Номер 281, страница 42 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

281*. Стальную отливку массой $m$ поднимают из воды при помощи троса, жёсткость которого равна $k$, с ускорением $a$. Плотность стали $\rho_1$, плотность воды $\rho_2$. Найти удлинение $x$ троса. Силой сопротивления воды пренебречь.

Дано:

Масса стальной отливки: $m$

Жёсткость троса: $k$

Ускорение подъёма: $a$

Плотность стали: $\rho_1$

Плотность воды: $\rho_2$

Найти:

Удлинение троса: $x$

Решение:

На стальную отливку, которую поднимают из воды, действуют три силы в вертикальном направлении:
1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз.
2. Сила упругости (натяжения) троса $F_{упр}$, направленная вверх.
3. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх.

Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Запишем уравнение движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх (в сторону ускорения):
$F_{упр} + F_A - F_g = ma$

Сила упругости, возникающая в тросе, определяется законом Гука:
$F_{упр} = kx$
где $k$ – жёсткость троса, а $x$ – его удлинение.

Выталкивающая сила (сила Архимеда) равна весу жидкости (воды), вытесненной телом:
$F_A = \rho_2 g V$
где $V$ – объём отливки. Объём можно выразить через массу $m$ и плотность стали $\rho_1$:
$V = \frac{m}{\rho_1}$
Подставив объём в формулу для силы Архимеда, получим:
$F_A = \rho_2 g \frac{m}{\rho_1} = mg \frac{\rho_2}{\rho_1}$

Теперь подставим выражения для всех сил в уравнение второго закона Ньютона:
$kx + mg \frac{\rho_2}{\rho_1} - mg = ma$

Выразим из полученного уравнения величину $kx$:
$kx = ma + mg - mg \frac{\rho_2}{\rho_1}$

Вынесем общие множители за скобки для упрощения выражения:
$kx = m\left(a + g - g \frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$
$kx = m\left(a + g\left(1 - \frac{\rho_2}{\rho_1}\right)\right)$

Наконец, найдём искомое удлинение троса $x$, разделив обе части уравнения на жёсткость $k$:
$x = \frac{m}{k}\left(a + g\left(1 - \frac{\rho_2}{\rho_1}\right)\right)$

Ответ: $x = \frac{m}{k}\left(a + g\left(1 - \frac{\rho_2}{\rho_1}\right)\right)$