Номер 292, страница 43 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

15. Движение под действием нескольких сил. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 292, страница 43.

Условие.

292. Брусок массой 2 кг находится на наклонной плоскости с углом наклона $30^\circ$. Какую силу $\vec{F}$, направленную горизонтально (рис. 39), надо приложить к бруску, чтобы он двигался равномерно по наклонной плоскости? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 0,3.

Рис. 39

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Масса бруска, $m = 2$ кг
Угол наклона плоскости, $\alpha = 30^\circ$
Коэффициент трения, $\mu = 0,3$
Брусок движется равномерно, следовательно, ускорение $a = 0$ м/с$^2$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу, $F - ?$

Решение:

На брусок действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила реакции опоры ($\vec{N}$), горизонтально направленная сила ($\vec{F}$) и сила трения ($\vec{F}_{тр}$). Так как брусок движется равномерно, по первому закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\sum \vec{F}_i = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F} + \vec{F}_{тр} = 0$

Введем систему координат: ось $OX$ направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $OY$ — перпендикулярно наклонной плоскости. Запишем уравнение в проекциях на эти оси. Вопрос "какую силу надо приложить, чтобы он двигался" может подразумевать движение как вверх, так и вниз по наклонной плоскости. Наиболее распространенной трактовкой является движение вверх, так как сила $\vec{F}$ имеет составляющую, направленную вверх по склону. В этом случае сила трения будет направлена вниз по наклонной плоскости, против движения.

Проекции сил на оси координат:

• Сила тяжести $m\vec{g}$: проекция на $OX$ равна $-mg \sin\alpha$, проекция на $OY$ равна $-mg \cos\alpha$.
• Сила реакции опоры $\vec{N}$: проекция на $OX$ равна 0, проекция на $OY$ равна $N$.
• Приложенная сила $\vec{F}$: проекция на $OX$ равна $F \cos\alpha$, проекция на $OY$ равна $-F \sin\alpha$.
• Сила трения $\vec{F}_{тр}$: проекция на $OX$ равна $-F_{тр}$, проекция на $OY$ равна 0.

Сила трения скольжения связана с силой реакции опоры соотношением $F_{тр} = \mu N$.

Запишем уравнения равновесия в проекциях:

На ось $OX$: $F \cos\alpha - mg \sin\alpha - F_{тр} = 0$

На ось $OY$: $N - mg \cos\alpha - F \sin\alpha = 0$

Из уравнения для оси $OY$ выразим силу реакции опоры $N$:

$N = mg \cos\alpha + F \sin\alpha$

Теперь подставим это выражение для $N$ в формулу для силы трения $F_{тр} = \mu N$ и затем в уравнение для оси $OX$:

$F \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + F \sin\alpha) = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие искомую силу $F$:

$F \cos\alpha - \mu F \sin\alpha = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha$

Вынесем $F$ за скобки в левой части и $mg$ в правой:

$F(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

Отсюда находим выражение для силы $F$:

$F = mg \frac{\sin\alpha + \mu \cos\alpha}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$\sin(30^\circ) = 0,5$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$F = 2 \cdot 9,8 \cdot \frac{0,5 + 0,3 \cdot 0,866}{0,866 - 0,3 \cdot 0,5} = 19,6 \cdot \frac{0,5 + 0,2598}{0,866 - 0,15} = 19,6 \cdot \frac{0,7598}{0,716} \approx 19,6 \cdot 1,061 \approx 20,8$ Н

Ответ: чтобы брусок двигался равномерно вверх по наклонной плоскости, нужно приложить горизонтальную силу, равную приблизительно $20,8$ Н.