Номер 307, страница 45 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

307. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 0,3 и 0,34 кг. За 2 с после начала движения каждый груз прошёл путь 1,2 м. По данным опыта найти ускорение свободного падения.

Дано:

$m_1 = 0,3$ кг

$m_2 = 0,34$ кг

$t = 2$ с

$S = 1,2$ м

$v_0 = 0$ м/с

Найти:

$g$

Решение:

Данная система представляет собой машину Атвуда. Поскольку массы грузов различны ($m_2 > m_1$), система выйдет из равновесия и начнет двигаться с ускорением. Более тяжелый груз ($m_2$) будет опускаться, а более легкий ($m_1$) — подниматься. Так как нить нерастяжима, оба груза будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a$.

1. Сначала найдем ускорение системы $a$ из кинематических данных. Грузы начинают движение из состояния покоя, следовательно, их начальная скорость $v_0 = 0$. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении, описывается формулой:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, формула принимает вид:

$S = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение $a$:

$a = \frac{2S}{t^2}$

Подставим известные значения:

$a = \frac{2 \cdot 1,2 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{2,4 \text{ м}}{4 \text{ с}^2} = 0,6 \text{ м/с}^2$

2. Теперь применим второй закон Ньютона для каждого груза. На каждый груз действуют сила тяжести (вниз) и сила натяжения нити $T$ (вверх). Запишем уравнения движения в проекции на вертикальную ось. Для удобства направим ось для каждого груза в сторону его движения.

Для легкого груза $m_1$ (движется вверх):

$T - m_1g = m_1a$

Для тяжелого груза $m_2$ (движется вниз):

$m_2g - T = m_2a$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными ($T$ и $g$, так как $a$ мы уже нашли).

$\begin{cases} T - m_1g = m_1a \\ m_2g - T = m_2a \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений, чтобы исключить силу натяжения нити $T$:

$(T - m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$

$m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a$

$g(m_2 - m_1) = (m_1 + m_2)a$

Выразим из этого соотношения искомое ускорение свободного падения $g$:

$g = a \frac{m_1 + m_2}{m_2 - m_1}$

3. Подставим в полученную формулу числовые значения:

$g = 0,6 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{0,3 \text{ кг} + 0,34 \text{ кг}}{0,34 \text{ кг} - 0,3 \text{ кг}}$

$g = 0,6 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{0,64 \text{ кг}}{0,04 \text{ кг}}$

$g = 0,6 \cdot 16 \text{ м/с}^2 = 9,6 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения равно $9,6 \text{ м/с}^2$.