Номер 241, страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

241. Сравнить скорости движения искусственных спутников Земли и Венеры при движении по орбитам, одинаково удалённым от центра планет. Масса Венеры составляет 0,815 массы Земли.

Дано:

Радиус орбиты спутника Земли: $r_З$
Радиус орбиты спутника Венеры: $r_В$
По условию: $r_З = r_В = r$
Масса Земли: $M_З$
Масса Венеры: $M_В$
По условию: $M_В = 0.815 \cdot M_З$

Найти:

Сравнить скорости спутников, то есть найти отношение $\frac{v_З}{v_В}$.

Решение:

Искусственный спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны планеты. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите.

По второму закону Ньютона, центростремительная сила равна гравитационной силе:

$F_ц = F_г$

Центростремительная сила определяется выражением $F_ц = \frac{mv^2}{r}$, где $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, $r$ — радиус орбиты.

Гравитационная сила определяется законом всемирного тяготения $F_г = G \frac{Mm}{r^2}$, где $M$ — масса планеты, а $G$ — гравитационная постоянная.

Приравняем эти два выражения:

$\frac{mv^2}{r} = G \frac{Mm}{r^2}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$ в первой степени, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{GM}{r}$

Отсюда первая космическая скорость (скорость движения по круговой орбите) равна:

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Теперь применим эту формулу для спутников Земли и Венеры.

Скорость спутника Земли:

$v_З = \sqrt{\frac{GM_З}{r_З}}$

Скорость спутника Венеры:

$v_В = \sqrt{\frac{GM_В}{r_В}}$

Чтобы сравнить скорости, найдем их отношение. Учитывая, что по условию $r_З = r_В = r$:

$\frac{v_З}{v_В} = \frac{\sqrt{\frac{GM_З}{r}}}{\sqrt{\frac{GM_В}{r}}} = \sqrt{\frac{GM_З}{r} \cdot \frac{r}{GM_В}} = \sqrt{\frac{M_З}{M_В}}$

Подставим в полученное выражение соотношение масс планет из условия задачи $M_В = 0.815 M_З$:

$\frac{v_З}{v_В} = \sqrt{\frac{M_З}{0.815 M_З}} = \sqrt{\frac{1}{0.815}}$

Выполним вычисления:

$\frac{v_З}{v_В} \approx \sqrt{1.22699} \approx 1.1077$

Округлив до сотых, получаем, что скорость спутника Земли примерно в 1.11 раза больше скорости спутника Венеры.

Ответ: скорость спутника, движущегося по орбите вокруг Земли, больше скорости спутника, движущегося по орбите такого же радиуса вокруг Венеры, в $\sqrt{\frac{1}{0.815}} \approx 1.11$ раза.