Страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

237. Вычислить скорость движения Луны по орбите вокруг Земли (см. табл. 14).

Дано:

Для решения задачи воспользуемся справочными данными (аналогичными тем, что могли бы быть в таблице 14):
Средний радиус орбиты Луны: $r = 384400 \text{ км}$
Период обращения Луны вокруг Земли (сидерический месяц): $T = 27,32 \text{ суток}$

Найти:

Скорость движения Луны $v$.

Решение:

Будем считать орбиту Луны круговой для упрощения расчетов. Скорость равномерного движения тела по окружности можно найти, разделив длину этой окружности (путь, пройденный за один оборот) на время одного оборота (период).

Скорость $v$ вычисляется по формуле:

$v = \frac{L}{T}$

где $L$ — длина орбиты, а $T$ — период обращения.

Длина круговой орбиты (длина окружности) вычисляется по формуле:

$L = 2 \pi r$

Подставим выражение для длины орбиты в формулу скорости:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ и произведем расчет:

$v = \frac{2 \cdot 3.14159 \cdot 3.844 \cdot 10^8 \text{ м}}{2.36 \cdot 10^6 \text{ с}} \approx \frac{2.415 \cdot 10^9 \text{ м}}{2.36 \cdot 10^6 \text{ с}} \approx 1023 \text{ м/с}$

Полученное значение можно выразить в километрах в секунду: $1023 \text{ м/с} \approx 1.02 \text{ км/с}$.

Ответ: скорость движения Луны по орбите вокруг Земли составляет примерно $1023 \text{ м/с}$ или $1.02 \text{ км/с}$.

238. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Земли? Каков период его обращения?

Дано:

Высота орбиты, $h = 600 \text{ км}$

Для решения задачи используем справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Переведем данные в систему СИ:

$h = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 0.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость спутника, $v$

Период обращения спутника, $T$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_g = m \cdot a_c$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение равно:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Здесь $m$ — масса спутника, $v$ — его скорость, а $r$ — радиус орбиты. Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли и высоты спутника над поверхностью Земли: $r = R_З + h$.

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2} = \frac{m v^2}{R_З + h}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус орбиты $r = R_З + h$ в знаменателе, получим формулу для вычисления скорости спутника (первой космической скорости на данной высоте):

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h}}$

Сначала вычислим радиус орбиты:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.6 \cdot 10^6 \text{ м} = 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь подставим числовые значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{7.0 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{7.0 \cdot 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{5.717 \cdot 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7560 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7.56 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Далее найдем период обращения спутника. Период — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Длина орбиты равна $L = 2\pi r$. Так как скорость спутника постоянна, период можно найти по формуле:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi r}{v}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}}{7560 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{43.96 \cdot 10^6}{7560} \text{ с} \approx 5815 \text{ с}$

Переведем секунды в минуты для наглядности: $5815 \text{ с} / 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} \approx 96.9 \text{ мин}$.

Ответ: скорость спутника должна быть примерно $7.56 \frac{\text{км}}{\text{с}}$, а период его обращения составляет около $5815 \text{ с}$ (или $96.9 \text{ мин}$).

239. Радиус окружности, по которой движется Фобос (спутник планеты Марс), равен 9400 км, а период его обращения равен 7 ч 40 мин. Найти массу Марса.

Дано:

Переведем данные в систему СИ:

Найти:

Решение:

Спутник Фобос движется по круговой орбите вокруг Марса. Его движение удерживается силой всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона, сила гравитационного притяжения между Марсом и Фобосом равна произведению массы Фобоса на его центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения: $F_г = G \frac{M m}{r^2}$, где $M$ - масса Марса, $m$ - масса Фобоса, $r$ - радиус орбиты.

Центростремительная сила: $F_ц = m a_ц = m \frac{v^2}{r}$, где $v$ - линейная скорость Фобоса.

Приравниваем эти две силы:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ и радиус $r$:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда можно выразить массу Марса: $M = \frac{v^2 r}{G}$.

Линейную скорость $v$ можно найти через период обращения $T$. За время, равное одному периоду, спутник проходит путь, равный длине окружности $2 \pi r$.

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Подставим выражение для скорости в формулу для массы:

$M = \frac{(\frac{2 \pi r}{T})^2 r}{G} = \frac{\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} r}{G} = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (9.4 \times 10^6 \text{ м})^3}{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times (27600 \text{ с})^2}$

$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 830.584 \times 10^{18} \text{ м}^3}{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times 761760000 \text{ с}^2} \approx \frac{3.279 \times 10^{22}}{5.081 \times 10^{-2}} \text{ кг}$

$M \approx 0.645 \times 10^{24} \text{ кг} = 6.45 \times 10^{23} \text{ кг}$

Ответ: масса Марса примерно равна $6.45 \times 10^{23}$ кг.

240. Во сколько раз отличается скорость искусственного спутника, движущегося на высоте 21 600 км от поверхности Земли, от скорости спутника, движущегося на высоте 600 км над поверхностью? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Дано:

Высота первого спутника $h_1 = 21 600$ км
Высота второго спутника $h_2 = 600$ км
Радиус Земли $R_З = 6400$ км

$h_1 = 21600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,16 \cdot 10^7 \text{ м}$
$h_2 = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Отношение скоростей спутников.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения $F_{грав}$ равна центростремительной силе $F_{ц}$:

$F_{грав} = F_{ц}$

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, $r$ — радиус орбиты.

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $h$: $r = R_З + h$.

Из уравнения выше выразим скорость движения спутника:

$v^2 = \frac{G M}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G M}{r}} = \sqrt{\frac{G M}{R_З + h}}$

Чтобы найти, во сколько раз отличаются скорости, найдем их отношение. Обозначим скорость спутника на высоте $h_1$ (21 600 км) как $v_1$, а на высоте $h_2$ (600 км) — как $v_2$. Чем меньше радиус орбиты, тем больше скорость, поэтому найдем отношение большей скорости к меньшей:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{R_З + h_2}}}{\sqrt{\frac{G M}{R_З + h_1}}}$

Величины $G$ и $M$ сокращаются, и формула принимает вид:

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R_З + h_1}{R_З + h_2}}$

Вычислим радиусы орбит $r_1$ и $r_2$. Поскольку мы ищем безразмерное отношение, можно использовать значения в километрах.

Радиус орбиты первого спутника:

$r_1 = R_З + h_1 = 6400 \text{ км} + 21600 \text{ км} = 28000 \text{ км}$

Радиус орбиты второго спутника:

$r_2 = R_З + h_2 = 6400 \text{ км} + 600 \text{ км} = 7000 \text{ км}$

Подставим числовые значения в формулу для отношения скоростей:

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}} = \sqrt{\frac{28000 \text{ км}}{7000 \text{ км}}} = \sqrt{4} = 2$

Ответ:

Скорость спутника, движущегося на высоте 600 км, в 2 раза больше скорости спутника, движущегося на высоте 21 600 км.

241. Сравнить скорости движения искусственных спутников Земли и Венеры при движении по орбитам, одинаково удалённым от центра планет. Масса Венеры составляет 0,815 массы Земли.

Дано:

Радиус орбиты спутника Земли: $r_З$
Радиус орбиты спутника Венеры: $r_В$
По условию: $r_З = r_В = r$
Масса Земли: $M_З$
Масса Венеры: $M_В$
По условию: $M_В = 0.815 \cdot M_З$

Найти:

Сравнить скорости спутников, то есть найти отношение $\frac{v_З}{v_В}$.

Решение:

Искусственный спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны планеты. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите.

По второму закону Ньютона, центростремительная сила равна гравитационной силе:

$F_ц = F_г$

Центростремительная сила определяется выражением $F_ц = \frac{mv^2}{r}$, где $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, $r$ — радиус орбиты.

Гравитационная сила определяется законом всемирного тяготения $F_г = G \frac{Mm}{r^2}$, где $M$ — масса планеты, а $G$ — гравитационная постоянная.

Приравняем эти два выражения:

$\frac{mv^2}{r} = G \frac{Mm}{r^2}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$ в первой степени, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{GM}{r}$

Отсюда первая космическая скорость (скорость движения по круговой орбите) равна:

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Теперь применим эту формулу для спутников Земли и Венеры.

Скорость спутника Земли:

$v_З = \sqrt{\frac{GM_З}{r_З}}$

Скорость спутника Венеры:

$v_В = \sqrt{\frac{GM_В}{r_В}}$

Чтобы сравнить скорости, найдем их отношение. Учитывая, что по условию $r_З = r_В = r$:

$\frac{v_З}{v_В} = \frac{\sqrt{\frac{GM_З}{r}}}{\sqrt{\frac{GM_В}{r}}} = \sqrt{\frac{GM_З}{r} \cdot \frac{r}{GM_В}} = \sqrt{\frac{M_З}{M_В}}$

Подставим в полученное выражение соотношение масс планет из условия задачи $M_В = 0.815 M_З$:

$\frac{v_З}{v_В} = \sqrt{\frac{M_З}{0.815 M_З}} = \sqrt{\frac{1}{0.815}}$

Выполним вычисления:

$\frac{v_З}{v_В} \approx \sqrt{1.22699} \approx 1.1077$

Округлив до сотых, получаем, что скорость спутника Земли примерно в 1.11 раза больше скорости спутника Венеры.

Ответ: скорость спутника, движущегося по орбите вокруг Земли, больше скорости спутника, движущегося по орбите такого же радиуса вокруг Венеры, в $\sqrt{\frac{1}{0.815}} \approx 1.11$ раза.

242. Луна движется вокруг Земли по круговой орбите со скоростью около 1 км/с. Среднее расстояние от Земли до Луны $3,9 \cdot 10^5$ км. По этим данным определить массу Земли.

Дано:

Скорость движения Луны, $v = 1 \text{ км/с}$
Среднее расстояние от Земли до Луны, $r = 3,9 \cdot 10^5 \text{ км}$
Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$v = 1 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 1 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$r = 3,9 \cdot 10^5 \text{ км} = 3,9 \cdot 10^5 \cdot 10^3 \text{ м} = 3,9 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

Массу Земли, $M_З$.

Решение:

Луна движется по круговой орбите вокруг Земли. Сила всемирного тяготения, действующая со стороны Земли на Луну, является центростремительной силой. Эта сила удерживает Луну на орбите. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять выражения для силы гравитационного притяжения и центростремительной силы.

Сила всемирного тяготения ($F_g$) между Землей и Луной определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M_З m_Л}{r^2}$

где $M_З$ — искомая масса Земли, $m_Л$ — масса Луны, $r$ — радиус орбиты Луны (расстояние между центрами Земли и Луны), а $G$ — гравитационная постоянная.

Центростремительная сила ($F_c$), действующая на Луну, вычисляется по формуле:

$F_c = m_Л \frac{v^2}{r}$

где $v$ — орбитальная скорость Луны.

Так как гравитационная сила выполняет роль центростремительной, приравняем их:

$F_g = F_c$

$G \frac{M_З m_Л}{r^2} = m_Л \frac{v^2}{r}$

Масса Луны $m_Л$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому ее можно сократить. Также можно сократить $r$ в знаменателе:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Из этого соотношения выразим массу Земли $M_З$:

$M_З = \frac{v^2 r}{G}$

Теперь подставим числовые значения (в системе СИ) в полученную формулу для расчета массы Земли:

$M_З = \frac{(1 \cdot 10^3 \text{ м/с})^2 \cdot (3,9 \cdot 10^8 \text{ м})}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

$M_З = \frac{10^6 \cdot 3,9 \cdot 10^8}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{3,9 \cdot 10^{14}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг}$

$M_З \approx 0,5847 \cdot 10^{25} \text{ кг}$

Запишем результат в стандартном виде научной нотации, округлив до трех значащих цифр:

$M_З \approx 5,85 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: масса Земли примерно равна $5,85 \cdot 10^{24}$ кг.

243. Космический корабль имел начальный период обращения 88 мин. После проведения манёвров период обращения стал равным 91 мин. Как изменились расстояние до поверхности Земли и скорость движения корабля? Обе орбиты круговые.

Дано:

Начальный период обращения: $T_1 = 88$ мин
Конечный период обращения: $T_2 = 91$ мин
Обе орбиты круговые.
Справочные данные:
Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Земли $M_З \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$
Средний радиус Земли $R_З \approx 6.371 \times 10^{6} \, \text{м}$

Перевод в систему СИ:
$T_1 = 88 \cdot 60 = 5280 \, \text{с}$
$T_2 = 91 \cdot 60 = 5460 \, \text{с}$

Найти:

Как изменились расстояние до поверхности Земли ($h$) и скорость движения корабля ($v$).

Решение:

Движение космического корабля по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $m$ — масса корабля, $M_З$ — масса Земли, $r$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли), $v$ — скорость движения корабля, $G$ — гравитационная постоянная.

Период обращения $T$ связан со скоростью и радиусом орбиты соотношением: $T = \frac{2 \pi r}{v}$.

Из первого уравнения можно выразить скорость $v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$. Из этой зависимости видно, что чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость движения по ней.

Чтобы связать период с радиусом, подставим выражение для скорости в формулу периода. Этот результат известен как третий закон Кеплера для круговых орбит:

$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{G M_З / r}} = \frac{2 \pi r^{3/2}}{\sqrt{G M_З}}$

Из этой формулы следует, что чем больше период обращения $T$, тем больше радиус орбиты $r$ (конкретно, $T^2 \propto r^3$).

Поскольку по условию задачи период обращения увеличился ($T_2 > T_1$), это означает, что корабль перешел на орбиту с большим радиусом ($r_2 > r_1$). Следовательно, расстояние до поверхности Земли $h = r - R_З$ также увеличилось, а скорость движения $v = \sqrt{G M_З / r}$ уменьшилась.

Теперь проведем количественные расчеты. Выразим радиус орбиты из третьего закона Кеплера:

$r = \sqrt[3]{\frac{G M_З T^2}{4 \pi^2}}$

Рассчитаем начальный и конечный радиусы орбит:

$r_1 = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.972 \cdot 10^{24}) \cdot (5280)^2}{4 \pi^2}} \approx 6.553 \cdot 10^6 \, \text{м}$

$r_2 = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.972 \cdot 10^{24}) \cdot (5460)^2}{4 \pi^2}} \approx 6.702 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Рассчитаем начальную и конечную высоты над поверхностью Земли:

$h_1 = r_1 - R_З = 6.553 \cdot 10^6 \, \text{м} - 6.371 \cdot 10^6 \, \text{м} = 0.182 \cdot 10^6 \, \text{м} = 182 \, \text{км}$

$h_2 = r_2 - R_З = 6.702 \cdot 10^6 \, \text{м} - 6.371 \cdot 10^6 \, \text{м} = 0.331 \cdot 10^6 \, \text{м} = 331 \, \text{км}$

Высота орбиты увеличилась на $\Delta h = h_2 - h_1 = 331 \, \text{км} - 182 \, \text{км} = 149 \, \text{км}$.

Рассчитаем начальную и конечную скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{r_1}} = \sqrt{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.972 \cdot 10^{24})}{6.553 \cdot 10^6}} \approx 7799 \, \text{м/с} \approx 7.80 \, \text{км/с}$

$v_2 = \sqrt{\frac{G M_З}{r_2}} = \sqrt{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.972 \cdot 10^{24})}{6.702 \cdot 10^6}} \approx 7712 \, \text{м/с} \approx 7.71 \, \text{км/с}$

Скорость корабля уменьшилась на величину $\Delta v = v_1 - v_2 = 7799 \, \text{м/с} - 7712 \, \text{м/с} = 87 \, \text{м/с}$.

Ответ:

В результате маневров расстояние до поверхности Земли увеличилось, а скорость движения корабля уменьшилась. Высота орбиты увеличилась с 182 км до 331 км (на 149 км), а скорость уменьшилась с 7.80 км/с до 7.71 км/с (на 87 м/с).

244. Положите на стол стальной предмет (гвоздь, перо и т. д.). На достаточно большом расстоянии от него положите магнит и постепенно приближайте магнит к предмету. Почему, несмотря на то что сила притяжения по мере приближения магнита увеличивается, тело сначала остаётся в покое, а затем «рывком» притягивается к магниту?

Это явление объясняется взаимодействием магнитной силы притяжения и силы трения покоя. На стальной предмет, лежащий на столе, в горизонтальном направлении действуют две основные силы:

1. Магнитная сила притяжения ($F_{магн}$), направленная к магниту.
2. Сила трения ($F_{тр}$), направленная в противоположную сторону и препятствующая движению.

Рассмотрим процесс поэтапно:

1. Предмет в покое. Когда магнит находится далеко от стального предмета, магнитная сила $F_{магн}$ мала. Предмету мешает сдвинуться с места сила трения покоя $F_{тр.пок}$. Эта сила может изменять свое значение, но не может превышать некоторого максимального значения $F_{тр.пок.макс}$, которое определяется коэффициентом трения покоя между предметом и столом, а также весом предмета. Пока магнитная сила меньше или равна максимальной силе трения покоя ($F_{магн} \le F_{тр.пок.макс}$), предмет остается неподвижным. Сила трения покоя в этом случае равна по модулю и противоположна по направлению магнитной силе: $F_{тр.пок} = F_{магн}$.

2. Момент срыва. По мере приближения магнита, магнитная сила $F_{магн}$ возрастает (она обратно пропорциональна степени расстояния). В тот момент, когда магнитная сила становится чуть больше максимальной силы трения покоя ($F_{магн} > F_{тр.пок.макс}$), предмет срывается с места и начинает двигаться.

3. Причина "рывка". Резкое, скачкообразное движение ("рывок") происходит из-за двух ключевых факторов:

• Уменьшение силы трения: Как только предмет начинает движение, сила трения покоя сменяется силой трения скольжения ($F_{тр.ск}$). Как правило, сила трения скольжения меньше максимальной силы трения покоя ($F_{тр.ск} < F_{тр.пок.макс}$). Это означает, что в момент начала движения сила, противодействующая притяжению, резко уменьшается. В результате чистая сила, действующая на предмет ($F_{нетто} = F_{магн} - F_{тр.ск}$), скачком увеличивается, вызывая резкое ускорение.
• Лавинообразный рост силы притяжения: Магнитная сила очень быстро растет с уменьшением расстояния. Как только предмет начинает движение, расстояние до магнита сокращается, что приводит к еще большему увеличению силы притяжения. Это создает положительную обратную связь: движение усиливает силу, которая, в свою очередь, ускоряет движение.

Таким образом, сочетание резкого падения силы трения и быстрого роста силы притяжения при уменьшении расстояния и приводит к тому, что предмет притягивается к магниту не плавно, а резким "рывком".

Ответ: Тело сначала остается в покое, так как сила притяжения магнита уравновешивается силой трения покоя. "Рывок" происходит в тот момент, когда сила притяжения превышает максимальное значение силы трения покоя. В этот момент сила трения уменьшается (трение покоя сменяется трением скольжения), а сила притяжения начинает лавинообразно расти из-за сокращения расстояния, что и вызывает резкое ускорение предмета.

245. На грузовом автомобиле перевозят контейнер по горизонтальной дороге. От чего зависит и как направлена сила трения покоя, действующая на контейнер, когда автомобиль:

а) покоится;

б) ускоряет движение;

в) движется равномерно и прямолинейно;

г) двигаясь равномерно, поворачивает;

д) тормозит? Во всех случаях контейнер покоится относительно автомобиля.

Решение

Во всех рассматриваемых случаях контейнер покоится относительно автомобиля. Это означает, что в инерциальной системе отсчета, связанной с землей, ускорение контейнера $\vec{a}_{к}$ равно ускорению автомобиля $\vec{a}_{а}$. Обозначим это ускорение как $\vec{a}$. $$ \vec{a}_{к} = \vec{a}_{а} = \vec{a} $$ Согласно второму закону Ньютона, причиной ускорения тела является результирующая сила. В горизонтальном направлении на контейнер действует только одна сила — сила трения покоя $\vec{F}_{тр.п.}$ со стороны платформы автомобиля. Именно она и сообщает контейнеру ускорение, равное ускорению автомобиля. $$ \vec{F}_{тр.п.} = m \cdot \vec{a} $$ где $m$ — масса контейнера. Из этого следует, что сила трения покоя всегда сонаправлена с вектором ускорения автомобиля и её величина прямо пропорциональна массе контейнера и модулю ускорения. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) покоится;

Если автомобиль покоится, его ускорение равно нулю ($\vec{a} = 0$). Следовательно, и сила трения покоя, действующая на контейнер, также равна нулю. $$ F_{тр.п.} = m \cdot 0 = 0 $$

Ответ: Сила трения покоя равна нулю.

б) ускоряет движение;

Когда автомобиль ускоряет движение, он движется с ускорением $\vec{a}$, направленным в сторону движения. Сила трения покоя, действующая на контейнер, сообщает ему такое же ускорение и направлена в ту же сторону, что и ускорение. Её величина равна $F_{тр.п.} = m \cdot a$.

Ответ: Сила трения покоя направлена вперед, по ходу движения автомобиля. Её величина зависит от массы контейнера и ускорения автомобиля.

в) движется равномерно и прямолинейно;

При равномерном и прямолинейном движении скорость автомобиля постоянна, а ускорение равно нулю ($\vec{a} = 0$). В соответствии с первым законом Ньютона, для поддержания такого движения сила не требуется. Поэтому сила трения покоя, действующая на контейнер, равна нулю.

Ответ: Сила трения покоя равна нулю.

г) двигаясь равномерно, поворачивает;

При повороте с постоянной по модулю скоростью $v$ автомобиль движется с центростремительным ускорением $\vec{a}_{ц}$, направленным к центру поворота. Величина этого ускорения равна $ a_{ц} = \frac{v^2}{R} $, где $R$ — радиус кривизны траектории. Сила трения покоя сообщает контейнеру это ускорение, поэтому она направлена к центру поворота. $$ F_{тр.п.} = m \cdot a_{ц} = m \frac{v^2}{R} $$

Ответ: Сила трения покоя направлена перпендикулярно вектору скорости, к центру поворота. Её величина зависит от массы контейнера, квадрата скорости автомобиля и обратно пропорциональна радиусу поворота.

д) тормозит.

При торможении автомобиль движется с ускорением $\vec{a}$, направленным против хода движения (это ускорение часто называют замедлением). Сила трения покоя, которая замедляет контейнер вместе с автомобилем, направлена в ту же сторону, что и ускорение, то есть против движения. Её величина равна $F_{тр.п.} = m \cdot a$.

Ответ: Сила трения покоя направлена назад, против хода движения автомобиля. Её величина зависит от массы контейнера и модуля ускорения (замедления) автомобиля.