Номер 369, страница 53 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 369, страница 53.

Условие.

369*. Предмет массой $m$ вращается на нити в вертикальной плоскости. На сколько сила натяжения нити в нижней точке больше, чем в верхней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$m$ — масса предмета

Найти:

$ΔT = T_{н} - T_{в}$ — разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках.

Решение:

Рассмотрим движение предмета по окружности радиусом $R$ (длина нити) в вертикальной плоскости. На предмет действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к центру вращения.

1. В верхней точке траектории: Обе силы (сила натяжения $T_{в}$ и сила тяжести $mg$) направлены вниз, к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, их равнодействующая сообщает телу центростремительное ускорение $a_{ц.в}$: $T_{в} + mg = m a_{ц.в}$ Центростремительное ускорение равно $a_{ц.в} = \frac{v_{в}^2}{R}$, где $v_{в}$ — скорость предмета в верхней точке. $T_{в} + mg = m \frac{v_{в}^2}{R}$ Отсюда выразим силу натяжения в верхней точке: $T_{в} = m \frac{v_{в}^2}{R} - mg$

2. В нижней точке траектории: Сила натяжения $T_{н}$ направлена вверх (к центру), а сила тяжести $mg$ — вниз. Их равнодействующая также сообщает телу центростремительное ускорение $a_{ц.н}$: $T_{н} - mg = m a_{ц.н}$ Центростремительное ускорение равно $a_{ц.н} = \frac{v_{н}^2}{R}$, где $v_{н}$ — скорость предмета в нижней точке. $T_{н} - mg = m \frac{v_{н}^2}{R}$ Отсюда выразим силу натяжения в нижней точке: $T_{н} = m \frac{v_{н}^2}{R} + mg$

3. Найдем разность сил натяжения: $ΔT = T_{н} - T_{в} = \left(m \frac{v_{н}^2}{R} + mg\right) - \left(m \frac{v_{в}^2}{R} - mg\right)$ $ΔT = \frac{m}{R}(v_{н}^2 - v_{в}^2) + 2mg$

4. Свяжем скорости в верхней и нижней точках через закон сохранения энергии. Система является замкнутой (если пренебречь сопротивлением воздуха), и на тело действуют консервативная сила тяжести и сила натяжения нити (которая не совершает работы, так как перпендикулярна вектору скорости). Следовательно, полная механическая энергия системы сохраняется. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку траектории. Тогда высота в верхней точке будет равна $h = 2R$. Закон сохранения энергии: $E_{к.н} + E_{п.н} = E_{к.в} + E_{п.в}$ $\frac{m v_{н}^2}{2} + 0 = \frac{m v_{в}^2}{2} + mg(2R)$ Разделим обе части на $m$ и умножим на 2: $v_{н}^2 = v_{в}^2 + 4gR$ Отсюда: $v_{н}^2 - v_{в}^2 = 4gR$

5. Подставим полученное выражение в формулу для разности сил натяжения: $ΔT = \frac{m}{R}(4gR) + 2mg$ $ΔT = 4mg + 2mg$ $ΔT = 6mg$

Ответ: Сила натяжения нити в нижней точке больше, чем в верхней, на $6mg$.