Номер 288, страница 43 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

288. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить, чтобы: удержать этот груз; тянуть равномерно вверх; тянуть с ускорением $1 \text{ м/с}^2$? Коэффициент трения 0,2.

Дано:

Длина наклонной плоскости, $l = 5$ м
Высота наклонной плоскости, $h = 3$ м
Масса груза, $m = 50$ кг
Коэффициент трения, $\mu = 0,2$
Ускорение, $a = 1$ м/с²
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Силу для удержания груза, $F_1$ - ?
Силу для равномерного подъема, $F_2$ - ?
Силу для подъема с ускорением, $F_3$ - ?

Решение:

Сначала найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$. Наклонная плоскость, ее высота и основание образуют прямоугольный треугольник.

Синус угла наклона: $ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{3}{5} = 0,6 $

Косинус угла наклона найдем из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$: $ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 $

На груз действуют следующие силы: сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($N$), сила трения ($F_{тр}$) и приложенная сила ($F$). Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось OY – перпендикулярно ей.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси.
Проекция на ось OY: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, откуда сила нормальной реакции: $ N = mg \cos(\alpha) = 50 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 = 392 \text{ Н} $

Сила трения скольжения, которая будет действовать при движении: $ F_{тр} = \mu N = 0,2 \cdot 392 \text{ Н} = 78,4 \text{ Н} $

Проекция силы тяжести на ось OX (скатывающая сила): $ F_{g\parallel} = mg \sin(\alpha) = 50 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,6 = 294 \text{ Н} $

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

чтобы удержать этот груз
Чтобы удержать груз, нужно приложить силу $F_1$, которая вместе с силой трения покоя уравновесит скатывающую силу. Так как скатывающая сила ($294$ Н) больше максимальной силы трения покоя ($78,4$ Н), груз будет стремиться соскользнуть вниз. Следовательно, сила трения будет направлена вверх, помогая удерживающей силе $F_1$.
Условие равновесия (ускорение равно нулю): $ F_1 + F_{тр} - mg \sin(\alpha) = 0 $
Отсюда находим силу $F_1$: $ F_1 = mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 294 \text{ Н} - 78,4 \text{ Н} = 215,6 \text{ Н} $

Ответ: 215,6 Н.

тянуть равномерно вверх
При равномерном движении вверх (скорость постоянна, ускорение равно нулю) приложенная сила $F_2$ должна преодолевать скатывающую силу и силу трения скольжения, которая в этом случае будет направлена вниз (против движения).
Условие равновесия: $ F_2 - mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0 $
Отсюда находим силу $F_2$: $ F_2 = mg \sin(\alpha) + F_{тр} = 294 \text{ Н} + 78,4 \text{ Н} = 372,4 \text{ Н} $

Ответ: 372,4 Н.

тянуть с ускорением 1 м/с²
При движении вверх с ускорением $a$, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна $ma$. Сила трения по-прежнему направлена вниз.
Уравнение движения: $ F_3 - mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma $
Отсюда находим силу $F_3$: $ F_3 = ma + mg \sin(\alpha) + F_{тр} = 50 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с}^2 + 294 \text{ Н} + 78,4 \text{ Н} = 50 \text{ Н} + 372,4 \text{ Н} = 422,4 \text{ Н} $

Ответ: 422,4 Н.