Номер 279, страница 42 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

279. Спортсмен массой $65 \text{ кг}$, прыгая с десятиметровой вышки, входит в воду со скоростью $13 \text{ м/с}$. Найти среднюю силу сопротивления воздуха.

Дано:

Масса спортсмена, $m = 65$ кг
Высота вышки, $h = 10$ м
Скорость входа в воду, $v = 13$ м/с
Начальная скорость (в момент отрыва от вышки), $v_0 = 0$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Среднюю силу сопротивления воздуха $F_{сопр}$.

Решение:

Движение спортсмена происходит под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Так как сила сопротивления воздуха является диссипативной (неконсервативной), полная механическая энергия спортсмена не сохраняется. Изменение полной механической энергии равно работе, совершенной силой сопротивления воздуха.

Запишем теорему об изменении полной механической энергии:

$ΔE = A_{сопр}$

где $ΔE$ - изменение полной механической энергии, $A_{сопр}$ - работа силы сопротивления воздуха.

Изменение энергии равно разности конечной и начальной энергий: $ΔE = E_{кон} - E_{нач}$.

Выберем уровень поверхности воды за нулевой уровень потенциальной энергии.

Начальная полная механическая энергия спортсмена на вершине вышки ($h_0 = h$) состоит только из потенциальной энергии, так как он начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$):

$E_{нач} = E_{п_нач} + E_{к_нач} = mgh + \frac{mv_0^2}{2} = mgh$

Конечная полная механическая энергия спортсмена в момент входа в воду ($h_{кон} = 0$) состоит только из кинетической энергии:

$E_{кон} = E_{п_кон} + E_{к_кон} = mg \cdot 0 + \frac{mv^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Работа силы сопротивления воздуха $A_{сопр}$ отрицательна, так как эта сила направлена вверх, против направления перемещения (вниз). Работа равна:

$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot h$

Подставим все выражения в исходное уравнение теоремы об изменении энергии:

$\frac{mv^2}{2} - mgh = -F_{сопр} \cdot h$

Выразим из этого уравнения искомую силу сопротивления $F_{сопр}$:

$F_{сопр} \cdot h = mgh - \frac{mv^2}{2}$

$F_{сопр} = \frac{mgh - \frac{mv^2}{2}}{h} = mg - \frac{mv^2}{2h}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$F_{сопр} = 65 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{65 \text{ кг} \cdot (13 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 10 \text{ м}} = 637 \text{ Н} - \frac{65 \cdot 169}{20} \text{ Н} = 637 \text{ Н} - \frac{10985}{20} \text{ Н} = 637 \text{ Н} - 549.25 \text{ Н} = 87.75 \text{ Н}$

Ответ: средняя сила сопротивления воздуха равна $87.75$ Н.