Страница 46 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

310. Брусок массой 400 г под действием груза массой 100 г (рис. 42) проходит из состояния покоя путь 80 см за 2 с. Найти коэффициент трения.

Рис. 42

Дано:
Масса бруска, $m_1 = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$
Масса груза, $m_2 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
Пройденный путь, $s = 80 \text{ см} = 0.8 \text{ м}$
Время движения, $t = 2 \text{ с}$
Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (из состояния покоя)
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:
Коэффициент трения, $\mu$

Решение:

1. Сначала определим ускорение, с которым движется система тел. Поскольку движение равноускоренное и начинается из состояния покоя, воспользуемся кинематической формулой пути: $s = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула принимает вид: $s = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение $a$: $a = \frac{2s}{t^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $a = \frac{2 \cdot 0.8 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{1.6 \text{ м}}{4 \text{ с}^2} = 0.4 \text{ м/с}^2$

2. Теперь применим второй закон Ньютона для каждого тела в системе. Считаем нить невесомой и нерастяжимой, а трение в блоке пренебрежимо малым.

Для груза массой $m_2$, который движется вертикально вниз, уравнение в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, имеет вид: $m_2g - T = m_2a$ (1), где $T$ – сила натяжения нити.

Для бруска массой $m_1$, который движется по горизонтальной поверхности, рассмотрим силы по осям. По вертикали сила тяжести $m_1g$ уравновешивается силой нормальной реакции опоры $N$: $N = m_1g$ По горизонтали на брусок действуют сила натяжения нити $T$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Уравнение в проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону движения: $T - F_{тр} = m_1a$ (2)

Сила трения скольжения выражается через коэффициент трения $\mu$ и силу нормальной реакции $N$: $F_{тр} = \mu N = \mu m_1g$

Подставим это выражение для силы трения в уравнение (2): $T - \mu m_1g = m_1a$ (3)

3. Решим систему уравнений (1) и (3) для нахождения $\mu$. $\begin{cases} m_2g - T = m_2a \\ T - \mu m_1g = m_1a \end{cases}$

Сложим левые и правые части этих уравнений, чтобы исключить силу натяжения $T$: $(m_2g - T) + (T - \mu m_1g) = m_2a + m_1a$

После упрощения получаем: $m_2g - \mu m_1g = (m_1 + m_2)a$

Выразим из этого уравнения искомый коэффициент трения $\mu$: $\mu m_1g = m_2g - (m_1 + m_2)a$ $\mu = \frac{m_2g - (m_1 + m_2)a}{m_1g}$

4. Подставим все известные числовые значения в полученную формулу: $\mu = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 - (0.4 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}) \cdot 0.4 \text{ м/с}^2}{0.4 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}$ $\mu = \frac{1 \text{ Н} - 0.5 \text{ кг} \cdot 0.4 \text{ м/с}^2}{4 \text{ Н}}$ $\mu = \frac{1 \text{ Н} - 0.2 \text{ Н}}{4 \text{ Н}}$ $\mu = \frac{0.8}{4} = 0.2$

Ответ: коэффициент трения равен 0,2.

311*. Электровоз тянет состав, состоящий из $n$ одинаковых вагонов, с ускорением $a$. Найти силу натяжения сцепки между $k$-м (считая от начала состава) и $(k + 1)$-м вагонами, если масса каждого вагона $m$, а коэффициент сопротивления $\mu$.

Дано:

Число вагонов в составе: $n$
Ускорение состава: $a$
Масса каждого вагона: $m$
Коэффициент сопротивления: $\mu$
Порядковый номер сцепки: между $k$-м и $(k+1)$-м вагонами

Найти:

Силу натяжения сцепки $T_k$.

Решение:

Искомая сила натяжения $T_k$ действует в сцепке между $k$-м и $(k+1)$-м вагонами. Эта сила сообщает ускорение $a$ всей задней части состава, начиная с $(k+1)$-го вагона, и преодолевает действующую на эту часть силу сопротивления.

Рассмотрим систему тел, состоящую из вагонов с номера $(k+1)$ по $n$. Число вагонов в этой системе равно $n - (k+1) + 1 = n - k$.

Суммарная масса этой части состава составляет: $M_{задн} = (n-k)m$

Сила сопротивления для одного вагона определяется коэффициентом сопротивления $\mu$. Для движения по горизонтальной поверхности сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции $N$, которая равна силе тяжести $mg$. Таким образом, сила сопротивления для одного вагона: $F_{сопр.1} = \mu mg$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Суммарная сила сопротивления для $(n-k)$ вагонов задней части состава: $F_{сопр.задн} = (n-k)\mu mg$

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к системе, равна произведению массы системы на ее ускорение. Весь поезд движется с одинаковым ускорением $a$. Запишем уравнение движения для задней части состава в проекции на направление движения: $T_k - F_{сопр.задн} = M_{задн} \cdot a$

Подставим в это уравнение выражения для массы и силы сопротивления: $T_k - (n-k)\mu mg = (n-k)m a$

Выразим из этого уравнения искомую силу натяжения $T_k$: $T_k = (n-k)m a + (n-k)\mu mg$

Вынесем общие множители $(n-k)m$ за скобки и получим окончательный ответ: $T_k = (n-k)m(a + \mu g)$

Ответ: Сила натяжения сцепки между $k$-м и $(k+1)$-м вагонами равна $T_k = (n-k)m(a + \mu g)$.

312*. С каким ускорением $a$ движется система, изображённая на рисунке 43, если $m = 1 \text{ кг}$ и коэффициент трения $\mu = 0,2$? Какова сила натяжения нити $F_{\text{н}1}$, связывающей тела I и II, и сила натяжения нити $F_{\text{н}2}$, связывающей тела II и III?

Рис. 43

Дано:

Масса тела I: $m_1 = m = 1$ кг
Масса тела II: $m_2 = m = 1$ кг
Масса тела III: $m_3 = 2m = 2 \cdot 1 = 2$ кг
Коэффициент трения скольжения: $μ = 0,2$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$a - ?$ (ускорение системы)
$F_{н1} - ?$ (сила натяжения нити между телами I и II)
$F_{н2} - ?$ (сила натяжения нити между телами II и III)

Решение:

На систему тел действуют силы тяжести и сила трения. Так как сила тяжести, действующая на тело III ($P_3 = m_3 g = 2mg$), больше силы тяжести, действующей на тело I ($P_1 = m_1 g = mg$), то тело III будет опускаться вниз, увлекая за собой тело II вправо, а тело I будет подниматься вверх. Предполагая нити невесомыми и нерастяжимыми, а блоки идеальными (без массы и трения), все три тела будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекции на направление их движения.

1. Для тела I (массой $m$), движущегося вертикально вверх:

$m\vec{a} = \vec{F}_{н1} + m\vec{g}$

В проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$ma = F_{н1} - mg$ (1)

2. Для тела III (массой $2m$), движущегося вертикально вниз:

$2m\vec{a} = \vec{F}_{н2} + 2m\vec{g}$

В проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$2ma = 2mg - F_{н2}$ (2)

3. Для тела II (массой $m$), движущегося горизонтально вправо:

$m\vec{a} = \vec{F}_{н2} + \vec{F}_{н1} + \vec{F}_{тр} + \vec{N} + m\vec{g}$

В проекции на горизонтальную ось OX, направленную вправо:

$ma = F_{н2} - F_{н1} - F_{тр}$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ равна $F_{тр} = \mu N$. Из проекции на вертикальную ось для тела II ($OY: 0 = N - mg$) следует, что сила нормальной реакции опоры $N=mg$. Таким образом, $F_{тр} = \mu mg$.

Подставим выражение для силы трения в уравнение движения для тела II:

$ma = F_{н2} - F_{н1} - \mu mg$ (3)

С каким ускорением a движется система

Для нахождения ускорения $a$ решим систему уравнений (1), (2) и (3). Для этого выразим силы натяжения $F_{н1}$ и $F_{н2}$ из уравнений (1) и (2) и подставим их в уравнение (3).

Из (1): $F_{н1} = ma + mg$

Из (2): $F_{н2} = 2mg - 2ma$

Подставляем полученные выражения в уравнение (3):

$ma = (2mg - 2ma) - (ma + mg) - \mu mg$

$ma = 2mg - 2ma - ma - mg - \mu mg$

Теперь соберем все слагаемые, содержащие ускорение $a$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$ma + 2ma + ma = 2mg - mg - \mu mg$

$4ma = mg - \mu mg$

$4ma = mg(1 - \mu)$

Сокращаем на массу $m$ и выражаем ускорение $a$:

$a = \frac{g(1 - \mu)}{4}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{9,8 \text{ м/с²} \cdot (1 - 0,2)}{4} = \frac{9,8 \cdot 0,8}{4} = \frac{7,84}{4} = 1,96 \text{ м/с²}$

Ответ: $a = 1,96$ м/с².

Какова сила натяжения нити F_н1, связывающей тела I и II

Силу натяжения $F_{н1}$ найдем из уравнения (1), подставив в него найденное значение ускорения $a$.

$F_{н1} = m(a + g)$

$F_{н1} = 1 \text{ кг} \cdot (1,96 \text{ м/с²} + 9,8 \text{ м/с²}) = 1 \cdot 11,76 = 11,76 \text{ Н}$

Ответ: $F_{н1} = 11,76$ Н.

и сила натяжения нити F_н2, связывающей тела II и III

Силу натяжения $F_{н2}$ найдем из уравнения (2), подставив в него значение ускорения $a$.

$F_{н2} = 2m(g - a)$

$F_{н2} = 2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с²} - 1,96 \text{ м/с²}) = 2 \cdot 7,84 = 15,68 \text{ Н}$

Ответ: $F_{н2} = 15,68$ Н.

313. Найти силу трения, действующую на груз массой $m$ (рис. 44), ускорение движения грузов и силу натяжения нити, если $h = 60$ см, $l = 1$ м, $m = 0,5$ кг, $\mu = 0,25$. Решить задачу при следующих значениях массы груза $M$:

а) 0,1 кг;

б) 0,25 кг;

в) 0,3 кг;

г) 0,35 кг;

д) 0,5 кг.

Рис. 44

Дано

$h = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
$l = 1 \text{ м}$
$m = 0.5 \text{ кг}$
$μ = 0.25$
$g \approx 9.8 \text{ м/с²}$

Масса груза $M$ принимает значения:

а) $M_а = 0.1 \text{ кг}$

б) $M_б = 0.25 \text{ кг}$

в) $M_в = 0.3 \text{ кг}$

г) $M_г = 0.35 \text{ кг}$

д) $M_д = 0.5 \text{ кг}$

Найти:

Для каждого случая найти силу трения $F_{тр}$, ускорение грузов $a$ и силу натяжения нити $T$.

Решение

Сначала проведем общий анализ системы. На груз $m$ на наклонной плоскости действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$, сила натяжения нити $T$ и сила трения $F_{тр}$. На подвешенный груз $M$ действуют сила тяжести $Mg$ и сила натяжения нити $T$.

Найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{0.6 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 0.6$

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$

Проекция силы тяжести груза $m$ на ось, параллельную наклонной плоскости:

$F_{g_x} = mg\sin(\alpha) = 0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 0.6 = 2.94 \text{ Н}$

Проекция силы тяжести груза $m$ на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, равна силе нормальной реакции:

$N = mg\cos(\alpha) = 0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 0.8 = 3.92 \text{ Н}$

Максимальная сила трения покоя (и сила трения скольжения) равна:

$F_{тр.макс} = F_{тр.ск} = \mu N = 0.25 \cdot 3.92 \text{ Н} = 0.98 \text{ Н}$

Теперь определим условия движения системы:

1. Система покоится, если сила, стремящаяся сдвинуть систему, не превышает сумму сил сопротивления. То есть, если $|Mg - mg\sin(\alpha)| \le F_{тр.макс}$.
2. Если $Mg > mg\sin(\alpha) + F_{тр.макс}$, груз $M$ движется вниз, а груз $m$ — вверх по плоскости.
3. Если $mg\sin(\alpha) > Mg + F_{тр.макс}$, груз $m$ соскальзывает вниз, а груз $M$ поднимается.

Подставим числовые значения в условие покоя:

$|Mg - 2.94 \text{ Н}| \le 0.98 \text{ Н}$

$-0.98 \le Mg - 2.94 \le 0.98$

$1.96 \le Mg \le 3.92$

Разделив на $g = 9.8 \text{ м/с²}$, получим диапазон масс $M$, при которых система находится в покое:

$0.2 \text{ кг} \le M \le 0.4 \text{ кг}$

Теперь решим задачу для каждого конкретного значения массы $M$.

а) M = 0.1 кг

Так как $M = 0.1 \text{ кг} < 0.2 \text{ кг}$, груз $m$ будет соскальзывать вниз по наклонной плоскости. Сила трения скольжения направлена вверх по плоскости и равна $F_{тр} = F_{тр.ск} = 0.98 \text{ Н}$.

Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов (ускорение $a$ направлено вниз по плоскости для $m$ и вверх для $M$):

$mg\sin(\alpha) - T - F_{тр} = ma$

$T - Mg = Ma$

Сложим уравнения: $mg\sin(\alpha) - Mg - F_{тр} = (m+M)a$

$a = \frac{mg\sin(\alpha) - Mg - F_{тр}}{m+M} = \frac{2.94 \text{ Н} - 0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} - 0.98 \text{ Н}}{0.5 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}} = \frac{2.94 - 0.98 - 0.98}{0.6} = \frac{0.98}{0.6} \approx 1.63 \text{ м/с²}$

Из второго уравнения найдем силу натяжения нити:

$T = M(g+a) = 0.1 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с²} + 1.63 \text{ м/с²}) = 0.1 \cdot 11.43 = 1.143 \text{ Н} \approx 1.14 \text{ Н}$

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0.98 \text{ Н}$ (направлена вверх по плоскости), ускорение $a \approx 1.63 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T \approx 1.14 \text{ Н}$.

б) M = 0.25 кг

Так как $0.2 \text{ кг} \le M = 0.25 \text{ кг} \le 0.4 \text{ кг}$, система находится в покое. Ускорение $a = 0$.

Сила тяжести груза $M$: $Mg = 0.25 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} = 2.45 \text{ Н}$.

Сравниваем с $mg\sin(\alpha) = 2.94 \text{ Н}$. Так как $mg\sin(\alpha) > Mg$, система стремится начать движение в сторону соскальзывания груза $m$. Сила трения покоя $F_{тр}$ будет направлена вверх по плоскости, компенсируя разницу сил:

$F_{тр} = mg\sin(\alpha) - Mg = 2.94 \text{ Н} - 2.45 \text{ Н} = 0.49 \text{ Н}$. Эта сила меньше $F_{тр.макс}$, что подтверждает состояние покоя.

Сила натяжения нити равна весу груза $M$: $T = Mg = 2.45 \text{ Н}$.

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0.49 \text{ Н}$ (направлена вверх по плоскости), ускорение $a = 0 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 2.45 \text{ Н}$.

в) M = 0.3 кг

Так как $0.2 \text{ кг} \le M = 0.3 \text{ кг} \le 0.4 \text{ кг}$, система находится в покое. Ускорение $a = 0$.

Сила тяжести груза $M$: $Mg = 0.3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} = 2.94 \text{ Н}$.

В этом случае $mg\sin(\alpha) = Mg = 2.94 \text{ Н}$. Силы, действующие вдоль нити, уравновешены, и сила трения не возникает.

$F_{тр} = 0 \text{ Н}$.

Сила натяжения нити равна весу груза $M$: $T = Mg = 2.94 \text{ Н}$.

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0 \text{ Н}$, ускорение $a = 0 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 2.94 \text{ Н}$.

г) M = 0.35 кг

Так как $0.2 \text{ кг} \le M = 0.35 \text{ кг} \le 0.4 \text{ кг}$, система находится в покое. Ускорение $a = 0$.

Сила тяжести груза $M$: $Mg = 0.35 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} = 3.43 \text{ Н}$.

Сравниваем с $mg\sin(\alpha) = 2.94 \text{ Н}$. Так как $Mg > mg\sin(\alpha)$, система стремится начать движение в сторону опускания груза $M$. Сила трения покоя $F_{тр}$ будет направлена вниз по плоскости, компенсируя разницу сил:

$F_{тр} = Mg - mg\sin(\alpha) = 3.43 \text{ Н} - 2.94 \text{ Н} = 0.49 \text{ Н}$. Эта сила меньше $F_{тр.макс}$, что подтверждает состояние покоя.

Сила натяжения нити равна весу груза $M$: $T = Mg = 3.43 \text{ Н}$.

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0.49 \text{ Н}$ (направлена вниз по плоскости), ускорение $a = 0 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 3.43 \text{ Н}$.

д) M = 0.5 кг

Так как $M = 0.5 \text{ кг} > 0.4 \text{ кг}$, груз $M$ движется вниз, а груз $m$ — вверх по плоскости. Сила трения скольжения направлена вниз по плоскости и равна $F_{тр} = F_{тр.ск} = 0.98 \text{ Н}$.

Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов (ускорение $a$ направлено вниз для $M$ и вверх по плоскости для $m$):

$Mg - T = Ma$

$T - mg\sin(\alpha) - F_{тр} = ma$

Сложим уравнения: $Mg - mg\sin(\alpha) - F_{тр} = (M+m)a$

$a = \frac{Mg - mg\sin(\alpha) - F_{тр}}{M+m} = \frac{0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} - 2.94 \text{ Н} - 0.98 \text{ Н}}{0.5 \text{ кг} + 0.5 \text{ кг}} = \frac{4.9 - 2.94 - 0.98}{1.0} = 0.98 \text{ м/с²}$

Из первого уравнения найдем силу натяжения нити:

$T = M(g-a) = 0.5 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с²} - 0.98 \text{ м/с²}) = 0.5 \cdot 8.82 = 4.41 \text{ Н}$

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0.98 \text{ Н}$ (направлена вниз по плоскости), ускорение $a = 0.98 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 4.41 \text{ Н}$.