Номер 299, страница 44 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

299. На конце стержня длиной 1 м укреплён груз массой 0,4 кг, приводимый во вращение в вертикальной плоскости с постоянной частотой обращения. С какой силой действует груз на стержень в верхней и нижней точках траектории при частоте обращения: а) $0,4 \text{ с}^{-1}$; б) $0,5 \text{ с}^{-1}$; в) $1 \text{ с}^{-1}$?

Дано:

Длина стержня (радиус вращения), $R = 1 \text{ м}$

Масса груза, $m = 0,4 \text{ кг}$

Частота вращения а), $\nu_a = 0,4 \text{ с}^{-1}$

Частота вращения б), $\nu_б = 0,5 \text{ с}^{-1}$

Частота вращения в), $\nu_в = 1 \text{ с}^{-1}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Силу действия груза на стержень в верхней ($F_{в}$) и нижней ($F_{н}$) точках траектории для каждого случая частоты.

Решение:

Сила, с которой груз действует на стержень, согласно третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости стержня ($T$), действующей на груз. Таким образом, нам нужно найти модуль силы $T$.

При движении по окружности на груз действует центростремительное ускорение $a_c$, которое связано с частотой вращения $\nu$ и радиусом $R$ следующим соотношением:

$a_c = \omega^2 R = (2\pi\nu)^2 R = 4\pi^2\nu^2 R$, где $\omega$ - угловая скорость.

Запишем второй закон Ньютона для груза в верхней и нижней точках траектории.

Верхняя точка траектории:

На груз действуют сила тяжести $mg$ и сила со стороны стержня $T_в$. Обе силы потенциально направлены к центру окружности (вниз). Их равнодействующая сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c$, также направленное вниз. Выберем положительное направление оси Y вниз.

$T_в + mg = m a_c$

Отсюда сила, с которой стержень действует на груз:

$T_в = m a_c - mg = m(4\pi^2\nu^2 R - g)$

Искомая сила, с которой груз действует на стержень, равна по модулю $F_в = |T_в| = |m(4\pi^2\nu^2 R - g)|$. Если $T_в > 0$, стержень растянут (груз тянет его вверх). Если $T_в < 0$ — сжат (груз давит на него вниз).

Нижняя точка траектории:

На груз действуют сила со стороны стержня $T_н$ (направлена вверх, к центру) и сила тяжести $mg$ (направлена вниз). Центростремительное ускорение $a_c$ направлено вверх. Выберем положительное направление оси Y вверх.

$T_н - mg = m a_c$

Отсюда сила, с которой стержень действует на груз:

$T_н = m a_c + mg = m(4\pi^2\nu^2 R + g)$

Сила, с которой груз действует на стержень, $F_н = T_н$. В этой точке стержень всегда испытывает растяжение.

Проведем вычисления для каждого случая, используя $\pi \approx 3,14$.

Сила тяжести: $mg = 0,4 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 3,92 \text{ Н}$.

Общий множитель для центростремительной силы: $m \cdot 4\pi^2 R = 0,4 \cdot 4 \cdot (3,14)^2 \cdot 1 \approx 15,78 \text{ кг} \cdot \text{м}$.

Тогда центростремительная сила $F_c = m a_c \approx 15,78 \cdot \nu^2$.

а) При $\nu_a = 0,4 \text{ с}^{-1}$

Центростремительная сила: $F_c \approx 15,78 \cdot (0,4)^2 = 15,78 \cdot 0,16 \approx 2,52 \text{ Н}$.

Сила в верхней точке: $F_в = |2,52 \text{ Н} - 3,92 \text{ Н}| = |-1,4 \text{ Н}| = 1,4 \text{ Н}$. Так как $T_в < 0$, стержень сжат.

Сила в нижней точке: $F_н = 2,52 \text{ Н} + 3,92 \text{ Н} = 6,44 \text{ Н}$.

Ответ: в верхней точке сила действия груза на стержень равна 1,4 Н (стержень сжат), в нижней — 6,44 Н (стержень растянут).

б) При $\nu_б = 0,5 \text{ с}^{-1}$

Центростремительная сила: $F_c \approx 15,78 \cdot (0,5)^2 = 15,78 \cdot 0,25 \approx 3,95 \text{ Н}$.

Сила в верхней точке: $F_в = |3,95 \text{ Н} - 3,92 \text{ Н}| = 0,03 \text{ Н}$. Так как $T_в > 0$, стержень растянут.

Сила в нижней точке: $F_н = 3,95 \text{ Н} + 3,92 \text{ Н} = 7,87 \text{ Н}$.

Ответ: в верхней точке сила действия груза на стержень равна 0,03 Н (стержень растянут), в нижней — 7,87 Н (стержень растянут).

в) При $\nu_в = 1 \text{ с}^{-1}$

Центростремительная сила: $F_c \approx 15,78 \cdot (1)^2 = 15,78 \text{ Н}$.

Сила в верхней точке: $F_в = |15,78 \text{ Н} - 3,92 \text{ Н}| = 11,86 \text{ Н}$. Так как $T_в > 0$, стержень растянут.

Сила в нижней точке: $F_н = 15,78 \text{ Н} + 3,92 \text{ Н} = 19,70 \text{ Н}$.

Ответ: в верхней точке сила действия груза на стержень равна 11,86 Н (стержень растянут), в нижней — 19,70 Н (стержень растянут).