Номер 286, страница 42 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

286*. Чтобы удерживать тележку на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$, надо приложить силу $F_1$, направленную вверх вдоль наклонной плоскости, а чтобы поднимать вверх, надо приложить силу $F_2$. Найти коэффициент сопротивления.

Дано:

Угол наклона плоскости: $\alpha$
Сила для удержания тележки: $F_1$
Сила для подъема тележки: $F_2$

Найти:

Коэффициент сопротивления: $k$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на тележку на наклонной плоскости. Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось OY — перпендикулярно ей.

На тележку действуют:

• Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
• Сила сопротивления (трения) $F_{сопр}$, направленная вдоль наклонной плоскости.
• Внешняя сила $F$, направленная вверх вдоль наклонной плоскости.

• на ось OX: $-mg \sin(\alpha)$
• на ось OY: $-mg \cos(\alpha)$

Сила сопротивления равна $F_{сопр} = k N$, где $k$ — искомый коэффициент сопротивления.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси для двух случаев.

1. Удержание тележки на месте.
В этом случае тележка находится в покое. Внешняя сила равна $F_1$. Тележка стремится соскользнуть вниз, поэтому сила сопротивления направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Условие равновесия ($a=0$):

Проекция на ось OY:
$N - mg \cos(\alpha) = 0 \implies N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось OX:
$F_1 + F_{сопр} - mg \sin(\alpha) = 0$
Подставляя $F_{сопр} = k N = k mg \cos(\alpha)$, получаем:
$F_1 + k mg \cos(\alpha) = mg \sin(\alpha) \quad (1)$

2. Подъем тележки вверх.
В этом случае тележка движется вверх (будем считать, что с постоянной скоростью, то есть $a=0$). Внешняя сила равна $F_2$. Тележка движется вверх, поэтому сила сопротивления направлена вниз вдоль наклонной плоскости.

Проекция на ось OY остается той же:
$N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось OX:
$F_2 - F_{сопр} - mg \sin(\alpha) = 0$
Подставляя $F_{сопр} = k N = k mg \cos(\alpha)$, получаем:
$F_2 - k mg \cos(\alpha) = mg \sin(\alpha) \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($k$ и $mg$): $$ \begin{cases} F_1 + k mg \cos(\alpha) = mg \sin(\alpha) \\ F_2 - k mg \cos(\alpha) = mg \sin(\alpha) \end{cases} $$ Выразим из обоих уравнений составляющую силы тяжести $mg \sin(\alpha)$ и приравняем их правые части, но для простоты решения сложим уравнение (1) и (2), а затем вычтем (1) из (2).

Сложим уравнения (1) и (2):
$(F_1 + k mg \cos(\alpha)) + (F_2 - k mg \cos(\alpha)) = mg \sin(\alpha) + mg \sin(\alpha)$
$F_1 + F_2 = 2 mg \sin(\alpha)$
$mg \sin(\alpha) = \frac{F_1 + F_2}{2} \quad (3)$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$(F_2 - k mg \cos(\alpha)) - (F_1 + k mg \cos(\alpha)) = mg \sin(\alpha) - mg \sin(\alpha)$
$F_2 - F_1 - 2 k mg \cos(\alpha) = 0$
$2 k mg \cos(\alpha) = F_2 - F_1$
$k mg \cos(\alpha) = \frac{F_2 - F_1}{2} \quad (4)$

Чтобы найти $k$ и исключить неизвестную массу $m$, разделим уравнение (4) на уравнение (3): $$ \frac{k mg \cos(\alpha)}{mg \sin(\alpha)} = \frac{(F_2 - F_1)/2}{(F_1 + F_2)/2} $$ $$ k \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{F_2 - F_1}{F_1 + F_2} $$ $$ k \cot(\alpha) = \frac{F_2 - F_1}{F_1 + F_2} $$ Отсюда выражаем искомый коэффициент сопротивления $k$: $$ k = \frac{F_2 - F_1}{F_1 + F_2} \tan(\alpha) $$

Ответ: $k = \frac{F_2 - F_1}{F_1 + F_2} \tan(\alpha)$.