Номер 293, страница 43 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

293. Поместить на линейке небольшой предмет (резинку, монету и т. д.). Постепенно поднимать конец линейки, пока предмет не начнёт скользить. Измерить высоту $h$ и основание $b$ полученной наклонной плоскости и вычислить коэффициент трения.

Данная задача представляет собой описание лабораторной работы по определению коэффициента трения скольжения. Для ее решения необходимо сначала теоретически вывести рабочую формулу, а затем использовать ее для расчета на основе экспериментальных данных.

Решение

Рассмотрим тело (предмет), находящееся на наклонной плоскости (линейке), образующей угол $\alpha$ с горизонтом. В момент, когда тело готово начать соскальзывать, оно находится в состоянии предельного равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости; и максимальная сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх.

Согласно второму закону Ньютона, условие равновесия тела в векторной форме выглядит так:

$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$

Для удобства выберем систему координат, в которой ось $OX$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $OY$ — перпендикулярно ей. Спроецируем силы на эти оси:

Проекция на ось $OY$: $N - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда получаем выражение для силы нормальной реакции:

$N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось $OX$: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Отсюда получаем выражение для силы трения:

$F_{тр} = mg \sin(\alpha)$

В момент начала скольжения сила трения покоя достигает своего максимального значения, которое связано с коэффициентом трения $\mu$ и силой нормальной реакции $N$ следующим соотношением:

$F_{тр} = \mu N$

Теперь мы можем приравнять два выражения для силы трения:

$\mu N = mg \sin(\alpha)$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $N$:

$\mu (mg \cos(\alpha)) = mg \sin(\alpha)$

Сократив обе части уравнения на $mg$ (это показывает, что результат не зависит от массы предмета), получим:

$\mu \cos(\alpha) = \sin(\alpha)$

Выразим коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$

Согласно условию задачи, мы измеряем высоту $h$ и основание $b$ полученной наклонной плоскости. Эти величины являются катетами прямоугольного треугольника, в котором тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $h$ к прилежащему катету $b$:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{b}$

Таким образом, искомый коэффициент трения можно вычислить по простой формуле:

$\mu = \frac{h}{b}$

Теперь проведем примерный расчет, используя гипотетические данные, которые могли бы быть получены в ходе эксперимента.

Дано:

Высота $h = 12$ см
Основание $b = 30$ см

Переведем данные в систему СИ:
$h = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$b = 30 \text{ см} = 0.30 \text{ м}$

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение

Воспользуемся выведенной формулой для расчета коэффициента трения:

$\mu = \frac{h}{b}$

Подставим в формулу измеренные значения. Можно использовать значения как в сантиметрах, так и в метрах, поскольку единицы измерения сократятся и результат будет безразмерным.

$\mu = \frac{12 \text{ см}}{30 \text{ см}} = 0.4$

Или в системе СИ:

$\mu = \frac{0.12 \text{ м}}{0.30 \text{ м}} = 0.4$

Ответ: коэффициент трения вычисляется по формуле $\mu = \frac{h}{b}$, где $h$ — высота, а $b$ — основание наклонной плоскости в момент начала скольжения предмета. Для примера с $h=12$ см и $b=30$ см коэффициент трения равен 0.4.