Номер 232, страница 36 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

232. Из старинной пушки, ствол которой установлен под углом $30^\circ$ к горизонту, выпущено ядро со скоростью $140 \, \text{м/с}$.

а) Найти проекции начальной скорости на горизонтальное и вертикальное направления.

б) Вычислить, через какое время ядро упадёт на землю.

в) Вычислить дальность полёта снаряда.

Дано:

Угол к горизонту, $\alpha = 30^\circ$
Начальная скорость, $v_0 = 140$ м/с

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$.

Найти:

а) Проекции начальной скорости $v_{0x}$, $v_{0y}$
б) Время полёта $t$
в) Дальность полёта $L$

Решение:

Рассмотрим движение ядра в системе координат, где ось Ox направлена горизонтально, а ось Oy — вертикально вверх. Начало координат находится в точке выстрела. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

а) Найти проекции начальной скорости на горизонтальное и вертикальное направления.

Проекции начальной скорости на оси координат находятся с помощью тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике, где $v_0$ является гипотенузой.

Проекция начальной скорости на горизонтальную ось Ox:
$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$
$v_{0x} = 140 \text{ м/с} \cdot \cos(30^\circ) = 140 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 70\sqrt{3} \approx 121.24$ м/с.

Проекция начальной скорости на вертикальную ось Oy:
$v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)$
$v_{0y} = 140 \text{ м/с} \cdot \sin(30^\circ) = 140 \cdot 0.5 = 70$ м/с.

Ответ: Проекция начальной скорости на горизонтальное направление $v_{0x} \approx 121.24$ м/с, на вертикальное направление $v_{0y} = 70$ м/с.

б) Вычислить, через какое время ядро упадёт на землю.

Время полёта — это время, в течение которого ядро находится в воздухе. Движение по вертикали является равноускоренным с ускорением $-g$. Зависимость вертикальной координаты $y$ от времени $t$ описывается уравнением:
$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$
Ядро упадёт на землю, когда его вертикальная координата снова станет равна нулю (при условии, что выстрел произведен с уровня земли, $y_0=0$).
$0 = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$
$t(v_{0y} - \frac{gt}{2}) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ (момент выстрела) и $t_2$, которое и является временем полёта.
$v_{0y} - \frac{gt}{2} = 0 \implies t = \frac{2v_{0y}}{g}$
Подставим числовые значения:
$t = \frac{2 \cdot 70 \text{ м/с}}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{140}{9.8} \approx 14.29$ с.

Ответ: Ядро упадёт на землю примерно через $14.29$ с.

в) Вычислить дальность полёта снаряда.

Дальность полёта $L$ — это расстояние, которое снаряд пролетел по горизонтали за всё время полёта. Движение по горизонтали является равномерным, так как на снаряд в этом направлении силы не действуют (сопротивление воздуха не учитывается).
$L = v_{0x} \cdot t$
Подставим значения, полученные в предыдущих пунктах, используя более точные выражения для минимизации погрешности округления:
$L = (70\sqrt{3} \text{ м/с}) \cdot (\frac{140}{9.8} \text{ с}) = \frac{9800\sqrt{3}}{9.8} = 1000\sqrt{3} \approx 1732.05$ м.
Также можно использовать готовую формулу для дальности полёта:
$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$
$L = \frac{(140 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 30^\circ)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{19600 \cdot \sin(60^\circ)}{9.8} = \frac{19600 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8} = \frac{9800\sqrt{3}}{9.8} = 1000\sqrt{3} \approx 1732.05$ м.

Ответ: Дальность полёта снаряда составляет примерно $1732.05$ м.