Номер 313, страница 46 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

313. Найти силу трения, действующую на груз массой $m$ (рис. 44), ускорение движения грузов и силу натяжения нити, если $h = 60$ см, $l = 1$ м, $m = 0,5$ кг, $\mu = 0,25$. Решить задачу при следующих значениях массы груза $M$:

а) 0,1 кг;

б) 0,25 кг;

в) 0,3 кг;

г) 0,35 кг;

д) 0,5 кг.

Рис. 44

Дано

$h = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
$l = 1 \text{ м}$
$m = 0.5 \text{ кг}$
$μ = 0.25$
$g \approx 9.8 \text{ м/с²}$

Масса груза $M$ принимает значения:

а) $M_а = 0.1 \text{ кг}$

б) $M_б = 0.25 \text{ кг}$

в) $M_в = 0.3 \text{ кг}$

г) $M_г = 0.35 \text{ кг}$

д) $M_д = 0.5 \text{ кг}$

Найти:

Для каждого случая найти силу трения $F_{тр}$, ускорение грузов $a$ и силу натяжения нити $T$.

Решение

Сначала проведем общий анализ системы. На груз $m$ на наклонной плоскости действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$, сила натяжения нити $T$ и сила трения $F_{тр}$. На подвешенный груз $M$ действуют сила тяжести $Mg$ и сила натяжения нити $T$.

Найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{0.6 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 0.6$

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$

Проекция силы тяжести груза $m$ на ось, параллельную наклонной плоскости:

$F_{g_x} = mg\sin(\alpha) = 0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 0.6 = 2.94 \text{ Н}$

Проекция силы тяжести груза $m$ на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, равна силе нормальной реакции:

$N = mg\cos(\alpha) = 0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 0.8 = 3.92 \text{ Н}$

Максимальная сила трения покоя (и сила трения скольжения) равна:

$F_{тр.макс} = F_{тр.ск} = \mu N = 0.25 \cdot 3.92 \text{ Н} = 0.98 \text{ Н}$

Теперь определим условия движения системы:

1. Система покоится, если сила, стремящаяся сдвинуть систему, не превышает сумму сил сопротивления. То есть, если $|Mg - mg\sin(\alpha)| \le F_{тр.макс}$.
2. Если $Mg > mg\sin(\alpha) + F_{тр.макс}$, груз $M$ движется вниз, а груз $m$ — вверх по плоскости.
3. Если $mg\sin(\alpha) > Mg + F_{тр.макс}$, груз $m$ соскальзывает вниз, а груз $M$ поднимается.

Подставим числовые значения в условие покоя:

$|Mg - 2.94 \text{ Н}| \le 0.98 \text{ Н}$

$-0.98 \le Mg - 2.94 \le 0.98$

$1.96 \le Mg \le 3.92$

Разделив на $g = 9.8 \text{ м/с²}$, получим диапазон масс $M$, при которых система находится в покое:

$0.2 \text{ кг} \le M \le 0.4 \text{ кг}$

Теперь решим задачу для каждого конкретного значения массы $M$.

а) M = 0.1 кг

Так как $M = 0.1 \text{ кг} < 0.2 \text{ кг}$, груз $m$ будет соскальзывать вниз по наклонной плоскости. Сила трения скольжения направлена вверх по плоскости и равна $F_{тр} = F_{тр.ск} = 0.98 \text{ Н}$.

Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов (ускорение $a$ направлено вниз по плоскости для $m$ и вверх для $M$):

$mg\sin(\alpha) - T - F_{тр} = ma$

$T - Mg = Ma$

Сложим уравнения: $mg\sin(\alpha) - Mg - F_{тр} = (m+M)a$

$a = \frac{mg\sin(\alpha) - Mg - F_{тр}}{m+M} = \frac{2.94 \text{ Н} - 0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} - 0.98 \text{ Н}}{0.5 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}} = \frac{2.94 - 0.98 - 0.98}{0.6} = \frac{0.98}{0.6} \approx 1.63 \text{ м/с²}$

Из второго уравнения найдем силу натяжения нити:

$T = M(g+a) = 0.1 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с²} + 1.63 \text{ м/с²}) = 0.1 \cdot 11.43 = 1.143 \text{ Н} \approx 1.14 \text{ Н}$

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0.98 \text{ Н}$ (направлена вверх по плоскости), ускорение $a \approx 1.63 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T \approx 1.14 \text{ Н}$.

б) M = 0.25 кг

Так как $0.2 \text{ кг} \le M = 0.25 \text{ кг} \le 0.4 \text{ кг}$, система находится в покое. Ускорение $a = 0$.

Сила тяжести груза $M$: $Mg = 0.25 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} = 2.45 \text{ Н}$.

Сравниваем с $mg\sin(\alpha) = 2.94 \text{ Н}$. Так как $mg\sin(\alpha) > Mg$, система стремится начать движение в сторону соскальзывания груза $m$. Сила трения покоя $F_{тр}$ будет направлена вверх по плоскости, компенсируя разницу сил:

$F_{тр} = mg\sin(\alpha) - Mg = 2.94 \text{ Н} - 2.45 \text{ Н} = 0.49 \text{ Н}$. Эта сила меньше $F_{тр.макс}$, что подтверждает состояние покоя.

Сила натяжения нити равна весу груза $M$: $T = Mg = 2.45 \text{ Н}$.

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0.49 \text{ Н}$ (направлена вверх по плоскости), ускорение $a = 0 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 2.45 \text{ Н}$.

в) M = 0.3 кг

Так как $0.2 \text{ кг} \le M = 0.3 \text{ кг} \le 0.4 \text{ кг}$, система находится в покое. Ускорение $a = 0$.

Сила тяжести груза $M$: $Mg = 0.3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} = 2.94 \text{ Н}$.

В этом случае $mg\sin(\alpha) = Mg = 2.94 \text{ Н}$. Силы, действующие вдоль нити, уравновешены, и сила трения не возникает.

$F_{тр} = 0 \text{ Н}$.

Сила натяжения нити равна весу груза $M$: $T = Mg = 2.94 \text{ Н}$.

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0 \text{ Н}$, ускорение $a = 0 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 2.94 \text{ Н}$.

г) M = 0.35 кг

Так как $0.2 \text{ кг} \le M = 0.35 \text{ кг} \le 0.4 \text{ кг}$, система находится в покое. Ускорение $a = 0$.

Сила тяжести груза $M$: $Mg = 0.35 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} = 3.43 \text{ Н}$.

Сравниваем с $mg\sin(\alpha) = 2.94 \text{ Н}$. Так как $Mg > mg\sin(\alpha)$, система стремится начать движение в сторону опускания груза $M$. Сила трения покоя $F_{тр}$ будет направлена вниз по плоскости, компенсируя разницу сил:

$F_{тр} = Mg - mg\sin(\alpha) = 3.43 \text{ Н} - 2.94 \text{ Н} = 0.49 \text{ Н}$. Эта сила меньше $F_{тр.макс}$, что подтверждает состояние покоя.

Сила натяжения нити равна весу груза $M$: $T = Mg = 3.43 \text{ Н}$.

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0.49 \text{ Н}$ (направлена вниз по плоскости), ускорение $a = 0 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 3.43 \text{ Н}$.

д) M = 0.5 кг

Так как $M = 0.5 \text{ кг} > 0.4 \text{ кг}$, груз $M$ движется вниз, а груз $m$ — вверх по плоскости. Сила трения скольжения направлена вниз по плоскости и равна $F_{тр} = F_{тр.ск} = 0.98 \text{ Н}$.

Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов (ускорение $a$ направлено вниз для $M$ и вверх по плоскости для $m$):

$Mg - T = Ma$

$T - mg\sin(\alpha) - F_{тр} = ma$

Сложим уравнения: $Mg - mg\sin(\alpha) - F_{тр} = (M+m)a$

$a = \frac{Mg - mg\sin(\alpha) - F_{тр}}{M+m} = \frac{0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} - 2.94 \text{ Н} - 0.98 \text{ Н}}{0.5 \text{ кг} + 0.5 \text{ кг}} = \frac{4.9 - 2.94 - 0.98}{1.0} = 0.98 \text{ м/с²}$

Из первого уравнения найдем силу натяжения нити:

$T = M(g-a) = 0.5 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с²} - 0.98 \text{ м/с²}) = 0.5 \cdot 8.82 = 4.41 \text{ Н}$

Ответ: Сила трения $F_{тр} = 0.98 \text{ Н}$ (направлена вниз по плоскости), ускорение $a = 0.98 \text{ м/с²}$, сила натяжения нити $T = 4.41 \text{ Н}$.