Страница 42 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

278. Подъёмный кран поднимает груз массой $1 \text{ т}$. Какова сила натяжения троса в начале подъёма, если груз движется (очень кратковременно) с ускорением $25 \text{ м/с}^2$?

Дано:

$m = 1 \text{ т}$
$a = 25 \text{ м/с}^2$
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:
$m = 1 \text{ т} = 1 \times 1000 \text{ кг} = 1000 \text{ кг}$

Найти:

$T - ?$

Решение:

На груз, поднимаемый краном, действуют две силы: сила натяжения троса $\vec{T}$, направленная вертикально вверх, и сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = \vec{T} + \vec{F_g}$

Для решения задачи выберем систему координат с осью OY, направленной вертикально вверх, сонаправленно с ускорением груза $\vec{a}$ и силой натяжения $\vec{T}$. Спроецируем векторное уравнение на эту ось:

$OY: ma = T - F_g$

Сила тяжести $\vec{F_g}$ определяется формулой $F_g = mg$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$ma = T - mg$

Из этого уравнения выразим искомую силу натяжения троса $T$:

$T = ma + mg = m(a + g)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = 1000 \text{ кг} \times (25 \text{ м/с}^2 + 9.8 \text{ м/с}^2) = 1000 \text{ кг} \times 34.8 \text{ м/с}^2 = 34800 \text{ Н}$

Результат можно также выразить в килоньютонах: $34800 \text{ Н} = 34.8 \text{ кН}$.

Ответ: сила натяжения троса в начале подъёма равна $34800 \text{ Н}$ или $34.8 \text{ кН}$.

279. Спортсмен массой $65 \text{ кг}$, прыгая с десятиметровой вышки, входит в воду со скоростью $13 \text{ м/с}$. Найти среднюю силу сопротивления воздуха.

Дано:

Масса спортсмена, $m = 65$ кг
Высота вышки, $h = 10$ м
Скорость входа в воду, $v = 13$ м/с
Начальная скорость (в момент отрыва от вышки), $v_0 = 0$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Среднюю силу сопротивления воздуха $F_{сопр}$.

Решение:

Движение спортсмена происходит под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Так как сила сопротивления воздуха является диссипативной (неконсервативной), полная механическая энергия спортсмена не сохраняется. Изменение полной механической энергии равно работе, совершенной силой сопротивления воздуха.

Запишем теорему об изменении полной механической энергии:

$ΔE = A_{сопр}$

где $ΔE$ - изменение полной механической энергии, $A_{сопр}$ - работа силы сопротивления воздуха.

Изменение энергии равно разности конечной и начальной энергий: $ΔE = E_{кон} - E_{нач}$.

Выберем уровень поверхности воды за нулевой уровень потенциальной энергии.

Начальная полная механическая энергия спортсмена на вершине вышки ($h_0 = h$) состоит только из потенциальной энергии, так как он начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$):

$E_{нач} = E_{п_нач} + E_{к_нач} = mgh + \frac{mv_0^2}{2} = mgh$

Конечная полная механическая энергия спортсмена в момент входа в воду ($h_{кон} = 0$) состоит только из кинетической энергии:

$E_{кон} = E_{п_кон} + E_{к_кон} = mg \cdot 0 + \frac{mv^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Работа силы сопротивления воздуха $A_{сопр}$ отрицательна, так как эта сила направлена вверх, против направления перемещения (вниз). Работа равна:

$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot h$

Подставим все выражения в исходное уравнение теоремы об изменении энергии:

$\frac{mv^2}{2} - mgh = -F_{сопр} \cdot h$

Выразим из этого уравнения искомую силу сопротивления $F_{сопр}$:

$F_{сопр} \cdot h = mgh - \frac{mv^2}{2}$

$F_{сопр} = \frac{mgh - \frac{mv^2}{2}}{h} = mg - \frac{mv^2}{2h}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$F_{сопр} = 65 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{65 \text{ кг} \cdot (13 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 10 \text{ м}} = 637 \text{ Н} - \frac{65 \cdot 169}{20} \text{ Н} = 637 \text{ Н} - \frac{10985}{20} \text{ Н} = 637 \text{ Н} - 549.25 \text{ Н} = 87.75 \text{ Н}$

Ответ: средняя сила сопротивления воздуха равна $87.75$ Н.

280. С высоты 25 м предмет падал в течение 2,5 с. Какую часть составляет средняя сила сопротивления воздуха от силы тяжести?

280. Дано:

Высота падения, $h = 25$ м
Время падения, $t = 2,5$ с
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение средней силы сопротивления воздуха к силе тяжести: $\frac{F_{сопр}}{F_{тяж}}$

Решение:

Движение предмета является равноускоренным. Ускорение предмета $a$ будет меньше ускорения свободного падения $g$ из-за действия силы сопротивления воздуха.

1. Найдем фактическое ускорение предмета $a$. Так как предмет падал из состояния покоя ($v_0 = 0$), пройденный путь (высоту) можно найти по формуле: $h = v_0t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение $a$: $a = \frac{2h}{t^2}$

Подставим числовые значения: $a = \frac{2 \cdot 25 \text{ м}}{(2,5 \text{ с})^2} = \frac{50 \text{ м}}{6,25 \text{ с}^2} = 8$ м/с²

2. Запишем второй закон Ньютона для падающего предмета. На него действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз, и средняя сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$, направленная вертикально вверх. Направим ось OY вертикально вниз. Тогда проекция второго закона Ньютона на эту ось будет: $ma = F_{тяж} - F_{сопр}$, или $ma = mg - F_{сопр}$.

3. Из этого уравнения выразим среднюю силу сопротивления воздуха: $F_{сопр} = mg - ma = m(g - a)$

4. Теперь найдем, какую часть составляет средняя сила сопротивления воздуха от силы тяжести. Для этого вычислим их отношение: $\frac{F_{сопр}}{F_{тяж}} = \frac{m(g - a)}{mg}$

Масса $m$ в числителе и знаменателе сокращается: $\frac{F_{сопр}}{F_{тяж}} = \frac{g - a}{g} = 1 - \frac{a}{g}$

Подставим значения $a = 8$ м/с² и $g \approx 10$ м/с² (стандартное приближение для школьных задач, если не указано иное): $\frac{F_{сопр}}{F_{тяж}} = 1 - \frac{8}{10} = 1 - 0,8 = 0,2$

Таким образом, сила сопротивления составляет 0,2 или 1/5 часть от силы тяжести.

Ответ: средняя сила сопротивления воздуха составляет 0,2 от силы тяжести.

281*. Стальную отливку массой $m$ поднимают из воды при помощи троса, жёсткость которого равна $k$, с ускорением $a$. Плотность стали $\rho_1$, плотность воды $\rho_2$. Найти удлинение $x$ троса. Силой сопротивления воды пренебречь.

Дано:

Масса стальной отливки: $m$

Жёсткость троса: $k$

Ускорение подъёма: $a$

Плотность стали: $\rho_1$

Плотность воды: $\rho_2$

Найти:

Удлинение троса: $x$

Решение:

На стальную отливку, которую поднимают из воды, действуют три силы в вертикальном направлении:
1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз.
2. Сила упругости (натяжения) троса $F_{упр}$, направленная вверх.
3. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх.

Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Запишем уравнение движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх (в сторону ускорения):
$F_{упр} + F_A - F_g = ma$

Сила упругости, возникающая в тросе, определяется законом Гука:
$F_{упр} = kx$
где $k$ – жёсткость троса, а $x$ – его удлинение.

Выталкивающая сила (сила Архимеда) равна весу жидкости (воды), вытесненной телом:
$F_A = \rho_2 g V$
где $V$ – объём отливки. Объём можно выразить через массу $m$ и плотность стали $\rho_1$:
$V = \frac{m}{\rho_1}$
Подставив объём в формулу для силы Архимеда, получим:
$F_A = \rho_2 g \frac{m}{\rho_1} = mg \frac{\rho_2}{\rho_1}$

Теперь подставим выражения для всех сил в уравнение второго закона Ньютона:
$kx + mg \frac{\rho_2}{\rho_1} - mg = ma$

Выразим из полученного уравнения величину $kx$:
$kx = ma + mg - mg \frac{\rho_2}{\rho_1}$

Вынесем общие множители за скобки для упрощения выражения:
$kx = m\left(a + g - g \frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$
$kx = m\left(a + g\left(1 - \frac{\rho_2}{\rho_1}\right)\right)$

Наконец, найдём искомое удлинение троса $x$, разделив обе части уравнения на жёсткость $k$:
$x = \frac{m}{k}\left(a + g\left(1 - \frac{\rho_2}{\rho_1}\right)\right)$

Ответ: $x = \frac{m}{k}\left(a + g\left(1 - \frac{\rho_2}{\rho_1}\right)\right)$

282¹. На наклонной плоскости длиной 13 м и высотой 5 м лежит груз массой 26 кг. Коэффициент трения равен 0,5. Какую силу надо приложить к грузу вдоль плоскости, чтобы втащить груз; чтобы стащить груз?

Дано:

Длина наклонной плоскости, $l = 13$ м
Высота наклонной плоскости, $h = 5$ м
Масса груза, $m = 26$ кг
Коэффициент трения, $μ = 0,5$
Ускорение свободного падения, $g = 9,8$ м/с²

Найти:

$F_1$ — сила, чтобы втащить груз вверх.
$F_2$ — сила, чтобы стащить груз вниз.

Решение:

Для решения задачи выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY — перпендикулярно ей. На груз действуют следующие силы: сила тяжести ($mg$), сила реакции опоры ($N$), сила трения ($F_{тр}$) и приложенная сила ($F$).

Найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$. Синус угла наклона: $sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{5}{13}$

Для нахождения косинуса найдем горизонтальное основание наклонной плоскости $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ м. Косинус угла наклона: $cos(\alpha) = \frac{b}{l} = \frac{12}{13}$

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Движение будем считать равномерным (с нулевым ускорением), поэтому равнодействующая сил равна нулю.

Проекция на ось OY: $N - mg \cdot cos(\alpha) = 0$ Отсюда сила реакции опоры: $N = mg \cdot cos(\alpha)$

Сила трения скольжения определяется по формуле: $F_{тр} = \mu \cdot N = \mu \cdot mg \cdot cos(\alpha)$

чтобы втащить груз

В этом случае приложенная сила $F_1$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Сила трения $F_{тр}$ и проекция силы тяжести на ось OX ($mg \cdot sin(\alpha)$) направлены вниз. Уравнение сил в проекции на ось OX: $F_1 - F_{тр} - mg \cdot sin(\alpha) = 0$

Отсюда выражаем искомую силу $F_1$: $F_1 = F_{тр} + mg \cdot sin(\alpha) = \mu \cdot mg \cdot cos(\alpha) + mg \cdot sin(\alpha)$ $F_1 = mg \cdot (\mu \cdot cos(\alpha) + sin(\alpha))$

Подставим числовые значения: $F_1 = 26 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0,5 \cdot \frac{12}{13} + \frac{5}{13})$ $F_1 = 254,8 \cdot (\frac{6}{13} + \frac{5}{13}) = 254,8 \cdot \frac{11}{13}$ $F_1 = \frac{26 \cdot 9,8 \cdot 11}{13} = 2 \cdot 9,8 \cdot 11 = 19,6 \cdot 11 = 215,6$ Н

Ответ: чтобы втащить груз, нужно приложить силу 215,6 Н.

чтобы стащить груз

Сначала проверим, не будет ли груз соскальзывать сам. Для этого сравним проекцию силы тяжести, направленную вниз ($mg \cdot sin(\alpha)$), с силой трения покоя ($F_{тр}$). $mg \cdot sin(\alpha) = 26 \cdot 9,8 \cdot \frac{5}{13} = 2 \cdot 9,8 \cdot 5 = 98$ Н. $F_{тр} = \mu \cdot mg \cdot cos(\alpha) = 0,5 \cdot 26 \cdot 9,8 \cdot \frac{12}{13} = 0,5 \cdot 2 \cdot 9,8 \cdot 12 = 117,6$ Н. Так как $mg \cdot sin(\alpha) < F_{тр}$ (98 Н < 117,6 Н), груз сам не соскользнет.

Чтобы стащить груз, нужно приложить силу $F_2$ вниз вдоль наклонной плоскости. В этом случае сила трения $F_{тр}$ будет направлена вверх, противодействуя движению. Уравнение сил в проекции на ось OX: $F_2 + mg \cdot sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Отсюда выражаем искомую силу $F_2$: $F_2 = F_{тр} - mg \cdot sin(\alpha) = \mu \cdot mg \cdot cos(\alpha) - mg \cdot sin(\alpha)$ $F_2 = mg \cdot (\mu \cdot cos(\alpha) - sin(\alpha))$

Подставим числовые значения: $F_2 = 26 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0,5 \cdot \frac{12}{13} - \frac{5}{13})$ $F_2 = 254,8 \cdot (\frac{6}{13} - \frac{5}{13}) = 254,8 \cdot \frac{1}{13}$ $F_2 = \frac{26 \cdot 9,8 \cdot 1}{13} = 2 \cdot 9,8 = 19,6$ Н

Ответ: чтобы стащить груз, нужно приложить силу 19,6 Н.

283. Какую силу надо приложить для подъёма вагонетки массой 600 кг по эстакаде с углом наклона 20°, если коэффициент сопротивления движению равен 0,05?

Дано:

Найти:

Решение:

Для подъёма вагонетки с постоянной скоростью (равномерное движение) необходимо, чтобы приложенная сила $F$ уравновешивала сумму сил, препятствующих движению. На вагонетку, движущуюся вверх по наклонной плоскости (эстакаде), действуют следующие силы:

• $F$ – приложенная сила, направленная вверх вдоль наклонной плоскости.
• $mg$ – сила тяжести, направленная вертикально вниз.
• $N$ – сила нормальной реакции опоры, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
• $F_{сопр}$ – сила сопротивления движению (трения), направленная вниз вдоль наклонной плоскости, против движения.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось OX вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY – перпендикулярно ей.

Проекция силы тяжести на ось OX (скатывающая сила): $F_{gx} = mg \sin\alpha$.

Проекция силы тяжести на ось OY: $F_{gy} = mg \cos\alpha$.

Так как движение равномерное, ускорение равно нулю ($a=0$). Сумма проекций всех сил на каждую ось равна нулю.

Для оси OY:

$N - mg \cos\alpha = 0$

Отсюда находим силу нормальной реакции:

$N = mg \cos\alpha$

Сила сопротивления движению пропорциональна силе нормальной реакции:

$F_{сопр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$

Для оси OX:

$F - F_{сопр} - mg \sin\alpha = 0$

Отсюда выражаем искомую силу $F$:

$F = F_{сопр} + mg \sin\alpha$

Подставляем выражение для силы сопротивления:

$F = \mu mg \cos\alpha + mg \sin\alpha = mg(\mu \cos\alpha + \sin\alpha)$

Подставим числовые значения:

$\sin 20^\circ \approx 0,342$

$\cos 20^\circ \approx 0,940$

$F = 600 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0,05 \cdot \cos 20^\circ + \sin 20^\circ)$

$F \approx 5880 \text{ Н} \cdot (0,05 \cdot 0,940 + 0,342)$

$F \approx 5880 \text{ Н} \cdot (0,047 + 0,342)$

$F \approx 5880 \text{ Н} \cdot 0,389$

$F \approx 2287,32 \text{ Н}$

Округлим результат до целого числа.

Ответ: $F \approx 2287$ Н.

284. При проведении лабораторной работы были получены следующие данные: длина наклонной плоскости 1 м, высота 20 см, масса деревянного бруска 200 г, сила тяги при движении бруска вверх 1 Н. Найти коэффициент трения.

Дано:

Длина наклонной плоскости $L = 1$ м
Высота наклонной плоскости $h = 20$ см = $0.2$ м
Масса бруска $m = 200$ г = $0.2$ кг
Сила тяги $F_{тяги} = 1$ Н
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на брусок, движущийся равномерно вверх по наклонной плоскости. На брусок действуют:

• Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
• Сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
• Сила тяги $\vec{F}_{тяги}$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх.
• Сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости вниз, так как она противодействует движению.

Введем систему координат: ось OX направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY — перпендикулярно ей.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: $\vec{F}_{тяги} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = m\vec{a}$.

Поскольку в условии задачи не указано, что движение происходит с ускорением, будем считать его равномерным, то есть ускорение $a = 0$. Тогда уравнение примет вид: $\vec{F}_{тяги} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$.

Спроецируем силы на оси координат. Угол наклона плоскости обозначим как $\alpha$.

Проекция на ось OY: $N - mg \cos(\alpha) = 0$. Отсюда выразим силу реакции опоры: $N = mg \cos(\alpha)$.

Проекция на ось OX: $F_{тяги} - F_{тр} - mg \sin(\alpha) = 0$.

Сила трения скольжения связана с силой реакции опоры через коэффициент трения $\mu$: $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $N$, получим: $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

Теперь подставим выражение для силы трения в уравнение проекций на ось OX:

$F_{тяги} - \mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha) = 0$

Выразим из этого уравнения искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu mg \cos(\alpha) = F_{тяги} - mg \sin(\alpha)$

$\mu = \frac{F_{тяги} - mg \sin(\alpha)}{mg \cos(\alpha)}$

Синус и косинус угла наклона $\alpha$ найдем из геометрических соображений. Наклонная плоскость (гипотенуза $L$), ее высота (противолежащий катет $h$) и основание образуют прямоугольный треугольник.

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L} = \frac{0.2 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 0.2$

Косинус угла найдем из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0.2)^2} = \sqrt{1 - 0.04} = \sqrt{0.96} \approx 0.98$

Теперь произведем вычисления. Сначала найдем силу тяжести:

$mg = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н}$

Подставим все численные значения в формулу для $\mu$:

$\mu = \frac{1 \text{ Н} - 2 \text{ Н} \cdot 0.2}{2 \text{ Н} \cdot \sqrt{0.96}} = \frac{1 - 0.4}{2 \cdot \sqrt{0.96}} = \frac{0.6}{2 \cdot 0.9798} \approx \frac{0.6}{1.9596} \approx 0.306$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $\mu \approx 0.31$.

285. На наклонной плоскости длиной 50 см и высотой 10 см покоится брусок массой 2 кг. При помощи динамометра, расположенного параллельно плоскости, брусок сначала втащили вверх по наклонной плоскости, а затем стащили вниз. Найти разность показаний динамометра.

Дано:

Длина наклонной плоскости, $L = 50$ см

Высота наклонной плоскости, $h = 10$ см

Масса бруска, $m = 2$ кг

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ Н/кг

Найти:

Разность показаний динамометра, $\Delta F$

Решение:

Будем считать, что в обоих случаях брусок перемещают равномерно (с постоянной скоростью). Это означает, что ускорение равно нулю, и согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на брусок, равна нулю.

На брусок действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$, сила трения скольжения $F_{тр}$ и сила, с которой тянет динамометр ($F_1$ при движении вверх и $F_2$ при движении вниз).

Силу тяжести удобно разложить на две составляющие: параллельную наклонной плоскости (скатывающую силу $F_{скат}$) и перпендикулярную ей. Если $\alpha$ - угол наклона плоскости к горизонту, то скатывающая сила равна:

$F_{скат} = mg \sin\alpha$

Синус угла наклона найдем из геометрии наклонной плоскости:

$\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{0.1 \text{ м}}{0.5 \text{ м}} = 0.2$

Рассмотрим оба случая движения.

1. Движение бруска вверх по наклонной плоскости.

Динамометр тянет брусок вверх с силой $F_1$. В противоположном направлении (вниз вдоль плоскости) действуют скатывающая сила $F_{скат}$ и сила трения $F_{тр}$. Условие равновесия сил вдоль наклонной плоскости:

$F_1 - F_{скат} - F_{тр} = 0$

Отсюда находим показание динамометра при движении вверх:

$F_1 = F_{скат} + F_{тр} = mg \sin\alpha + F_{тр}$

2. Движение бруска вниз по наклонной плоскости.

Динамометр тянет брусок вниз с силой $F_2$. Вниз также действует скатывающая сила $F_{скат}$. Сила трения $F_{тр}$ всегда направлена против движения, то есть в данном случае вверх. Условие равновесия сил:

$F_2 + F_{скат} - F_{тр} = 0$

Выразим отсюда показание динамометра при движении вниз:

$F_2 = F_{тр} - F_{скат} = F_{тр} - mg \sin\alpha$

3. Разность показаний динамометра.

Найдем искомую разность показаний $\Delta F = F_1 - F_2$:

$\Delta F = (mg \sin\alpha + F_{тр}) - (F_{тр} - mg \sin\alpha)$

Раскрыв скобки, получим:

$\Delta F = mg \sin\alpha + F_{тр} - F_{тр} + mg \sin\alpha = 2mg \sin\alpha$

Как видно из формулы, разность показаний не зависит от коэффициента трения. Подставим числовые значения:

$\Delta F = 2 \cdot 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.2$

$\Delta F = 7.84 \text{ Н}$

Ответ: 7.84 Н.

286*. Чтобы удерживать тележку на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$, надо приложить силу $F_1$, направленную вверх вдоль наклонной плоскости, а чтобы поднимать вверх, надо приложить силу $F_2$. Найти коэффициент сопротивления.

Дано:

Угол наклона плоскости: $\alpha$
Сила для удержания тележки: $F_1$
Сила для подъема тележки: $F_2$

Найти:

Коэффициент сопротивления: $k$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на тележку на наклонной плоскости. Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось OY — перпендикулярно ей.

На тележку действуют:

• Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
• Сила сопротивления (трения) $F_{сопр}$, направленная вдоль наклонной плоскости.
• Внешняя сила $F$, направленная вверх вдоль наклонной плоскости.

• на ось OX: $-mg \sin(\alpha)$
• на ось OY: $-mg \cos(\alpha)$

Сила сопротивления равна $F_{сопр} = k N$, где $k$ — искомый коэффициент сопротивления.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси для двух случаев.

1. Удержание тележки на месте.
В этом случае тележка находится в покое. Внешняя сила равна $F_1$. Тележка стремится соскользнуть вниз, поэтому сила сопротивления направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Условие равновесия ($a=0$):

Проекция на ось OY:
$N - mg \cos(\alpha) = 0 \implies N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось OX:
$F_1 + F_{сопр} - mg \sin(\alpha) = 0$
Подставляя $F_{сопр} = k N = k mg \cos(\alpha)$, получаем:
$F_1 + k mg \cos(\alpha) = mg \sin(\alpha) \quad (1)$

2. Подъем тележки вверх.
В этом случае тележка движется вверх (будем считать, что с постоянной скоростью, то есть $a=0$). Внешняя сила равна $F_2$. Тележка движется вверх, поэтому сила сопротивления направлена вниз вдоль наклонной плоскости.

Проекция на ось OY остается той же:
$N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось OX:
$F_2 - F_{сопр} - mg \sin(\alpha) = 0$
Подставляя $F_{сопр} = k N = k mg \cos(\alpha)$, получаем:
$F_2 - k mg \cos(\alpha) = mg \sin(\alpha) \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($k$ и $mg$): $$ \begin{cases} F_1 + k mg \cos(\alpha) = mg \sin(\alpha) \\ F_2 - k mg \cos(\alpha) = mg \sin(\alpha) \end{cases} $$ Выразим из обоих уравнений составляющую силы тяжести $mg \sin(\alpha)$ и приравняем их правые части, но для простоты решения сложим уравнение (1) и (2), а затем вычтем (1) из (2).

Сложим уравнения (1) и (2):
$(F_1 + k mg \cos(\alpha)) + (F_2 - k mg \cos(\alpha)) = mg \sin(\alpha) + mg \sin(\alpha)$
$F_1 + F_2 = 2 mg \sin(\alpha)$
$mg \sin(\alpha) = \frac{F_1 + F_2}{2} \quad (3)$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$(F_2 - k mg \cos(\alpha)) - (F_1 + k mg \cos(\alpha)) = mg \sin(\alpha) - mg \sin(\alpha)$
$F_2 - F_1 - 2 k mg \cos(\alpha) = 0$
$2 k mg \cos(\alpha) = F_2 - F_1$
$k mg \cos(\alpha) = \frac{F_2 - F_1}{2} \quad (4)$

Чтобы найти $k$ и исключить неизвестную массу $m$, разделим уравнение (4) на уравнение (3): $$ \frac{k mg \cos(\alpha)}{mg \sin(\alpha)} = \frac{(F_2 - F_1)/2}{(F_1 + F_2)/2} $$ $$ k \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{F_2 - F_1}{F_1 + F_2} $$ $$ k \cot(\alpha) = \frac{F_2 - F_1}{F_1 + F_2} $$ Отсюда выражаем искомый коэффициент сопротивления $k$: $$ k = \frac{F_2 - F_1}{F_1 + F_2} \tan(\alpha) $$

Ответ: $k = \frac{F_2 - F_1}{F_1 + F_2} \tan(\alpha)$.

287. Наклонная плоскость расположена под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ тянуть по ней груз труднее, чем поднимать его вертикально?

Дано:

Угол наклона плоскости $ \alpha = 30^\circ $

Найти:

Значения коэффициента трения $ \mu $, при которых тянуть груз по наклонной плоскости труднее, чем поднимать его вертикально.

Решение:

1. Определим силу $ F_{верт} $, необходимую для вертикального подъема груза. Чтобы поднять груз массой $m$ (преодолевая силу тяжести), необходимо приложить силу, равную его весу:

$ F_{верт} = mg $

где $g$ — ускорение свободного падения.

2. Теперь определим силу $ F_{накл} $, необходимую для того, чтобы тянуть груз вверх по наклонной плоскости. На груз действуют:

• Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции $N$, перпендикулярная плоскости.
• Сила трения $F_{тр}$, направленная вдоль плоскости против движения.
• Сила тяги $F_{накл}$, направленная вдоль плоскости вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, где ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Для равномерного движения (минимальная сила для перемещения) ускорение равно нулю.

Проекция на ось $Oy$:

$ N - mg \cos \alpha = 0 \implies N = mg \cos \alpha $

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции через коэффициент трения $\mu$:

$ F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha $

Проекция на ось $Ox$:

$ F_{накл} - mg \sin \alpha - F_{тр} = 0 $

Отсюда выразим силу тяги:

$ F_{накл} = mg \sin \alpha + F_{тр} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha $

$ F_{накл} = mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) $

3. Согласно условию задачи, тянуть груз по наклонной плоскости труднее, чем поднимать вертикально. Это означает, что $ F_{накл} > F_{верт} $.

Подставим полученные выражения для сил в это неравенство:

$ mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) > mg $

Так как $mg > 0$, можно разделить обе части неравенства на $mg$, не меняя знака:

$ \sin \alpha + \mu \cos \alpha > 1 $

Теперь выразим $\mu$:

$ \mu \cos \alpha > 1 - \sin \alpha $

Для $ \alpha = 30^\circ $, $ \cos \alpha > 0 $, поэтому при делении на $ \cos \alpha $ знак неравенства сохраняется:

$ \mu > \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} $

Подставим значения для угла $ \alpha = 30^\circ $:

$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Вычисляем значение для $\mu$:

$ \mu > \frac{1 - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Рационализируя знаменатель, получаем:

$ \mu > \frac{\sqrt{3}}{3} $

Приблизительное значение: $ \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 $.

Ответ: тянуть груз по наклонной плоскости труднее, чем поднимать его вертикально, при значениях коэффициента трения $ \mu > \frac{1}{\sqrt{3}} $ (или $ \mu > \frac{\sqrt{3}}{3} $).