Номер 366, страница 52 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 366, страница 52.

Условие.

366. Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур не обрываясь, равна 550 Н.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Масса груза: $m = 25$ кг
Длина шнура: $L = 2,5$ м
Максимальная сила натяжения: $T_{max} = 550$ Н

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с² для удобства расчетов, что является стандартной практикой для многих школьных задач.

Найти:

Наибольшую высоту подъема груза $h$.

Решение:

Когда груз, подвешенный на шнуре, совершает свободные качания, он движется по дуге окружности. Сила натяжения шнура достигает своего максимального значения в самой нижней точке траектории. Это происходит потому, что в этой точке скорость груза максимальна, и сила натяжения должна не только компенсировать силу тяжести, но и обеспечивать необходимое центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для груза в нижней точке траектории. Направим ось OY вертикально вверх, к точке подвеса.

$T_{max} - mg = F_{цс}$

где $F_{цс}$ — центростремительная сила, которая определяется по формуле $F_{цс} = \frac{mv^2}{L}$. Здесь $v$ — скорость груза в нижней точке, а $L$ — длина шнура, которая является радиусом траектории.

Следовательно, уравнение принимает вид:

$T_{max} - mg = \frac{mv^2}{L}$

Для нахождения скорости $v$ в нижней точке воспользуемся законом сохранения механической энергии. Сравним состояние системы в двух точках: в точке максимального отклонения (на высоте $h$) и в нижней точке траектории (примем ее за нулевой уровень потенциальной энергии, $h=0$).

Энергия в начальной точке (на высоте $h$): груз неподвижен ($v_0=0$), поэтому его энергия полностью потенциальная: $E_1 = mgh$.

Энергия в нижней точке: высота равна нулю, поэтому энергия полностью кинетическая: $E_2 = \frac{mv^2}{2}$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Из этого соотношения выразим квадрат скорости: $v^2 = 2gh$.

Теперь подставим это выражение для $v^2$ в уравнение второго закона Ньютона:

$T_{max} - mg = \frac{m(2gh)}{L}$

Наша цель — найти высоту $h$. Выразим ее из этого уравнения:

$L(T_{max} - mg) = 2mgh$

$h = \frac{L(T_{max} - mg)}{2mg}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{2,5 \cdot (550 - 25 \cdot 10)}{2 \cdot 25 \cdot 10} = \frac{2,5 \cdot (550 - 250)}{500} = \frac{2,5 \cdot 300}{500} = \frac{750}{500} = 1,5$ м.

Ответ: наибольшая высота, на которую можно отвести груз, чтобы шнур не оборвался, составляет 1,5 м.