Номер 291, страница 43 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

291. Мотоцикл массой 300 кг начал движение из состояния покоя на горизонтальном участке дороги. Затем дорога пошла под уклон, равный 0,02. Какую скорость приобрёл мотоцикл через 10 с после начала движения, если горизонтальный участок дороги он проехал за половину этого времени? Сила тяги и коэффициент сопротивления движению на всем пути постоянны и соответственно равны 180 Н и 0,04.

Дано:

масса мотоцикла $m = 300$ кг
начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
общее время движения $t_{общ} = 10$ с
время движения на горизонтальном участке $t_1 = 10 / 2 = 5$ с
время движения на наклонном участке $t_2 = 5$ с
уклон дороги $i = 0,02$
сила тяги $F_{тяги} = 180$ Н
коэффициент сопротивления движению $\mu = 0,04$
ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с²

Найти:

скорость мотоцикла через 10 с после начала движения, $v$.

Решение:

Движение мотоцикла состоит из двух этапов: движение по горизонтальному участку и движение по участку с уклоном. Найдем конечную скорость, последовательно рассмотрев каждый этап.

Этап 1: Движение на горизонтальном участке ($t_1 = 5$ с).

Запишем второй закон Ньютона для мотоцикла на горизонтальном участке. Ось $Ox$ направим по направлению движения, ось $Oy$ - перпендикулярно вверх.

Проекция на ось $Ox$: $m a_1 = F_{тяги} - F_{сопр,1}$, где $a_1$ - ускорение на первом участке, а $F_{сопр,1}$ - сила сопротивления.

Проекция на ось $Oy$: $N_1 - mg = 0$, откуда сила нормальной реакции опоры $N_1 = mg$.

Сила сопротивления равна $F_{сопр,1} = \mu N_1 = \mu mg$.

Вычислим силу сопротивления:
$F_{сопр,1} = 0,04 \cdot 300 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 117,6 \text{ Н}$.

Теперь найдем ускорение мотоцикла на первом участке:
$a_1 = \frac{F_{тяги} - F_{сопр,1}}{m} = \frac{180 \text{ Н} - 117,6 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = \frac{62,4 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = 0,208 \text{ м/с}^2$.

Скорость мотоцикла в конце первого этапа (через $t_1 = 5$ с) находится по формуле $v_1 = v_0 + a_1 t_1$. Так как мотоцикл начал движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), то:
$v_1 = 0,208 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ с} = 1,04 \text{ м/с}$.

Этап 2: Движение на наклонном участке ($t_2 = 5$ с).

На втором этапе дорога идет под уклон. Начальная скорость для этого этапа равна скорости в конце первого этапа, т.е. $v_1 = 1,04$ м/с. Направим ось $Ox$ вдоль уклона вниз.

На мотоцикл действуют: сила тяги $F_{тяги}$, скатывающая составляющая силы тяжести $mg \sin(\alpha)$ и сила сопротивления $F_{сопр,2}$. Угол наклона $\alpha$ связан с уклоном $i$ как $\sin(\alpha) = i = 0,02$ (для малых углов).

Второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$:
$m a_2 = F_{тяги} + mg \sin(\alpha) - F_{сопр,2}$.

Сила сопротивления $F_{сопр,2} = \mu N_2$, где $N_2 = mg \cos(\alpha)$. Поскольку $\sin(\alpha) = 0,02$ - малая величина, $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0,02^2} \approx 1$. Поэтому можно считать, что $F_{сопр,2} \approx \mu mg = 117,6 \text{ Н}$.

Скатывающая составляющая силы тяжести:
$mg \sin(\alpha) = 300 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,02 = 58,8 \text{ Н}$.

Найдем ускорение на втором участке $a_2$:
$a_2 = \frac{F_{тяги} + mg \sin(\alpha) - F_{сопр,2}}{m} = \frac{180 \text{ Н} + 58,8 \text{ Н} - 117,6 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = \frac{121,2 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = 0,404 \text{ м/с}^2$.

Конечная скорость мотоцикла $v$ через $t_2=5$ с движения по уклону:
$v = v_1 + a_2 t_2 = 1,04 \text{ м/с} + 0,404 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ с} = 1,04 \text{ м/с} + 2,02 \text{ м/с} = 3,06 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость мотоцикла через 10 с после начала движения равна $3,06 \text{ м/с}$.