Номер 302, страница 44 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

302. Груз, подвешенный на нити длиной $l = 60$ см, двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростью $v$ движется груз, если во время его движения нить образует с вертикалью постоянный угол $\alpha = 30^\circ$?

Дано:

$l = 60 \text{ см}$

$\alpha = 30^\circ$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$l = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Груз, движущийся по окружности в горизонтальной плоскости на нити, представляет собой конический маятник. На груз действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих двух сил сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c$, направленное горизонтально к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, $m\vec{a_c} = \vec{T} + m\vec{g}$.

Выберем систему координат: ось $OY$ направим вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально к центру окружности. Спроецируем векторное уравнение на эти оси:

Проекция на ось $OY$: $T \cos(\alpha) - mg = 0 \implies T \cos(\alpha) = mg \quad (1)$

Проекция на ось $OX$: $T \sin(\alpha) = ma_c \quad (2)$

Центростремительное ускорение равно $a_c = \frac{v^2}{r}$, где $v$ — искомая скорость груза, а $r$ — радиус окружности, по которой он движется. Из геометрии маятника следует, что радиус $r = l \sin(\alpha)$.

Подставим выражение для $a_c$ в уравнение (2): $T \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{r}$.

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{m v^2/r}{mg}$

После сокращения $T$ и $m$ получаем:

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gr}$

Выразим отсюда квадрат скорости:

$v^2 = gr \tan(\alpha)$

Подставим в это выражение формулу для радиуса $r = l \sin(\alpha)$:

$v^2 = g(l \sin(\alpha))\tan(\alpha)$

Тогда скорость $v$ равна:

$v = \sqrt{gl \sin(\alpha) \tan(\alpha)}$

Теперь выполним вычисления, подставив известные значения:

$v = \sqrt{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.6 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) \cdot \tan(30^\circ)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 0.5$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$v = \sqrt{9.8 \cdot 0.6 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{2.94 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{1.6974} \approx 1.303 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр, как в исходных данных ($l = 60$ см), получаем $v \approx 1.3$ м/с.

Ответ: $v \approx 1.3 \text{ м/с}$.