Страница 52 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

357¹. Тело массой 0,5 кг брошено вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Найти работу силы тяжести, изменение потенциальной энергии и изменение кинетической энергии при подъёме тела до максимальной высоты.

Дано:

Масса тела, $m = 0,5$ кг

Начальная скорость, $v_0 = 4$ м/с

Конечная скорость на максимальной высоте, $v_к = 0$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Работу силы тяжести, $A_т$ - ?

Изменение потенциальной энергии, $\Delta E_p$ - ?

Изменение кинетической энергии, $\Delta E_k$ - ?

Решение:

Для решения задачи сначала определим максимальную высоту подъема тела $h_{max}$. Воспользуемся формулой, связывающей начальную и конечную скорости с высотой подъема при равнозамедленном движении:

$h_{max} = \frac{v_0^2 - v_к^2}{2g}$

На максимальной высоте конечная скорость $v_к=0$. Подставим числовые значения:

$h_{max} = \frac{4^2 - 0^2}{2 \cdot 10} = \frac{16}{20} = 0,8$ м

Теперь, зная высоту подъема, можем найти искомые величины в требуемом порядке.

Работа силы тяжести

Работа силы тяжести $A_т$ при подъеме тела на высоту $h_{max}$ вычисляется по формуле $A_т = F_т \cdot h_{max} \cdot \cos(\alpha)$, где $F_т = mg$ - сила тяжести, а $\alpha$ - угол между вектором силы и вектором перемещения. Так как сила тяжести направлена вертикально вниз, а тело перемещается вверх, угол $\alpha = 180^\circ$, и $\cos(180^\circ) = -1$.

Следовательно, формула для работы силы тяжести принимает вид:

$A_т = -m g h_{max}$

Подставим числовые значения:

$A_т = -0,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ м} = -4$ Дж

Ответ: работа силы тяжести равна -4 Дж.

Изменение потенциальной энергии

Изменение потенциальной энергии $\Delta E_p$ равно разности ее конечного и начального значений. Примем начальный уровень (точку броска) за нулевой уровень потенциальной энергии ($h_0 = 0$), тогда начальная потенциальная энергия $E_{p0} = 0$. Конечная потенциальная энергия на высоте $h_{max}$ равна $E_{pк} = m g h_{max}$.

$\Delta E_p = E_{pк} - E_{p0} = m g h_{max} - 0 = m g h_{max}$

Подставим значения:

$\Delta E_p = 0,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ м} = 4$ Дж

Также можно воспользоваться соотношением, что работа консервативной силы (силы тяжести) равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:

$\Delta E_p = -A_т = -(-4 \text{ Дж}) = 4$ Дж

Ответ: изменение потенциальной энергии равно 4 Дж.

Изменение кинетической энергии

Изменение кинетической энергии $\Delta E_k$ равно разности конечной и начальной кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{kк} - E_{k0}$

Начальная кинетическая энергия тела в момент броска: $E_{k0} = \frac{m v_0^2}{2}$.

Конечная кинетическая энергия на максимальной высоте, где скорость тела $v_к = 0$, равна нулю: $E_{kк} = 0$.

Следовательно, изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k = 0 - \frac{m v_0^2}{2} = -\frac{0,5 \text{ кг} \cdot (4 \text{ м/с})^2}{2} = -\frac{0,5 \cdot 16}{2} = -4$ Дж

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, это изменение равно работе равнодействующей силы. В данном случае (пренебрегая сопротивлением воздуха) единственной силой является сила тяжести, поэтому:

$\Delta E_k = A_т = -4$ Дж

Ответ: изменение кинетической энергии равно -4 Дж.

358. Тело массой 400 г свободно падает с высоты 2 м. Найти кинетическую энергию тела в момент удара о землю.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Так как тело падает свободно, мы можем пренебречь сопротивлением воздуха. Полная механическая энергия тела, равная сумме его кинетической и потенциальной энергий, остается постоянной в процессе падения.

В начальный момент времени, на высоте $h = 2 \text{ м}$, тело покоится, поэтому его начальная скорость равна нулю, а следовательно, и начальная кинетическая энергия $E_{к1}$ тоже равна нулю. Вся механическая энергия тела в этот момент представлена его потенциальной энергией $E_{п1}$.

Потенциальная энергия тела на высоте $h$ вычисляется по формуле:

$E_{п1} = mgh$

В момент удара о землю высота тела равна нулю ($h=0$), поэтому его потенциальная энергия $E_{п2}$ также равна нулю. Вся механическая энергия перешла в кинетическую энергию $E_{к2}$.

Согласно закону сохранения энергии:

$E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}$

Подставляя нулевые значения, получаем:

$0 + mgh = E_{к2} + 0$

Отсюда следует, что кинетическая энергия тела в момент удара о землю равна его начальной потенциальной энергии:

$E_{к2} = mgh$

Подставим числовые значения в формулу:

$E_к = 0,4 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 2 \text{ м} = 8 \text{ Дж}$

Ответ: кинетическая энергия тела в момент удара о землю равна 8 Дж.

359. Найти потенциальную энергию тела массой 100 г, брошенного вертикально вверх со скоростью 10 м/с, в высшей точке подъёма.

Дано:

Масса тела, $m = 100 \text{ г}$
Начальная скорость, $v_0 = 10 \text{ м/с}$

Переведем массу в систему СИ:
$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Потенциальную энергию в высшей точке подъема, $E_p$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. При движении тела в поле силы тяжести, если пренебречь сопротивлением воздуха, полная механическая энергия системы остается постоянной. Полная механическая энергия $E$ равна сумме кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий.

$E = E_k + E_p = \text{const}$

В начальный момент времени (в точке броска) тело обладает максимальной кинетической энергией и нулевой потенциальной энергией (если принять уровень броска за нулевой уровень высоты, $h_0 = 0$).

Начальная кинетическая энергия: $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$
Начальная потенциальная энергия: $E_{p0} = 0$

Полная начальная энергия: $E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2}$

В высшей точке подъема скорость тела на мгновение становится равной нулю ($v = 0$), поэтому его кинетическая энергия в этой точке также равна нулю. Вся начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную.

Кинетическая энергия в высшей точке: $E_k = 0$
Потенциальная энергия в высшей точке: $E_p$

Полная энергия в высшей точке: $E = E_k + E_p = E_p$

Согласно закону сохранения энергии, начальная полная энергия равна конечной полной энергии:

$E_0 = E$
$\frac{mv_0^2}{2} = E_p$

Таким образом, чтобы найти потенциальную энергию тела в высшей точке подъема, достаточно вычислить его начальную кинетическую энергию.

Подставим числовые значения в формулу:

$E_p = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0.1 \cdot 100}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ Дж}$

Ответ: потенциальная энергия тела в высшей точке подъема равна 5 Дж.

360. Тело массой 3 кг свободно падает с высоты 5 м. Найти потенциальную и кинетическую энергию тела на расстоянии 2 м от поверхности земли.

Дано:

Масса тела, $m = 3$ кг
Начальная высота, $H = 5$ м
Высота, на которой нужно найти энергии, $h = 2$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Потенциальную энергию $E_п$ на высоте $h$
Кинетическую энергию $E_к$ на высоте $h$

Решение:

Сначала определим потенциальную энергию тела на высоте $h = 2$ м. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей, вычисляется по формуле:

$E_п = mgh$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$E_п = 3 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ м} = 60 \text{ Дж}$

Теперь найдем кинетическую энергию. Для этого воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Поскольку тело падает свободно, его начальная скорость равна нулю, а сопротивлением воздуха можно пренебречь. Это означает, что полная механическая энергия тела сохраняется в процессе падения.

Полная механическая энергия $E$ в начальный момент (на высоте $H=5$ м) равна начальной потенциальной энергии, так как кинетическая энергия равна нулю:

$E = E_{п0} + E_{к0} = m g H + 0 = m g H$

$E = 3 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5 \text{ м} = 150 \text{ Дж}$

Полная механическая энергия на высоте $h = 2$ м является суммой потенциальной и кинетической энергий в этой точке:

$E = E_п + E_к$

Отсюда мы можем выразить кинетическую энергию:

$E_к = E - E_п$

Мы уже знаем полную энергию ($150$ Дж) и потенциальную энергию на высоте $2$ м ($60$ Дж). Подставим эти значения:

$E_к = 150 \text{ Дж} - 60 \text{ Дж} = 90 \text{ Дж}$

Ответ: на расстоянии 2 м от поверхности земли потенциальная энергия тела составляет 60 Дж, а кинетическая энергия — 90 Дж.

361. Камень брошен вертикально вверх со скоростью $v_0 = 10 \text{ м/с}$. На какой высоте $h$ кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии?

Дано:

$v_0 = 10 \text{ м/с}$
Условие: $E_k = E_p$

Найти:

$h$ — ?

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Если пренебречь сопротивлением воздуха, полная механическая энергия тела, равная сумме его кинетической и потенциальной энергий, остается постоянной в процессе движения.

В начальный момент времени, когда камень бросают с поверхности земли (начальная высота $h_0 = 0$), его полная механическая энергия равна его начальной кинетической энергии, так как потенциальная энергия равна нулю.

$E_{полная} = E_{k0} + E_{p0} = \frac{m v_0^2}{2} + 0 = \frac{m v_0^2}{2}$

На искомой высоте $h$ полная механическая энергия камня складывается из его кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$:

$E_{полная} = E_k + E_p$

Согласно условию задачи, на высоте $h$ кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии:

$E_k = E_p$

Тогда можно записать полную энергию на высоте $h$ следующим образом:

$E_{полная} = E_p + E_p = 2E_p$

Потенциальная энергия тела на высоте $h$ определяется формулой $E_p = mgh$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения.

$E_{полная} = 2mgh$

По закону сохранения энергии, полная энергия в начальный момент времени равна полной энергии на высоте $h$:

$\frac{m v_0^2}{2} = 2mgh$

В этом уравнении масса камня $m$ сокращается. Выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{v_0^2}{4g}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$h = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{40 \text{ м/с}^2} = 2.5 \text{ м}$

Ответ: кинетическая энергия камня будет равна его потенциальной энергии на высоте 2,5 м.

362. Каковы значения потенциальной и кинетической энергии стрелы массой 50 г, выпущенной из лука со скоростью 30 м/с вертикально вверх, через 2 с после начала движения?

Дано:

масса стрелы $m = 50 \text{ г}$
начальная скорость $v_0 = 30 \text{ м/с}$
время $t = 2 \text{ с}$

$m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

потенциальную энергию $E_п$ и кинетическую энергию $E_к$ через 2 с.

Решение:

Движение стрелы вертикально вверх является равнозамедленным движением под действием силы тяжести. За нулевой уровень потенциальной энергии примем точку выстрела.

1. Определим высоту $h$, на которую поднимется стрела за время $t$. Используем кинематическое уравнение для перемещения:

$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения:

$h = 30 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 2 \text{ с} - \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (2 \text{ с})^2}{2} = 60 \text{ м} - \frac{10 \cdot 4}{2} \text{ м} = 60 \text{ м} - 20 \text{ м} = 40 \text{ м}$

2. Рассчитаем потенциальную энергию $E_п$ стрелы на этой высоте по формуле:

$E_п = mgh$

Подставим найденные и данные значения:

$E_п = 0.05 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 40 \text{ м} = 20 \text{ Дж}$

3. Теперь определим скорость $v$ стрелы через 2 секунды полета. Используем кинематическое уравнение для скорости:

$v = v_0 - gt$

Подставим значения:

$v = 30 \frac{\text{м}}{\text{с}} - 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ с} = 30 \frac{\text{м}}{\text{с}} - 20 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

4. Зная скорость, рассчитаем кинетическую энергию $E_к$ стрелы по формуле:

$E_к = \frac{mv^2}{2}$

Подставим значения:

$E_к = \frac{0.05 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2} = \frac{0.05 \text{ кг} \cdot 100 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{2} = \frac{5}{2} \text{ Дж} = 2.5 \text{ Дж}$

Ответ: через 2 с после начала движения потенциальная энергия стрелы равна 20 Дж, а кинетическая энергия равна 2.5 Дж.

363. С какой начальной скоростью $v_0$ надо бросить вертикально вниз мяч с высоты $h$, чтобы он после удара о землю подпрыгнул относительно начального уровня на высоту:

a) $\Delta h = 10 \text{ м}$;

б) $\Delta h = h$? Считать удар абсолютно упругим.

Дано:

Высота броска = $h$

Высота подъема относительно начального уровня = $\Delta h$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Удар о землю является абсолютно упругим.

В случае а) $\Delta h = 10 \text{ м}$

В случае б) $\Delta h = h$

Найти:

Начальную скорость $v_0$

Решение:

Данную задачу можно решить с помощью закона сохранения механической энергии. Так как по условию удар мяча о землю является абсолютно упругим, и мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, полная механическая энергия системы "мяч-Земля" сохраняется на протяжении всего движения.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность земли.

В начальный момент времени мяч находится на высоте $h$ и имеет начальную скорость $v_0$, направленную вниз. Его полная механическая энергия в этот момент равна: $E_{начальная} = E_{кинетическая} + E_{потенциальная} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$ , где $m$ — масса мяча.

После упругого удара о землю мяч поднимается на максимальную высоту $H$. По условию, эта высота на $\Delta h$ больше начальной высоты $h$. Таким образом, максимальная высота подъема относительно земли составляет $H = h + \Delta h$. В верхней точке подъема скорость мяча равна нулю, поэтому его кинетическая энергия равна нулю, а полная механическая энергия состоит только из потенциальной: $E_{конечная} = mgH = mg(h + \Delta h)$

Поскольку полная механическая энергия сохраняется ($E_{начальная} = E_{конечная}$), мы можем приравнять два этих выражения: $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = mg(h + \Delta h)$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = mgh + mg\Delta h$

Сократим слагаемое $mgh$ в обеих частях уравнения: $\frac{1}{2}mv_0^2 = mg\Delta h$

Из этого уравнения выразим искомую начальную скорость $v_0$: $v_0^2 = 2g\Delta h$ $v_0 = \sqrt{2g\Delta h}$

Это общая формула для решения задачи. Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев.

а) По условию, мяч должен подпрыгнуть на высоту $\Delta h = 10 \text{ м}$ относительно начального уровня. Подставим это значение в полученную формулу, используя значение $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$: $v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}} = \sqrt{196 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 14 \text{ м/с}$

Ответ: $14 \text{ м/с}$.

б) По условию, мяч должен подпрыгнуть на высоту $\Delta h = h$ относительно начального уровня. Подставим $\Delta h = h$ в общую формулу: $v_0 = \sqrt{2gh}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{2gh}$.

364. Тело брошено со скоростью $v_0$ под углом к горизон-ту. Определить его скорость на высоте $h$.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$
Высота, на которой нужно определить скорость: $h$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Скорость тела на высоте $h$: $v$

Решение:

Для решения этой задачи применим закон сохранения механической энергии. В отсутствие сил сопротивления воздуха полная механическая энергия тела (сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной на всей траектории полета.

Запишем полную механическую энергию тела в двух состояниях: в момент броска (начальное состояние) и на высоте $h$ (конечное состояние).

1. Начальное состояние (в точке броска).
Примем уровень, с которого брошено тело, за нулевой уровень потенциальной энергии ($h_0 = 0$). Тогда потенциальная энергия в начальный момент равна нулю ($E_{p0} = 0$).
Кинетическая энергия в начальный момент определяется начальной скоростью $v_0$: $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$, где $m$ — масса тела.
Полная начальная энергия $E_0$ равна: $E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

2. Конечное состояние (на высоте h).
На высоте $h$ тело обладает скоростью $v$, которую нужно найти, и потенциальной энергией $E_p = mgh$.
Кинетическая энергия на высоте $h$ равна $E_k = \frac{mv^2}{2}$.
Полная энергия $E$ на высоте $h$ равна: $E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в начальном состоянии равна полной энергии в конечном состоянии: $E_0 = E$ $\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Для того чтобы найти скорость $v$, решим это уравнение. Сначала разделим все члены уравнения на массу $m$: $\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} + gh$

Затем умножим обе части уравнения на 2: $v_0^2 = v^2 + 2gh$

Выразим $v^2$: $v^2 = v_0^2 - 2gh$

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль скорости $v$: $v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$

Полученная формула показывает, что скорость тела на определенной высоте зависит только от начальной скорости и этой высоты, но не зависит от угла броска.

Ответ: $v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$

365. Начальная скорость пули 600 м/с, её масса 10 г. Под каким углом к горизонту она вылетела из дула ружья, если её кинетическая энергия в высшей точке траектории равна 450 Дж?

Дано:

$v_0 = 600$ м/с

$m = 10$ г

$E_{k_h} = 450$ Дж

$m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

Найти:

$\alpha$ - ?

Решение:

При движении тела, брошенного под углом к горизонту, его скорость в любой точке траектории можно разложить на две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$. В начальный момент времени:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

где $\alpha$ — угол, под которым тело брошено к горизонту.

При отсутствии сопротивления воздуха горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной на протяжении всего полета. Вертикальная составляющая скорости $v_y$ уменьшается под действием силы тяжести, и в высшей точке траектории она становится равной нулю ($v_y = 0$).

Таким образом, в высшей точке траектории полная скорость пули равна ее горизонтальной составляющей:

$v_h = v_x = v_0 \cos(\alpha)$

Кинетическая энергия пули в этой точке определяется формулой:

$E_{k_h} = \frac{m v_h^2}{2}$

Подставим выражение для скорости $v_h$:

$E_{k_h} = \frac{m (v_0 \cos(\alpha))^2}{2} = \frac{m v_0^2 \cos^2(\alpha)}{2}$

Выразим из этой формулы $\cos(\alpha)$:

$2 E_{k_h} = m v_0^2 \cos^2(\alpha)$

$\cos^2(\alpha) = \frac{2 E_{k_h}}{m v_0^2}$

$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{2 E_{k_h}}{m v_0^2}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{2 \cdot 450 \text{ Дж}}{0.01 \text{ кг} \cdot (600 \text{ м/с})^2}} = \sqrt{\frac{900}{0.01 \cdot 360000}} = \sqrt{\frac{900}{3600}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: пуля вылетела из дула ружья под углом $60^\circ$ к горизонту.

366. Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур не обрываясь, равна 550 Н.

Дано:

Масса груза: $m = 25$ кг
Длина шнура: $L = 2,5$ м
Максимальная сила натяжения: $T_{max} = 550$ Н

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с² для удобства расчетов, что является стандартной практикой для многих школьных задач.

Найти:

Наибольшую высоту подъема груза $h$.

Решение:

Когда груз, подвешенный на шнуре, совершает свободные качания, он движется по дуге окружности. Сила натяжения шнура достигает своего максимального значения в самой нижней точке траектории. Это происходит потому, что в этой точке скорость груза максимальна, и сила натяжения должна не только компенсировать силу тяжести, но и обеспечивать необходимое центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для груза в нижней точке траектории. Направим ось OY вертикально вверх, к точке подвеса.

$T_{max} - mg = F_{цс}$

где $F_{цс}$ — центростремительная сила, которая определяется по формуле $F_{цс} = \frac{mv^2}{L}$. Здесь $v$ — скорость груза в нижней точке, а $L$ — длина шнура, которая является радиусом траектории.

Следовательно, уравнение принимает вид:

$T_{max} - mg = \frac{mv^2}{L}$

Для нахождения скорости $v$ в нижней точке воспользуемся законом сохранения механической энергии. Сравним состояние системы в двух точках: в точке максимального отклонения (на высоте $h$) и в нижней точке траектории (примем ее за нулевой уровень потенциальной энергии, $h=0$).

Энергия в начальной точке (на высоте $h$): груз неподвижен ($v_0=0$), поэтому его энергия полностью потенциальная: $E_1 = mgh$.

Энергия в нижней точке: высота равна нулю, поэтому энергия полностью кинетическая: $E_2 = \frac{mv^2}{2}$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Из этого соотношения выразим квадрат скорости: $v^2 = 2gh$.

Теперь подставим это выражение для $v^2$ в уравнение второго закона Ньютона:

$T_{max} - mg = \frac{m(2gh)}{L}$

Наша цель — найти высоту $h$. Выразим ее из этого уравнения:

$L(T_{max} - mg) = 2mgh$

$h = \frac{L(T_{max} - mg)}{2mg}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{2,5 \cdot (550 - 25 \cdot 10)}{2 \cdot 25 \cdot 10} = \frac{2,5 \cdot (550 - 250)}{500} = \frac{2,5 \cdot 300}{500} = \frac{750}{500} = 1,5$ м.

Ответ: наибольшая высота, на которую можно отвести груз, чтобы шнур не оборвался, составляет 1,5 м.