Номер 294, страница 44 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

294. С каким ускорением $a$ скользит брусок по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^\circ$ при коэффициенте трения $\mu = 0,2$?

Дано:

Найти:

Решение:

На брусок, скользящий по наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $ \vec{F_g} = m\vec{g} $, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения $ \vec{F_{тр}} $, направленная против движения (вверх вдоль плоскости).

Выберем систему координат так, чтобы ось OX была направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY — перпендикулярно ей вверх.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $ m\vec{a} = \vec{F_g} + \vec{N} + \vec{F_{тр}} $

Теперь запишем это уравнение в проекциях на выбранные оси координат.

Проекция на ось OY: $ OY: N - mg \cos\alpha = 0 $
Поскольку вдоль этой оси движение отсутствует, ускорение равно нулю. Отсюда можно выразить силу нормальной реакции опоры: $ N = mg \cos\alpha $

Проекция на ось OX: $ OX: mg \sin\alpha - F_{тр} = ma $
Здесь $ mg \sin\alpha $ — это проекция силы тяжести, которая "стаскивает" брусок вниз по плоскости.

Сила трения скольжения по определению равна $ F_{тр} = \mu N $. Подставив найденное ранее выражение для $ N $, получим: $ F_{тр} = \mu mg \cos\alpha $

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси OX: $ mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma $

Как видим, масса бруска $ m $ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому ее можно сократить. Получаем формулу для ускорения: $ a = g \sin\alpha - \mu g \cos\alpha $
Или, вынеся $ g $ за скобки: $ a = g (\sin\alpha - \mu \cos\alpha) $

Теперь можно подставить числовые значения и произвести расчеты.
Используем $ \sin 30^\circ = 0,5 $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $.
$ a = 9,8 \, (\text{м/с}^2) \cdot (0,5 - 0,2 \cdot 0,866) $
$ a = 9,8 \cdot (0,5 - 0,1732) $
$ a = 9,8 \cdot 0,3268 $
$ a \approx 3,20264 \, \text{м/с}^2 $

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $ a \approx 3,2 \, \text{м/с}^2 $.