывается от пружины, то есть пружина полностью распрямилась. В этот момент снаряд поднялся на высоту $h_2 = x$ и имеет скорость $v$. Энергия системы складывается из кинетической энергии снаряда и его потенциальной энергии в поле тяжести Земли.

Полная энергия в состоянии 2:

$E_2 = E_{п.пружины} + E_{к} + E_{п.гравитации} = 0 + \frac{mv^2}{2} + mgx$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgx$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{kx^2}{2} - mgx$

$mv^2 = kx^2 - 2mgx$

$v^2 = \frac{kx^2 - 2mgx}{m} = \frac{kx^2}{m} - 2gx$

$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$

Ответ: Скорость вылета снаряда при выстреле вертикально вверх равна $v = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$.

2. Одинаковую ли скорость приобретёт «снаряд» при выстреле горизонтально и вертикально вверх?

Рассмотрим случай выстрела в горизонтальном направлении. В этом случае высота снаряда в процессе разгона пружиной не меняется. Следовательно, изменение потенциальной энергии в поле тяжести равно нулю ($\Delta E_{п.гравитации} = 0$).

Закон сохранения энергии для этого случая будет выглядеть так:

Начальная энергия (потенциальная энергия сжатой пружины) = Конечная энергия (кинетическая энергия снаряда).

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv_{гориз}^2}{2}$

Отсюда скорость при горизонтальном выстреле $v_{гориз}$:

$v_{гориз}^2 = \frac{kx^2}{m}$

$v_{гориз} = \sqrt{\frac{kx^2}{m}}$

Сравним скорости:

Скорость при вертикальном выстреле: $v_{верт} = \sqrt{\frac{kx^2}{m} - 2gx}$

Скорость при горизонтальном выстреле: $v_{гориз} = \sqrt{\frac{kx^2}{m}}$

Поскольку $2gx > 0$, подкоренное выражение для вертикального выстрела меньше, чем для горизонтального. Это означает, что $v_{верт} < v_{гориз}$. Физически это объясняется тем, что при выстреле вертикально вверх часть потенциальной энергии пружины расходуется не только на придание снаряду кинетической энергии, но и на совершение работы против силы тяжести (увеличение потенциальной энергии снаряда).

Ответ: Нет, скорости будут разными. Скорость при выстреле горизонтально будет больше, чем при выстреле вертикально вверх.