Номер 233, страница 36 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

233*. Из одной точки на достаточно большой высоте одновременно брошены четыре тела с одинаковыми по модулю скоростями $v_1 = v_2 = v_3 = v_4$ (рис. 34). По вершинам какой фигуры будут располагаться тела во время полёта?

Рис. 34

Дано:

Модули начальных скоростей тел равны: $v_1 = v_2 = v_3 = v_4 = v$.
Тела брошены одновременно из одной точки.
Направления начальных скоростей взаимно перпендикулярны (вверх, вправо, вниз, влево).

Найти:

По вершинам какой фигуры будут располагаться тела во время полёта?

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Начало координат $(0, 0)$ поместим в точку броска. Ось Oy направим вертикально вверх, а ось Ox — горизонтально вправо. В этой системе координат ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз и имеет проекции $g_x = 0$ и $g_y = -g$.

Запишем начальные скорости тел в виде векторов с проекциями на оси координат:

• Тело 1 (брошено вверх): $\vec{v_{01}} = (0, v)$
• Тело 2 (брошено вправо): $\vec{v_{02}} = (v, 0)$
• Тело 3 (брошено вниз): $\vec{v_{03}} = (0, -v)$
• Тело 4 (брошено влево): $\vec{v_{04}} = (-v, 0)$

Положение каждого тела в любой момент времени $t$ описывается уравнениями движения с постоянным ускорением:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{g_x t^2}{2}$

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{g_y t^2}{2}$

Поскольку все тела брошены из начала координат, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$ для всех четырех тел. Найдем координаты каждого тела в произвольный момент времени $t > 0$.

Координаты тела 1:

$x_1(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{0 \cdot t^2}{2} = 0$

$y_1(t) = 0 + v \cdot t + \frac{(-g) t^2}{2} = vt - \frac{gt^2}{2}$

Таким образом, точка $P_1$ имеет координаты $(0, vt - \frac{gt^2}{2})$.

Координаты тела 2:

$x_2(t) = 0 + v \cdot t + \frac{0 \cdot t^2}{2} = vt$

$y_2(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{(-g) t^2}{2} = -\frac{gt^2}{2}$

Таким образом, точка $P_2$ имеет координаты $(vt, -\frac{gt^2}{2})$.

Координаты тела 3:

$x_3(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{0 \cdot t^2}{2} = 0$

$y_3(t) = 0 - v \cdot t + \frac{(-g) t^2}{2} = -vt - \frac{gt^2}{2}$

Таким образом, точка $P_3$ имеет координаты $(0, -vt - \frac{gt^2}{2})$.

Координаты тела 4:

$x_4(t) = 0 - v \cdot t + \frac{0 \cdot t^2}{2} = -vt$

$y_4(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{(-g) t^2}{2} = -\frac{gt^2}{2}$

Таким образом, точка $P_4$ имеет координаты $(-vt, -\frac{gt^2}{2})$.

Теперь проанализируем геометрическую фигуру, вершинами которой являются точки $P_1, P_2, P_3, P_4$. Это четырехугольник. Найдем длины и свойства его диагоналей.

Диагональ $P_1P_3$:

Эта диагональ соединяет точки $P_1(0, vt - \frac{gt^2}{2})$ и $P_3(0, -vt - \frac{gt^2}{2})$. Так как абсциссы обеих точек равны нулю, диагональ лежит на оси Oy (вертикальна). Ее длина $d_{13}$ равна:

$d_{13} = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} = \sqrt{(0-0)^2 + (-vt - \frac{gt^2}{2} - (vt - \frac{gt^2}{2}))^2} = \sqrt{(-2vt)^2} = 2vt$

Диагональ $P_2P_4$:

Эта диагональ соединяет точки $P_2(vt, -\frac{gt^2}{2})$ и $P_4(-vt, -\frac{gt^2}{2})$. Так как ординаты обеих точек равны, диагональ параллельна оси Ox (горизонтальна). Ее длина $d_{24}$ равна:

$d_{24} = \sqrt{(x_4 - x_2)^2 + (y_4 - y_2)^2} = \sqrt{(-vt - vt)^2 + (-\frac{gt^2}{2} - (-\frac{gt^2}{2}))^2} = \sqrt{(-2vt)^2} = 2vt$

Мы получили, что длины диагоналей равны: $d_{13} = d_{24} = 2vt$.

Теперь найдем точку пересечения диагоналей. Для этого найдем середины каждой из них.

Середина диагонали $P_1P_3$ имеет координаты:

$M_{13} = (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}) = (\frac{0+0}{2}, \frac{vt - \frac{gt^2}{2} + (-vt - \frac{gt^2}{2})}{2}) = (0, \frac{-2\frac{gt^2}{2}}{2}) = (0, -\frac{gt^2}{2})$

Середина диагонали $P_2P_4$ имеет координаты:

$M_{24} = (\frac{x_2+x_4}{2}, \frac{y_2+y_4}{2}) = (\frac{vt + (-vt)}{2}, \frac{-\frac{gt^2}{2} + (-\frac{gt^2}{2})}{2}) = (0, \frac{-2\frac{gt^2}{2}}{2}) = (0, -\frac{gt^2}{2})$

Поскольку середины диагоналей совпадают, четырехугольник является параллелограммом. Так как его диагонали равны, это прямоугольник.

Кроме того, одна диагональ ($P_1P_3$) вертикальна, а другая ($P_2P_4$) горизонтальна. Следовательно, диагонали перпендикулярны. Прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны, является квадратом.

Таким образом, в любой момент времени $t$ тела будут находиться в вершинах квадрата. Центр этого квадрата, точка $(0, -\frac{gt^2}{2})$, падает вертикально вниз с ускорением свободного падения, а сам квадрат расширяется со временем (длина его диагонали $2vt$ пропорциональна времени) и поворачивается так, что его диагонали всегда остаются параллельными осям координат.

Ответ:

Во время полета тела будут располагаться по вершинам квадрата.