Номер 290, страница 43 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

290. Поезд массой 3000 т движется вниз под уклон, равный 0,003. Коэффициент сопротивления движению равен 0,008. С каким ускорением движется поезд, если сила тяги локомотива равна: а) 300 кН; б) 150 кН; в) 90 кН?

Дано:

Масса поезда, $m = 3000 \text{ т} = 3000 \times 10^3 \text{ кг} = 3 \times 10^6 \text{ кг}$
Уклон, $i = 0,003$
Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,008$
Сила тяги:
а) $F_{\text{т,а}} = 300 \text{ кН} = 3 \times 10^5 \text{ Н}$
б) $F_{\text{т,б}} = 150 \text{ кН} = 1.5 \times 10^5 \text{ Н}$
в) $F_{\text{т,в}} = 90 \text{ кН} = 9 \times 10^4 \text{ Н}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Ускорение поезда $a$ для каждого случая: $a_{\text{а}}$, $a_{\text{б}}$, $a_{\text{в}}$.

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для поезда, движущегося вниз под уклон. На поезд действуют следующие силы в направлении движения: сила тяги локомотива $F_{\text{т}}$, скатывающая составляющая силы тяжести $F_{\text{ск}}$ и сила сопротивления движению $F_{\text{сопр}}$.

Уравнение движения в проекции на направление движения (вниз по уклону) имеет вид:
$ma = F_{\text{т}} + F_{\text{ск}} - F_{\text{сопр}}$

Скатывающая сила определяется как проекция силы тяжести на наклонную плоскость: $F_{\text{ск}} = mg \sin\alpha$. Для малых углов, характерных для железнодорожных уклонов, можно считать, что уклон $i = \tan\alpha \approx \sin\alpha$. Тогда:
$F_{\text{ск}} = mgi$

Сила сопротивления движению пропорциональна силе тяжести (для малых уклонов сила нормальной реакции опоры $N \approx mg$). Следовательно:
$F_{\text{сопр}} = \mu mg$

Подставим выражения для сил в уравнение второго закона Ньютона:
$ma = F_{\text{т}} + mgi - \mu mg$

Выразим ускорение $a$:
$a = \frac{F_{\text{т}} + mgi - \mu mg}{m} = \frac{F_{\text{т}}}{m} + g(i - \mu)$

Теперь рассчитаем ускорение для каждого из трех случаев, подставляя соответствующие значения силы тяги.

а) При силе тяги $F_{\text{т,а}} = 3 \times 10^5 \text{ Н}$:

$a_{\text{а}} = \frac{3 \times 10^5 \text{ Н}}{3 \times 10^6 \text{ кг}} + 9,8 \text{ м/с}^2 \times (0,003 - 0,008) = 0,1 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2 \times (-0,005) = 0,1 \text{ м/с}^2 - 0,049 \text{ м/с}^2 = 0,051 \text{ м/с}^2$

Ответ: $0,051 \text{ м/с}^2$

б) При силе тяги $F_{\text{т,б}} = 1,5 \times 10^5 \text{ Н}$:

$a_{\text{б}} = \frac{1,5 \times 10^5 \text{ Н}}{3 \times 10^6 \text{ кг}} + 9,8 \text{ м/с}^2 \times (0,003 - 0,008) = 0,05 \text{ м/с}^2 - 0,049 \text{ м/с}^2 = 0,001 \text{ м/с}^2$

Ответ: $0,001 \text{ м/с}^2$

в) При силе тяги $F_{\text{т,в}} = 9 \times 10^4 \text{ Н}$:

$a_{\text{в}} = \frac{9 \times 10^4 \text{ Н}}{3 \times 10^6 \text{ кг}} + 9,8 \text{ м/с}^2 \times (0,003 - 0,008) = 0,03 \text{ м/с}^2 - 0,049 \text{ м/с}^2 = -0,019 \text{ м/с}^2$

Отрицательное значение ускорения означает, что поезд движется равнозамедленно, так как сила сопротивления превышает сумму силы тяги и скатывающей силы.

Ответ: $-0,019 \text{ м/с}^2$