Номер 295, страница 44 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

295*. В момент начала свободного падения первого тела с некоторой высоты $h$ второе тело стало скользить без трения с наклонной плоскости, имеющей ту же высоту $h$ и длину $l = nh$. Сравнить конечные скорости тел у основания наклонной плоскости и время их движения.

Дано:

Высота: $h$

Начальная скорость первого тела (свободное падение): $v_{01} = 0$

Начальная скорость второго тела (скольжение с наклонной плоскости): $v_{02} = 0$

Длина наклонной плоскости: $l = nh$

Трение отсутствует.

Найти:

Сравнить конечные скорости тел $v_1$ и $v_2$.

Сравнить время их движения $t_1$ и $t_2$.

Решение:

Задачу можно разделить на две части: сравнение скоростей и сравнение времени движения.

1. Сравнение конечных скоростей

Для определения конечных скоростей обоих тел воспользуемся законом сохранения механической энергии. Так как трение отсутствует, полная механическая энергия системы (тело-Земля) сохраняется.

Для первого тела, падающего свободно с высоты $h$, начальная энергия (на высоте $h$) равна его потенциальной энергии: $E_{p1} = m_1gh$. Кинетическая энергия равна нулю, так как $v_{01} = 0$. Конечная энергия (у основания) равна его кинетической энергии: $E_{k1} = \frac{1}{2}m_1v_1^2$. Потенциальная энергия равна нулю.

Приравнивая начальную и конечную энергию:

$m_1gh = \frac{1}{2}m_1v_1^2$

Отсюда находим конечную скорость первого тела:

$v_1^2 = 2gh \implies v_1 = \sqrt{2gh}$

Для второго тела, соскальзывающего с наклонной плоскости высотой $h$ без трения, рассуждения аналогичны. Начальная энергия равна потенциальной энергии на высоте $h$: $E_{p2} = m_2gh$. Конечная энергия у основания равна кинетической: $E_{k2} = \frac{1}{2}m_2v_2^2$.

По закону сохранения энергии:

$m_2gh = \frac{1}{2}m_2v_2^2$

Отсюда находим конечную скорость второго тела:

$v_2^2 = 2gh \implies v_2 = \sqrt{2gh}$

Сравнивая полученные выражения для скоростей, видим, что $v_1 = v_2$.

Ответ: Конечные скорости тел у основания наклонной плоскости равны.

2. Сравнение времени движения

Для нахождения времени движения используем формулы равноускоренного движения.

Для первого тела (свободное падение) движение происходит с ускорением свободного падения $g$. Пройденный путь равен высоте $h$.

Из формулы пути $h = v_{01}t_1 + \frac{gt_1^2}{2}$, учитывая $v_{01}=0$, получаем:

$h = \frac{gt_1^2}{2}$

Отсюда выражаем время движения первого тела:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Для второго тела движение происходит вдоль наклонной плоскости длиной $l$ с ускорением $a_2$. Ускорение создается проекцией силы тяжести на наклонную плоскость. Обозначим угол наклона плоскости к горизонту как $\alpha$. Тогда $\sin\alpha = \frac{h}{l}$.

Ускорение второго тела равно:

$a_2 = g\sin\alpha = g\frac{h}{l}$

Тело проходит путь $l$ с этим ускорением. Из формулы пути $l = v_{02}t_2 + \frac{a_2t_2^2}{2}$, учитывая $v_{02}=0$, имеем:

$l = \frac{a_2t_2^2}{2} = \frac{(g\frac{h}{l})t_2^2}{2}$

Выражаем $t_2^2$:

$t_2^2 = \frac{2l^2}{gh}$

Теперь подставим в это выражение условие из задачи $l=nh$:

$t_2^2 = \frac{2(nh)^2}{gh} = \frac{2n^2h^2}{gh} = \frac{2n^2h}{g}$

Отсюда находим время движения второго тела:

$t_2 = \sqrt{\frac{2n^2h}{g}} = n\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь сравним время движения $t_1$ и $t_2$:

$\frac{t_2}{t_1} = \frac{n\sqrt{\frac{2h}{g}}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = n$

Следовательно, $t_2 = n \cdot t_1$. Поскольку длина наклонной плоскости $l$ всегда больше или равна ее высоте $h$ ($l \ge h$), то коэффициент $n = l/h \ge 1$. Это означает, что второе тело движется дольше первого.

Ответ: Время движения второго тела в $n$ раз больше времени движения первого тела ($t_2 = n \cdot t_1$).