Номер 234, страница 36 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

234*. С балкона, расположенного на высоте 20 м, бросили вверх мяч под углом 30° от горизонта со скоростью 10 м/с. Направив ось X вдоль поверхности земли вправо, а ось Y вдоль стены дома вверх, написать уравнения зависимости координат от времени $x = x(t)$ и $y = y(t)$ и уравнение траектории $y = y(x)$. Найти:

a) координаты мяча через 2 с;

б) через какой промежуток времени мяч упадёт на землю;

в) дальность полёта.

Дано:

Начальная высота: $h_0 = y_0 = 20$ м
Начальная скорость: $v_0 = 10$ м/с
Угол броска к горизонту: $\alpha = 30^\circ$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с$^2$

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Уравнения зависимости координат от времени $x(t)$, $y(t)$;
Уравнение траектории $y(x)$;
а) Координаты мяча $x, y$ через $t_1 = 2$ с;
б) Промежуток времени до падения на землю $t_{пол}$;
в) Дальность полета $L$.

Решение:

Введем систему координат, как указано в условии: начало отсчета (0,0) — у основания дома, ось ОХ направлена горизонтально (вдоль поверхности земли), ось OY — вертикально вверх (вдоль стены). В этой системе начальные координаты мяча: $x_0 = 0$; $y_0 = 20$ м.

Движение мяча является движением тела, брошенного под углом к горизонту. Его можно разложить на два независимых движения:

• По оси OX: равномерное движение со скоростью $v_x$.
• По оси OY: равноускоренное движение с начальной скоростью $v_{0y}$ и ускорением $a_y = -g$.

Найдем проекции начальной скорости на оси координат:
$v_{0x} = v_0 \cos\alpha = 10 \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ м/с.
$v_{0y} = v_0 \sin\alpha = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ м/с.

Общие уравнения движения имеют вид:
$x(t) = x_0 + v_{0x}t$
$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

Подставив начальные условия, получим уравнения зависимости координат от времени для нашей задачи:
$x(t) = 0 + 5\sqrt{3}t \implies x(t) = 5\sqrt{3}t$
$y(t) = 20 + 5t - \frac{gt^2}{2} \implies y(t) = 20 + 5t - 5t^2$

Для получения уравнения траектории $y(x)$ выразим время $t$ из уравнения для $x(t)$ и подставим в уравнение для $y(t)$:
$t = \frac{x}{5\sqrt{3}}$
$y(x) = 20 + 5\left(\frac{x}{5\sqrt{3}}\right) - 5\left(\frac{x}{5\sqrt{3}}\right)^2 = 20 + \frac{x}{\sqrt{3}} - 5\frac{x^2}{25 \cdot 3} = 20 + \frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{x^2}{15}$
Уравнение траектории: $y(x) = 20 + \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{1}{15}x^2$.

а) координаты мяча через 2 с

Подставим $t = 2$ с в уравнения для координат:
$x(2) = 5\sqrt{3} \cdot 2 = 10\sqrt{3}$ м.
$y(2) = 20 + 5 \cdot 2 - 5 \cdot (2)^2 = 20 + 10 - 20 = 10$ м.

Ответ: Координаты мяча через 2 с: ($10\sqrt{3}$ м; $10$ м), что примерно равно (17,32 м; 10 м).

б) через какой промежуток времени мяч упадет на землю

Мяч упадет на землю, когда его вертикальная координата станет равна нулю, то есть $y(t_{пол}) = 0$.
$20 + 5t_{пол} - 5t_{пол}^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на -5:
$t_{пол}^2 - t_{пол} - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t_{пол}$ через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$
$t_{пол} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$
Физический смысл имеет только положительное значение времени, поэтому:
$t_{пол} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ с.

Ответ: Мяч упадет на землю через $\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ с, что примерно равно 2,56 с.

в) дальность полета

Дальность полета $L$ — это горизонтальная координата $x$ в момент времени $t = t_{пол}$.
$L = x(t_{пол}) = 5\sqrt{3} \cdot t_{пол} = 5\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)$ м.

Ответ: Дальность полета мяча равна $\frac{5\sqrt{3}(1 + \sqrt{17})}{2}$ м, что примерно составляет 22,18 м.